方玉萍，王穎

(臨沂大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 臨沂 276000)

無(wú)窮區(qū)間上p-Laplacian積微分方程極值解的存在性

方玉萍，王穎

(臨沂大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 臨沂 276000)

帶有p-Laplacian算子的積微分方程在應(yīng)用力學(xué)、天體物理和經(jīng)典電學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。非線性微分方程邊值問(wèn)題是微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)重要分支。因此，p-Laplacian積微分方程邊值問(wèn)題的研究有著巨大的理論和實(shí)際意義。系統(tǒng)地研究無(wú)窮區(qū)間上, 較為復(fù)雜邊值條件下的一類p-Laplacian 積微分方程。利用單調(diào)迭代方法，在適當(dāng)?shù)臈l件下，不僅得到了方程極值解的存在性， 而且得到了方程解的迭代序列。最后，通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明了結(jié)果的實(shí)用性。

p-Laplacian 算子；積微分方程；單調(diào)迭代方法；極值解；無(wú)窮區(qū)間

多孔介質(zhì)中的湍流問(wèn)題是一個(gè)基本的力學(xué)問(wèn)題，為研究此類問(wèn)題Leibenson[1]引入了下面p-Laplacian方程

(φp(x′(t)))′+f(t,x(t),x′(t))=0

Kim[11]研究了下面的一維p-Laplacian邊值問(wèn)題(BVP)：

(1)

應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，文[11]得到BVP (1)正解的存在性和解的迭代序列。

文[12]考慮了方程

(φp(u′(t)))′+φ(t)f(t,u(t),u′(t))=0,

t∈J′

(2)

方程(2)的邊值條件同BVP(1)，這里f∈C(J×J×J,J),φ∈C(J,J)。借助于Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)理論，文[12]獲得了方程三個(gè)正解的存在性。受以上文章的啟發(fā)，我們主要研究下面的p-Laplacian方程：

(3)

(4)

這里K∈C(D,J),D={(t,s)∈J×J:t≥s},H∈C(J×J,J),f∈C(J′×J×J×J×J,J),f在t=0點(diǎn)奇異。

本文主要利用單調(diào)迭代方法討論BVP(3)的極值解。主要特色如下：首先， 若p=2,g(t)=0,β=a=b=0,α=1并且f中不含有Tu,Su，則BVP(3)可以轉(zhuǎn)化為下面的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

(5)

文[13]研究了BVP(5)正解的存在性，而且許多學(xué)者對(duì)于二階微分方程做了系統(tǒng)的研究，如文[14-15]。其次， BVP(3)中,所研究的非線性項(xiàng)f是更為一般的情況，不僅含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，而且含有Tu,Su。最后，研究的邊值條件也更為復(fù)雜，即兩點(diǎn)，三點(diǎn)，多點(diǎn)邊值問(wèn)題是BVP(3)的特殊情況。因此，在一定程度上推廣了文[11-13,16-17]的結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)和引理

定義1 若α是Banach空間E中錐P上的連續(xù)凹函數(shù)，則有α：P→ [0 ,+∞)是連續(xù)的，并且

α(tu+(1-t)v)≥tα(u)+(1-t)α(ν),

u,v∈P,t∈[0,1]

引理1[20]

定義本文所使用的空間E：

(6)

范數(shù)

P={x∈E:x在[0，+∞)是凹的，非減的，

x(t)≥0,x′(t)≥0,t∈J}

本文的主要條件：

(H1)

令

(H2)

f∈C(J′J×J×J×J,J),f(t,0,0,0,0)≡0,t∈J,

f(t,u0,u1,u2,u3)≤q(t)h(t,u0,u1,u2,u3),

h(t,u0,u1,u2,u3)∈C(J×J×J×J×J,J),

h(t,0,0,0,0)≡0,

h(t,(1+t)u0,u1,(1+t)u2,(1+t)u3)有界，

q∈L(J,J),q(t)≡0,t∈J,

注1 由條件(H1),(H2)，若x滿足BVP(3)，則

(φp(x′(t)))′=-f(t,x(t),x′(t),

(Tx)(t),(Sx)(t))≤0,t∈J

即φp(x′(t))在J上非減，也就是說(shuō)，x′(t)在J上非減。因此，x在J上是凹的。

引理2 假設(shè)條件(H1)和(H2)成立, 則x∈P是BVP(3)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈C(J)是下面算子方程的不動(dòng)點(diǎn)：

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))ds,t∈J

(7)

證明假設(shè)x∈P是BVP(3)的解。 對(duì)任意的t∈J， 由BVP(3)

即

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))

(8)

將式(8)由0到t積分可得

(9)

(10)

其中

SR=sup{h(t,(1+t)u0,u1,(1+t)u2,(1+t)u3):

(t,u0,u1,u2,u3)∈J×[0,R]×[0,R]×

[0,k*R]×[0,h*R]}

因此，由式(10)和引理1，有

(11)

由式(10)和式(11)可得，式(9)是有定義的。下面證明x是由式(7)定義的算子A的不動(dòng)點(diǎn)。

假設(shè)x是由式(7)定義的算子A的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)式(7)直接求導(dǎo)數(shù)可得

(φp(x′(t)))′=

-f(t,x(t),x′(t),(Tx)(t),(Sx)(t))″

容易證明

證明完畢。

引理3[21-22]空間E由式(6)定義，M是E中的有界集。若

在J上的任一有界子集上等度連續(xù)，且對(duì)任意給定的ε>0,存在N>0,t1,t2>N,使得

對(duì)x∈M一致成立， 則M在E中是相對(duì)緊的。

引理4 假設(shè)條件(H1),(H2)成立， 則A：P→P是全連續(xù)算子。

證明

(i)A：P→P是有定義的。

通過(guò)常規(guī)的方法可以得到A：P→E是有定義的。下面證明A(P)?P。對(duì)任意的x∈P, 由式(7)可得

φp((Ax)′(t))=

(12)

(φp((Ax)′(t)))′=

-f(t,x(t),x′(t),(Tx)(t),(Sx)(t))

(13)

由式(7)，式(12)，式(13)和條件(H2)，可知(Ax)(t)>0,(Ax)′(t)≥b≥0,(Ax)′′(t)≤0,即A(P)?P。

(ii)A：P→P連續(xù)。

f(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ))|dτ≤

h(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ)))dτ≤

其中

SR0=sup{h(t,1+t)u0,u1,(1+t)u2,
(1+t)u3:(t,u0,u1,u2,u3)∈
J×[0,R0]×[0,R0]×[0,k*R0]×[0,h*R0]}

所以，對(duì)任意的ε>0, 可以找到一個(gè)充分大的H0>0滿足

由Lebesgue控制收斂定理和f的連續(xù)性可得

f(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ))|dτ→0,

m→+∞

因此對(duì)上述的ε>0,存在N>0,當(dāng)n>N0時(shí)，有

f(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ))|dτ≤

f(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ))|dτ+

f(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ))|dτ+

f(τ,x(τ),x′(τ),(Tx)(τ),(Sx)(τ))|dτ≤ε

即

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))|→0,m→+∞

類似地，對(duì)任意的s∈J可得

(Sxm)(τ))dτ+φp(b))-

(Sx)(τ))dτ+φp(b))|→0,m→+∞

因此，由Lebesgue控制收斂定理可得

(Sxm)(τ))dτ+φp(b))-

(Sx)(τ))dτ+φp(b))|+

(Txm)(τ),(Sxm)(τ))dτ+φp(b))-

(Sx)(τ))dτ+φp(b))|dsdt)+

(Sxm)(τ))dτ+φp(b))-

(Sx)(τ))dτ+φp(b))|ds→0,m→+∞；

(Axm)′-(Ax)′c=

(Sxm)(τ))dτ+φp(b))-

(Sx)(τ))dτ+φp(b))|→0,m→+∞

故，A：P→P是連續(xù)的。

(iii)A:P→P相對(duì)緊。

(14)

(15)

其中

SR1=sup{h(t,1+t)u0,u1,(1+t)u2,(1+t)u3:

(t,u0,u1,u2,u3)∈J×[0,R1]×
[0,R1]×[0,k*R1]×[0,h*R1]}

由式(14)-(15)可得

(16)

由式(16)可知AM在E中有界。

(b) 對(duì)任意的T>0,t1,t2∈[0,T],x∈M, 不失一般性，假設(shè)t1>t2。事實(shí)上

(Sx)(τ))dτ+φp(b))+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))ds-

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))ds|≤

(17)

|φp((Ax)′(t1))-φp((Ax)′(t2))|≤

(18)

由式(17)-(18)，對(duì)任意的ε>0, 存在δ>0, 對(duì)任意的t1,t2∈[0,b],|t1-t2|<δ, 任意的x∈M, 有

|(Ax)′(t1)-(Ax)′(t2)|<ε

(c) 對(duì)任意的x∈M, 由式(7)可得

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))ds)

(19)

由于

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))dsdt))≤

(20)

(Sx)(τ))dτ+φp(b))ds)=

(Sx)(τ))dτ+φp(b))=b

(21)

根據(jù)式(19)-(21)可知

所以，對(duì)任意的x∈M,有

(22)

另外，可以得到

所以，對(duì)任意的x∈M, 有

|(Ax)′(t)-b|=

(Sx)(τ))dτ+φp(b))-b|≤

t→+∞

(23)

因此，由式(22)-(23)，對(duì)任意的ε>0, 存在N>0, 對(duì)任意的t>N, 任意的x∈M,可得

對(duì)任意的t1,t2>N, 任意的x∈M, 有

對(duì)任意的t1,t2>N, 任意的x∈M, 易知

|(Ax)′(t1)-(Ax)′(t2)|≤

|(Ax)′(t1)-b|+|(Ax)′(t2)-b|<ε

由引理3，結(jié)合A的連續(xù)性可知，A：P→P是全連續(xù)的。 證明完畢。

2 主要結(jié)果

為方便起見(jiàn)，令

定理1 假設(shè)條件(H1),(H2)成立，且存在d>2ρ, 有

(H3)

(H4)

(t,u0,u1,u2,u3)∈

J×[0,d]×[0,d]×[0,k*d]×[0,h*d]

則BVP(3)在J上有極大和極小解μ*，ν*，滿足

對(duì)于

ν0(t)=0,

定義迭代列{μn}，{νn}

(Tμn-1)(τ),(Sμn-1)(τ))dτ+φp(b))+

(Tμn-1)(τ),(Sμn-1)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sμn-1)(τ))dτ+φp(b))ds,

(Tνn-1)(τ),(Sνn-1)(τ))dτ+φp(b))+

(Sνn-1)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sνn-1)(τ))dτ+φp(b))ds

并且有

證明由引理4知，A:P→P是全連續(xù)的。對(duì)任意的x1,x2∈P,x1≤x2, 由A的定義和條件(H3)可知Ax1≤Ax2。記

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))+

(Tx)(τ),(Sx)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sx)(τ))dτ+φp(b))ds|≤

(Sx)(τ))dτ+φp(b))|≤

則有μ0∈Pd。令

μ1=Au0,μ2=Aμ1=A2μ0

由引理4可知μ1∈Pd,μ2∈Pd。定義

μn+1=Aun=An+1μ0,n=0,1,2,…

μ0′(τ),(Tμ0)(τ),(Sμ0)(τ))dτ+φp(b))+

(Sμ0)(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sμ0)(τ))dτ+φp(b))ds≤

t∈J

(24)

(Tμ0)(τ),(Sμ0)(τ))dτ+φp(b))≤

(25)

因此，有式(24) -(25)和條件(H4)可知

μ2(t)=(Aμ1)(t)≤(Aμ0)(t)=μ1(t),t∈J；

(26)

故

t∈J,n=0,1,2,…

(27)

ν1(t)=(Aν0)(t)=(A0)(t)≥0=ν0(t),t∈J；

t∈J

根據(jù)條件(H3),(H4)可得

ν2(t)=(Aν1)(t)=(A0)(t)≥0=ν1(t),t∈J；

t∈J

因此有

t∈J,n=0,1,2,…

(28)

所以存在ν*∈Pd,滿足νn→ν*,n→+∞。應(yīng)用A的連續(xù)性和νn+1=Aνn可知Aν*=ν*。

下面證明μ*，ν*是BVP(3)在區(qū)間

上的極大和極小解。

令

是BVP(3)的任一解，則有Au=u。由于A是非減的，并且

從而有

ν1(t)=(Aν0)(t)≤u(t)≤(Aμ0)(t)=μ1(t),

t∈J

因此可得

νn(t)≤μ(t)≤μn(t),n=1,2,3,…

(29)

ν0≤ν1≤…≤νn≤…≤ν*≤u≤

μ*≤…≤μn≤…≤μ1≤μ0

(30)

由于f(t,0,0,0,0) ≡0,t∈J, 所以零不是BVP(3)的解。故由式(30)可知結(jié)論成立，證明完畢。

注2 定理1中的迭代列分別由一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)和零函數(shù)開(kāi)始的，這在實(shí)際應(yīng)用中是十分方便的。

類似地可以得到下面的定理2。

定理2 假設(shè)條件(H1)-(H3)成立，并且存在dn>dn-1>…>d2>d1>2ρ滿足下面的條件：

(t,u0,u1,u2,u3)∈J×[0,dk]×[0,dk]×

[0,k*dk]×[0,k*dk],

k=1,2,…,n

對(duì)于

定義迭代列{μkn},{νkn}

(Tμk(n-1))(τ),(Sμk(n-1))(τ))dτ+φp(b))+

(Tμk(n-1))(τ),(Sμk(n-1))(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Sνk(n-1))(τ))dτ+φp(b))ds,

(Tνk(n-1))(τ),(Sνk(n-1))(τ))dτ+φp(b))+

(Tνk(n-1))(τ),(Sνk(n-1))(τ))dτ+φp(b))dsdt)+

(Tνk(n-1))(τ),(Sνk(n-1))(τ))dτ+φp(b))ds

且

注3 定理1中的解μ*，ν*可能重合，這時(shí)BVP(3)在Pd上只有一個(gè)解。類似地定理2中的解也可能重合。

3 例 子

考慮BVP

(|x′(t)|x′(t))′+

顯然

通過(guò)計(jì)算，可得

故條件(H1)成立。由

f(t,u0,u1,u2,u3)=

可知q(t)=e-6t,

因此有

即條件(H2)成立。由于

且對(duì)于

(t,u0,u1,u2,u3)∈

J×[0,d]×[0,d]×[0,k*d]×[0,h*d],

h滿足

h(t,(1+t)u0,(1+t)u1,(1+t)u2,(1+t)u3)≤

因此，定理1的所有條件都滿足。 故定理1的結(jié)論成立。

[1] LEIBENSON L S. General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium[J]. Izvestiia Akademii Nauk Kirgizskoi SSSR, 1983, 9: 7-10.

[2] DIAZ J I, THELIN F D. On a nonlinear parabolic problem arising in some models related to turbulent flows [J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1994, 25(4): 1085-1111.

[3] RAMASWAMY M, SHIVAJI R. Multiple positive solutions for classes ofp-Laplacian equations [J]. Differential Integral Equations, 2004, 17: 1255-1261.

[4] ORUGANTI S, SHI J, SHIVAJI R. Diffusive logistic equation with constant yield harvesting I: Steady-states [J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2002, 354(9): 3601-3619.

[5] ORUGANTI S, SHI J, SHIVAJI R. Logistic equation withp-Laplacian and constant yield harvesting [J]. Abstract and Applied Analysis, 2004, 2004(9): 723-727.

[6] GLOWINSKI R, RAPPAZ J. Approximation of a nonlinear elliptic problem arising in a non-Newtonian fluid flow model in glaciology [J]. Esaim Mathematical Modelling Numerical Analysis, 2003, 37: 175-186.

[7] CIRSTEA F, MOTREANU D, RADULESCU V. Weak solutions of quasilinear problems with nonlinear boundary condition [J]. Nonlinear Analysis, 2001, 43(5): 623-636.

[8] ZHAO X, GE W. Existence of at least three positive solutions for multi-point boundary value problem on infinite intervals withp-Laplacian operator [J].Journal of Applied Mathematics Computing, 2008, 28: 391-403.

[9] SUN J, CHEN H. Multiple positive solutions for multi-point boundary value problems with ap-Laplacian on the half-line [J]. Journal of Applied Mathematics Computing, 2010, 33: 173-191.

[10] LIANG S, ZHANG J. The existence of countably many positive solutions for one-dimensionalp-Laplacian with infinitely many singularities on the half-line [J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 201(1): 210-220.

[11] KIM C G. Existence and iteration of positive solutions for multi-point boundary value problems on a half-line [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2011, 61(7): 1898-1905.

[12] GUO Y, YU C, WANG J. Existence of three positive solutions form-point boundary value problems on infinite intervals [J]. Nonlinear Analysis, 2009, 71: 717-722.

[13] LIU Y. Existence and unboundedness of positive solutions for singular boundary value problems on half-line [J]. Applied Mathematics and Computation 2003, 144(2): 543-556.

[14] LIU B, LI J, LIU L. Existence and uniqueness for an m-point boundary value problem at resonance on infinite intervals [J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012, 64(6): 1677-1690.

[15] LIAN H, GENG F. Multiple unbounded solutions for a boundary value problem on infinite intervals [J]. Boundary Value Problems, 2011, 2011(1):1-8.

[16] LIU Y, WONG P. Unbounded solutions of BVP for second order ODE with p-laplacian on the half line [J]. Applications of Mathematics, 2013, 58(2): 179-204.

[17] LI J, LIU B, LIU L. Solutions for a boundary value problem at resonance on [0,+∞][J]. Mathematical Computer Modelling, 2013, 58: 1769-1776.

[18] 程偉, 徐家發(fā). 一類分?jǐn)?shù)階哈密頓系統(tǒng)非平凡解的存在性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 55(5): 21-26.

CHEN W, XU J F. Existence of nontrivial solutions for a class of fractional Hamiltonian systems [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 55(5): 21-26.

[19] 王金華, 向紅軍, 趙育林. 一類分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問(wèn)題解的存在性及Ulam穩(wěn)定性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 55(2):1-6.

WANG J H, XIANG H J, ZHAO Y L. Existence and Ulam stability of solutions for a boundary value problem of nonlinear fractional difference equation [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2016, 55(2): 1-6.

[20] JIANG J, LIU L, WU Y. Positive solutions for p-Laplacian fourth-order differential system with integral boundary conditions [J]. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2012, 2012(11): 715-735.

[21] LIU Y. Boundary value problem for second order differential equations on unbounded domain [J]. Acta Analysis Functionalis Applicata, 2002, 4(3): 211-216.

[22] CORDUNEANU C. Integral equations and stability of feedback systems [M]. New York: Academic Press, 1973.

Existenceofextremalsolutionsforthep-Laplacianintegro-differentialequationoninfiniteintervals

FANGYuping,WANGYing

(School of Mathematics and Statistics, Linyi University, Linyi 276000, China)

The integro-differential equation withp-laplacian operator is widely used in applied mechanics, astrophysics and classical electrology. The boundary value problem of nonlinear differential equations is an important branch of differential equations. Therefore, it is a great theoretical and practical significance to study the boundary value problems ofp-Laplacian integro-differential equations. A class ofp-Laplacian integro-differential equations with complex boundary conditions on infinite interval is systematically studied. By using the monotone iterative technique, the existence of extremal solutions as well as iterative schemes under the suitable conditions is established. At last, an example is given to demonstrate the use of the main result.

p-Laplacian operator; integro-differential equations; the monotone iterative technique; extremal solutions; infinite intervals

O175.8

A

0529-6579(2017)05-0041-10

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.05.006

2016-09-28

國(guó)家自然科學(xué)基金(11626125)；山東省自然科學(xué)基金(ZR2016AP04)；山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(J16LI03)；臨沂大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金(LYDX2016BS080)；大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目(201610452168)

方玉萍 (1996年生)，女；研究方向非線性微分方程；E-mail:312838088@qq.com

王穎(1981年生)，女；研究方向：非線性微分方程；E-mail: lywy1981@163.com