李夢(mèng)玉,申廣君,崔 靜

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,安徽蕪湖 241000)

一類多維參數(shù)高斯過程的弱逼近

李夢(mèng)玉,申廣君,崔 靜

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,安徽蕪湖 241000)

本文研究了一類多維參數(shù)高斯過程的弱極限問題.在一般情況下,利用泊松過程得到了此類過程的弱極限定理,此多維參數(shù)高斯過程可表示為確定的核函數(shù)關(guān)于維納過程的隨機(jī)積分,且包含多維參數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).

弱收斂;高斯過程;泊松過程;分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

1 引言

由于Davydov[8]的工作,最近很多學(xué)者研究了布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的弱收斂問題.Stroock[13]研究了一維標(biāo)準(zhǔn)的泊松過程與標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)之間的如下關(guān)系:令{N(t),t≥0}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的泊松過程,定義

則當(dāng)ε→0時(shí),yε(t)在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1])中弱收斂到標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng){Bt,t≥0}.受到Stroock[13]工作的啟發(fā),Bardina和Jolis[2]證明了當(dāng)ε→0時(shí),隨機(jī)過程族

在C([0,1]2)空間中弱收斂到標(biāo)準(zhǔn)的布朗單,其中是平面上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)泊松過程(關(guān)于多維情形的相應(yīng)結(jié)果可參考Bardina,Jolis和Rovira[1]).Delgado和Jolis[7]證明了可以利用泊松過程逼近具有如下隨機(jī)積分表示的一類高斯過程

其中K是滿足一定條件的確定的核函數(shù).Bardina,Jolis和Tudor[3]把上述結(jié)果推廣到分?jǐn)?shù)布朗單和其他兩參數(shù)高斯過程:令使得

其中W={Ws,t,(s,t)∈[0,1]2}是標(biāo)準(zhǔn)布朗單且核函數(shù)K1,K2滿足一些條件.令

那么Xε在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]2)中弱收斂到WK1,K2.更多關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),分?jǐn)?shù)布朗單和多參數(shù)過程的相關(guān)問題可參見Bardina和Florit[4],Li和Dai[10],Wang等[14,15],徐銳等[16],Dai[6]等文獻(xiàn).

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),令X(t1,···,td)是具有如下隨機(jī)積分表示的一類d-維參數(shù)高斯過程

其中W={Wt,t∈[0,1]d}表示d-維布朗運(yùn)動(dòng),Ki,i=1,···,d是滿足一定條件的確定的核函數(shù).本文證明了

在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]d)中弱收斂到X.此結(jié)論是將文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論推廣到了d-維參數(shù)情形,而在多維參數(shù)情形下的計(jì)算過程會(huì)遇到更多的困難,因此更多的借用了文獻(xiàn)[1]中的不等式來證明定理.本文中常數(shù)C0,C,Cd,cHi,CHi表示常數(shù),在不同的位置可以表示不同的值.

2 主要結(jié)論

是X在(s,t]上的增量(見Bickel和Wichura[5]).特別地,當(dāng)d=2時(shí),

是常見的二維空間上的增量.

本節(jié)考慮d-維參數(shù)高斯過程X={X(t),t∈[0,1]d},

其協(xié)方差函數(shù)為

其中Ki:[0,1]×[0,1]→R是滿足下列條件的函數(shù):

(H1)(i)對(duì)i=1,2,···,d,Ki是可測(cè)的且對(duì)任意的ui∈[0,1],Ki(0,ui)=0,a.e..

(ii)對(duì)i=1,2,···,d,存在單增的連續(xù)函數(shù)Fi:[0,1]→R和αi＞1使得對(duì)任意0≤si＜ti≤1,有

(H2)(i)對(duì)i=1,2,···,d,Ki是可測(cè)的且對(duì)任意的ui∈[0,1],Ki(0,ui)=0,a.e..

(ii)’對(duì)i=1,2,···,d,存在單增的連續(xù)函數(shù)Fi:[0,1]→R和0＜ ρi≤1使得對(duì)任意0≤si＜ti≤1,有

(iii)對(duì)i=1,2,···,d,存在常數(shù)Mi＞0和βi＞0使得對(duì)任意的0≤si＜ti≤1和0≤s0i＜t0i≤1,

注意到條件(ii)較(ii)’強(qiáng),在較弱的條件(ii)’下增加條件(iii)是為了證明Xn的胎緊性.

令{N(x),x∈Rd+}是定義在概率空間(?,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)泊松過程,?n＞0,ti∈[0,1],i=1,2,···d,定義

本節(jié)將證明在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]d)中,當(dāng)n→∞時(shí),Xn弱收斂到X.為了簡(jiǎn)化記號(hào),用Nn(u)表示隨機(jī)變量則Nn是強(qiáng)度為n的泊松過程.

為了證明主要結(jié)果,首先給出如下引理.引理2.1說明了過程Xn是連續(xù)的.

引理2.1設(shè)θ∈L∞([0,1]d),定義

其中核函數(shù)Ki,i=1,2,···,d滿足條件(i)和(ii)’,那么Y(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

證?0＜si≤ti＜1,i=1,···,d,根據(jù)H?lder不等式和條件(ii)’有

再由條件(i)知Y(t)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

引理2.2對(duì)任意函數(shù)fi∈L2([0,1]),i=1,2,···,d,存在一個(gè)正常數(shù)Cd使得

其中

證由于(見參考文獻(xiàn)[1])

和

進(jìn)而有

又有

其中

故

同理可計(jì)算

綜上可得

下面計(jì)算表達(dá)式(2.2)在區(qū)域Ac上的積分.Ac可分解成如下區(qū)域的并

僅計(jì)算在B2上的積分,其它區(qū)域上的積分可以類似計(jì)算.在B2上有不等式

因此表達(dá)式(2.2)在B2上的積分就可以用下面的式子來控制

事實(shí)上

同理可計(jì)算

故(2.3)式成立.綜上,可以得到

引理2.3設(shè)Y={Y(s),s∈[0,1]d}是一個(gè)連續(xù)過程.假設(shè)對(duì)固定的偶數(shù)m∈N和δi∈(0,1),i=1,2,···,d存在常數(shù)L＞0使得對(duì)任意的0＜si＜ti＜2si,i=1,2,···,d,有

成立.那么存在一個(gè)僅依賴于m和δi,i=1,2,···,d的常數(shù)C使得對(duì)任意的0≤si＜ti≤1,i=1,2,···,d,有成立.

證易證過程Y滿足

其中C0是依賴于m和δi,i=1,2,···,d的常數(shù).

下面把區(qū)間(si,ti]分解成可數(shù)個(gè)互不相交的小區(qū)間的和

根據(jù)Y的連續(xù)性有

且上式右邊的每個(gè)增量均滿足(2.5)式.所以

其中第一步使用了不等式

引理2.4設(shè)Xn是(2.1)式中定義的隨機(jī)過程,核函數(shù)Ki,i=1,2,···,d滿足條件(H2),那么對(duì)任意的偶數(shù)m∈N,存在僅依賴于m和條件(iii)中出現(xiàn)的參數(shù)的常數(shù)C,使得對(duì)任意

證

其中

根據(jù)引理2.3,只需要證明對(duì)任意的0＜s0i＜t0i＜2s0i,i=1,2,···,d,有

事實(shí)上

注意到

這里

進(jìn)一步Bx?Gc.給定xj,j=1,2,···,m,那么和是互不相交的.所以相關(guān)的增量也是獨(dú)立的,故易得到(2.7)式.

因此根據(jù)(2.8)式可得

由引理2.2的計(jì)算過程可類似計(jì)算上式不超過

定理 2.5在(H1)或(H2)的條件下,當(dāng)n→∞時(shí),(2.1)式定義的隨機(jī)過程族{Xn(t),t∈[0,1]d}在連續(xù)函數(shù)空間C([0,1]d)中弱收斂到X.

證首先,證明隨機(jī)過程族{Xn}的胎緊性.由于{Xn}在坐標(biāo)軸上取值為零,利用Bickel和Wichura[5]中建立的關(guān)于多參數(shù)隨機(jī)過程的胎緊性準(zhǔn)則,只需證明對(duì)某些m≥2存在常數(shù)C＞0和η＞1,以及單增的連續(xù)函數(shù)Fi,i=1,2,···,d,使得對(duì)0≤si≤ti≤1,i=1,2,···,d,

成立即可.

假設(shè)條件(H1)成立,根據(jù)引理2.2和條件(ii)有

其中第一個(gè)不等式使用了引理2.2,αi＞1,i=1,2,···,d.即(2.9)式成立.

假設(shè)條件(H2)成立.根據(jù)引理2.4,對(duì)任意的偶數(shù)m∈N存在一個(gè)常數(shù)C使得對(duì)0≤si≤ti≤1,i=1,2,···,d時(shí),有成立,即(2.9)式成立.

其次,證明隨機(jī)過程Xn依有限維分布收斂到X.事實(shí)上,只要證明?k≥1,a1,···,ak∈R且當(dāng)n→∞時(shí),隨機(jī)變量列依分布收斂到等價(jià)的只要證明相應(yīng)的特征函數(shù)收斂即可.

和

定義

另一方面,根據(jù)Bardina,Jolis和Rovira[1],當(dāng)n→∞時(shí),

依分布收斂到

因此?x∈R和l∈N,有

最后?x∈R和l,n∈N,|E[eixSn]?E[eixS]|≤η1+η2+η3,其中

聯(lián)立(2.11)式以及對(duì)t∈R,可以得到

根據(jù)(2.12)式,當(dāng)n→∞時(shí),η2→0.根據(jù)(2.10)式和多重隨機(jī)積分的性質(zhì)有

綜上,定理得證.

3 例子:多維參數(shù)分?jǐn)?shù)布朗單

基于Mandelbrot和Van Ness[11]的工作,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于金融、通訊等領(lǐng)域,它是具有自相似、長(zhǎng)相依、平穩(wěn)增量的高斯過程,其協(xié)方差函數(shù)為

其中

是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的常數(shù).

作為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)張過程,d維分?jǐn)?shù)布朗單是定義在概率空間(?,F,P)上的中心高斯過程且協(xié)方差函數(shù)其中當(dāng)是標(biāo)準(zhǔn)的d維布朗單它有連續(xù)的樣本軌道且在坐標(biāo)軸上為零,具有如下積分表示

以下驗(yàn)證d維分?jǐn)?shù)布朗單滿足本文中的假設(shè)條件.

此時(shí)取Fi(x)=x,αi=2Hi,則核函數(shù)KHi,i=1,2,···,d滿足條件(H1).

核函數(shù)KHi,i=1,2,···,d也滿足條件(H2).事實(shí)上只需要驗(yàn)證核函數(shù)滿足條件(iii).

對(duì)任意的a,b,z,|z|＞1且任意的c≠0,?1定義高斯超幾何函數(shù)F(a,b,c,z)如下(詳見參考文獻(xiàn)[12])

其中C1,C2是常數(shù).在超幾何函數(shù)中因?yàn)樗栽谏详P(guān)于xi是連續(xù)的. 因此在時(shí),在[0,ti]上關(guān)于xi是連續(xù)的,故在[0,ti]上存在常數(shù)C′使得即同理存在C′′使得所以?si＜ti,i=1,2,···,d,有其中C取C′和C′′中較大者.因此對(duì)s0i＜t0i,有

其中D取d′和d′′中較大者.所以?s0i＜t0i,i=1,2,···,d,

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WEAK APPROXIMATION FOR A CLASS OF MULTIDIMENSIONAL PARAMETER GAUSSIAN PROCESS

LI Meng-yu,SHEN Guang-jun,CUI Jing
(Department of Mathematics,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

In this paper,we study the weak convergence problem of a multidimensional parameter Gaussian process.Under rather general conditions,we give an approximation in law of the process which can be represented by a stochastic integral of a deterministic kernel with respect to a standard Wiener process. The approximation processes are constructed from a standard Poisson process.An example of a Gaussian process to which this result applies is the multidimensional parameter fractional Brownian sheet with any Hurst parameter.

weak convergence;Gaussian process;Poisson process;fractional Brownian motion

60F05;60G18

O211.4

A

0255-7797(2017)06-1287-16

2015-06-03接收日期:2016-05-16

國家自然科學(xué)基金(11271020;11401010);安徽省杰出青年科學(xué)基金(1608085J06);安徽省自然科學(xué)基金(1408085MA07).

李夢(mèng)玉(1990–),女,安徽六安,碩士,主要研究方向:隨機(jī)過程與隨機(jī)分析.

申廣君.