向 妮,吳 燕,竇 楠,張俊瑋

(湖北大學數學與統(tǒng)計學學院,湖北武漢 430062)

拋物型Monge-Ampère型方程的Cauchy-Neumann問題

向 妮,吳 燕,竇 楠,張俊瑋

(湖北大學數學與統(tǒng)計學學院,湖北武漢 430062)

本文研究了一類拋物型Monge-Ampère型方程的Cauchy-Neumann問題.通過構造輔助函數,利用函數在極大值點的性質及柯西不等式等方法對方程的解進行估計,得到了方程解的全局二階梯度估計.接著利用拋物方程的一般理論,進一步得到在光滑條件下,解的長時間存在性,推廣了拋物型Monge-Ampère方程的結果.

拋物型Monge-Ampère型方程;Cauchy-Neumann問題;先驗估計;梯度估計

1 引言

橢圓型Monge-Ampère方程已得到廣泛研究,具體可見文獻[3–5].在文獻[5]中,作者考慮Monge-Ampère型方程半線性Neumann邊值問題,通過證明二階導數的先驗估計得到該類方程Neumann邊值問題經典解的存在性,唯一性以及正則性.關于完全非線性方程Neumann邊值問題也有一些研究成果,如參考文獻[9].拋物型Monge-Ampère型方程是一類典型的完全非線性拋物方程,它在最優(yōu)控制理論等方面的研究中具有重要的應用,許多學者對此類方程進行了深入研究[1,2,7,8,10–12].本文考慮拋物型Monge-Ampère型方程的Cauchy-Neumann問題,形如

其中?是Rn中的A-凸區(qū)域,n≥2,??∈C4,Du為梯度向量,D2u為u的Hessian矩陣,是n×n的對稱矩陣值函數,是正的向量值函數,?∈C2,1(??×R)是向量值函數,ν是??上的單位內法向量.一般用x,z,p分別表示?,R,Rn中的元素.

進一步地,當D2u?A(x,u,Du)正定時,稱u是橢圓解.為了得到問題(1.1)–(1.3)橢圓解的先驗估計,要求A,B,?,u0滿足適當的光滑性條件和結構性條件:若函數A滿足

則稱A是正則(嚴格正則)的,其中若函數A滿足

稱A對z是非減(嚴格遞增)的.同樣地,若函數B和?滿足

則稱B和?對z是非減(嚴格遞增)的,u0滿足相容性條件

另外,區(qū)域?滿足A-凸條件,即存在函數使得在??上φ=0,Dφ≠0,在 ?內φ＜0且滿足不等式

其中I為單位矩陣,δ1為正常數.為了獲得問題(1.1)–(1.3)解的C2估計,還需要假設問題(1.1)–(1.3)的有界上解 ˉu存在且滿足

下面給出本文的主要結論.

定理1.1設為拋物型Monge-Ampère型方程的Cauchy-Neumann問題(1.1)–(1.3)的橢圓解,?∈C4是Rn中A-凸區(qū)域,滿足(1.4)–(1.5)式,滿足(1.6)式,滿足(1.7)式,滿足(1.8)式.假設問題(1.1)–(1.3)的有界上解存在且滿足(1.10)–(1.12)式,則有

其中C是依賴于n,A,B,?,u0,,|u|1,?,δ1的常數.

注定理1.1中假設(1.1)–(1.3)式的上解有界,因為定理1.1得到(1.13)式中二階導數被C控制,而C是依賴于的常數,故如果不假設上解有界,則不能得到解的二階梯度估計．

為了保證t=0處的光滑性,需要假設u0滿足相容性條件

其中m≥0,u,ui,···關于時間的導數可以由(1.1)和(1.3)式得到.

在梯度估計的證明中,還需要A的結構性條件

其中p∈Rn,μ0為正常數.

基于前面的先驗估計,結合連續(xù)性方法以及拋物方程的一般理論,可以得到問題(1.1)–(1.3)光滑解的存在性和正則性如下.

定理1.2設?是Rn中有界光滑的A-凸區(qū)域,n≥2,且滿足(1.4),(1.5)和(1.15)式,滿足(1.6)式,滿足(1.7)式,滿足相容性條件(1.8)和(1.14)式.假設問題(1.1)–(1.3)的光滑有界上解存在且滿足(1.10)–(1.12)式,則對任意的t≥0,問題(1.1)–(1.3)存在光滑解.另外,當t→∞時,u光滑地收斂到光滑函數u∞,其中u∞滿足Neumann邊值問題

2 預備知識

這一節(jié),先介紹與證明相關的一些基本概念和基本引理,然后給出解的C0和C1估計.定義算子記其中是{wij}的逆矩陣.

引理2.1設且u,v是橢圓解,是n×n對稱矩陣值函數滿足(1.5)式,是向量值函數滿足(1.6)式,假設u,v滿足如下條件

(1)在?×[0,T)上,

(2)在??×[0,T]上,如果u＞v,那么uν＞vν;

證令考慮

其中h∈[0,1],

由u(x,t),v(x,t)是橢圓解可知(aij)是正定矩陣,又由(1.5),(1.6)式可得由條件(1),可以得到

由拋物方程的極值原理得

這里(u?v)+=max{u?v,0}.

接下來,假設u?v在??×[0,T]上取得正極大值,則u?v＞0,且Dν(u?v)≤0,這與條件(2)矛盾,故u?v不能在??×[0,T]上取得正極大值.再根據條件(3),故有u≤v在上恒成立.

為了證明問題(1.1)–(1.3)解的先驗估計,給出以下引理.

引理2.2設?是Rn中的A-凸區(qū)域,為問題(1.1)–(1.3)的橢圓解,滿足(1.5)式,滿足(1.6)式,滿足(1.7)式.如果對t=0成立,則對任意的t＞0,有恒成立.

證對(1.1)式關于t求導可得

由橢圓解知Fij為正定矩陣,由 (1.5),(1.6)式得DzAij≥0,DzB≥0,從而可以得到FijDzAij+DzB≥0,則由拋物方程的極值原理得

若存在點(x0,t0)∈?×(0,T)使得則由拋物方程的強極值原理得這與t=0時矛盾;若存在點使得則與Hopf引理矛盾.

綜上可得,對任意的t＞0,恒成立.

接下來給出問題(1.1)–(1.3)解的C0和C1估計.

定理2.1設?是Rn中有界的A-凸區(qū)域,為問題(1.1)–(1.3)的橢圓解,滿足(1.5)式,滿足(1.6)式,滿足(1.7)式,假設問題(1.1)–(1.3)的有界上解存在且滿足(1.10)–(1.12)式,則有其中C是依賴于的常數.

證由相容性條件 (1.8)和引理 2.2可得對任意的t＞0有則有u(x,t)≥u(x,0)=u0(x),已知問題 (1.1)–(1.3)存在上解根據引理 2.1有從而可以得到其中C是依賴于的常數.

定理2.2設 ?是 Rn中有界的A-凸區(qū)域,為問題 (1.1)–(1.3)的A-凸解,滿足 (1.5)式,滿足 (1.6)式,滿足 (1.7)式.假設問題 (1.1)–(1.3)的有界上解存在且滿足(1.10)–(1.12)式.如果對t=0有成立,則有其中C是依賴于的常數.

證首先對關于t求導得

由上面的計算可得

由橢圓解知Fij為正定矩陣,由 (1.5),(1.6)式得DzAij≥0,DzB≥0,從而可以得到2FijDzAij+2DzB≥0,則由拋物方程的極值原理得

由文獻[11]中的定理9可得對任意的t0∈[0,T],有

其中M1是依賴于n,A,B,?,?的常數.由t0的任意性可得

其中C是依賴于n,A,B,?,?,M1的常數.

3 C2估計

本節(jié)給出定理1.1的證明,在證明二階梯度估計之前先介紹一個引理,此引理對證明二階梯度估計非常重要,其證明過程和文獻[6]中的引理2.1類似,省略證明細節(jié).

引理3.1設是問題(1.1)–(1.3)的橢圓解,是問題(1.1)–(1.3)的橢圓有界上解,其中A滿足(1.4)–(1.5)式,則有其中N是正常數,ε,C是依賴于的正常數.

首先定義輔助函數v,G如下

定理1.1的證明本定理的證明通過對v在上的最大值的估計,得到對應的D2u在×[0,T]上的估計,從而得到本定理的結論.

證下面分兩種情形證明定理1.1.

假設v(x,t)在點(x0,t0)處取得最大值,且以下所有的計算都在點(x0,t0)處進行.

情形一若(x0,t0)∈?×(0,T),根據(3.1)式中v和G的定義知,G也在點(x0,t0)處取得最大值.對G關于xi求偏導得

再對DiG關于xj求偏導得

將算子Lt作用到G上得

其中第一個不等式運用了(3.2),(3.3)式和

首先將算子Lt作用到log(wξξ?v′)上得

其中第三個等式運用了算子Lt(wξξ?v′)的定義.

接著將算子Lt作用到|Du|2上得

同理,第三個等式運用了算子Ltuk的定義.將(3.5),(3.6)式代入(3.4)式得

首先估計(3.7)式中的Lt(wξξ?v′),將(1.1)式沿ξ方向求導得

再次對(3.8)式沿ξ方向求導得

接著將算子Lt作用到uξξ上得

其中第二個等式是將(3.9)式代入所得.由(3.10)和(1.4)式可以得到

其中J=trFii,C是依賴于n,A,B,|u|1,?的常數.同理可得

結合(3.11),(3.12),(3.13)式可得

其中C是依賴于n,A,B,|u|1,?的常數.

其中θ＞0,C(θ)是依賴于θ的正常數.進一步,估計2αDkuLtuk,將算子Lt作用在uk上可得

其中第二個等式是將(1.1)式關于xk求導代入得到的.則由(3.16)和(2.1)式得

其中C是依賴于n,A,B,|u|1,?的常數.由引理3.1得

合并(3.14),(3.15),(3.17),(3.18)式得

假設{wij}在(x0,t0)處為對角矩陣函數,有最大特征值w11,且w11＞1,否則結論已證.首先估計(3.19)式的三階導數項.由文獻[11]中的(3.48)式可以得到

由于v′是有界的,w11,wξξ是可比較的,則對任意的θ＞0,存在更大的常數C(θ),若w11＞C(θ),則有

由(3.20),(3.21)式可得

由(3.2)式中的DiG=0可得

由(3.23)式和柯西不等式可得

其中C是依賴于n,a,N,ˉu,φ,|u|1,?的常數.結合 (3.19),(3.21),(3.22),(3.24)式得對w11＞C(θ),有

先選擇α,β足夠大,然后選擇θ是充分小的正常數,從而可以得到估計wii(x0,t0)≤C,其中C是依賴于A,B,?,|u|1,?的常數.從而可以得到|D2u(x,t)|對應的估計.

情形二若(x0,t0)∈??×[0,T],考慮當ξ屬于三種不同的方向,分別來估計v(x0,t0,ξ).

首先將切算子δi作用到(1.2)式上可以得到

其中δi=(δij? τiτj)Dj,可以得到

其中τ為任意的切向量.

(i)ξ是點(x0,t0)處的單位法向量.首先定義輔助函數g如下:g=νkDku??(x,u).將算子Lt作用到g上得

接下來,將算子Lt作用到u上可得

將(3.16),(3.27)式代入(3.26)式可得

由(3.16),(3.27)和(3.28)式可得|Ltg|≤C(1+J+|D2u|),其中C是依賴于?,A,B,?,|u|1,?的常數.又因為所以

又由于φ是A-凸區(qū)域的定義函數,由(1.9)式可得

結合(3.29),(3.30)式,并選取?φ為閘函數,由Hopf引理的證明可以得到

結合(3.31),(3.32)式可以得到

則由(3.33)式可得

(ii)ξ是點(x0,t0)處的非切非法向量.單位向量ξ可以被寫成ξ=(ξ·τ)τ+(ξ·ν)ν,且τ·ν=0,(ξ·τ)2+(ξ·ν)2=1.由v′的定義可得

由v的定義得

其中第二個等式是將(3.35)式代入所得,第四個不等式是由v在點(x0,t0)和向量ξ處取得最大值所得.再結合(3.34),(3.36)式得

(iii)ξ是點(x0,t0)處的切向量,則(ξ·ν)=0,由v′的定義知v′(x0,t0,ξ)=0.假設在點(x0,t0)的法向量為ν=(0,···,0,1),wij(x0,t0)是對角陣,且有最大特征值w11(x0,t0)＞1,否則結論已證.計算DνΦ可得

其中第二個不等式利用了v′(x0,t0,ξ)=0,由(3.37)式可得c0=aN,

由(3.38)式可得

另外,對(1.2)式沿切向求二階導得

在點(x0,t0)處對切向量ξ,有

第二個不等式由(3.33)式得到.結合(3.39),(3.40)式可以得到

觀察(3.41)式右邊的第一項的二階導數項,由(3.25)式可以得到在點(x0,t0)的估計

取β滿足從而可以得到故可以得到其中C是依賴于n,A,a,N,?,|u|1,?的常數.

從上面(i),(ii),(iii)三種情況得,若v在邊界點 (x0,t0)處取得上的最大值,則v(x0,t0,ξ)在上是有界的,從而Dξξu(x0,ξ)在上是有界的.

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THE CAUCHY-NEUMANN PROBLEM FOR PARABOLIC TYPE AND MONGE-AMPèRE TYPE EQUATIONS

XIANG Ni,WU Yan,DOU Nan,ZHANG Jun-wei
(School of Mathematics and Statistics,Hubei University,Wuhan 430062,China)

In this paper,we study the Cauchy-Neumann problem for parabolic type and Monge-Ampère type equations.By establishing an anxiliary function,using the methods of the properity at the maximum point and cauchy inequality,we prove the global gradient estimates for second order derivatives.And by using the general theory of parabolic equations,we obtain that such solution exists for all times under smoothness and regularity conditions,which generalizes the results of parabolic type and Monge-Ampère type equations.

parabolic type and Monge-Ampère type equation;Cauchy-Neumann problem;a priori estimate;gradient estimate

35K20;35K61

O175.29

A

0255-7797(2017)06-1261-14

2017-01-13接收日期:2017-04-25

湖北省教育廳科學技術研究計劃重點項目(D20171004).

向妮(1981–),女,重慶云陽,副教授,主要研究方向:偏微分方程.