潘水洋，王一鳴

（北京大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100871）

基于滬深300股指期貨高頻數(shù)據(jù)趨勢持續(xù)期模型的構(gòu)建與檢驗(yàn)

潘水洋，王一鳴

（北京大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100871）

文章針對我國滬深300股指期貨高頻數(shù)據(jù)時間序列具有趨勢運(yùn)動特性，提出了趨勢持續(xù)期模型。首先采用泊松過程對趨勢持續(xù)期的市場微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，得出了趨勢持續(xù)期在理論上服從Gamma分布；基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法提取股指期貨日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)的趨勢持續(xù)期，采用最大似然估計(jì)法，估計(jì)趨勢持續(xù)期的Gamma分布參數(shù)，同時通過Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)驗(yàn)證了模型的有效性；最后對不同采樣間隔下的趨勢持續(xù)期進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，趨勢持續(xù)期模型具有很好的穩(wěn)健性。

趨勢持續(xù)期；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解；泊松過程；伽馬分布

0 引言

在分析高頻時間序列過程中，資產(chǎn)價格高頻時間序列往往存在短期趨勢，許多高頻數(shù)據(jù)量化模型嘗試去預(yù)測價格運(yùn)動趨勢，如Zhang等[1]采用非線性自回歸條件持續(xù)期模型對高頻交易數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測、Paresh等[2]在隱馬爾科夫模型框架下對商品期貨價格高頻時間序列進(jìn)行了較為成功的預(yù)測。與此同時，大量交易者通過量化模型預(yù)測短期趨勢戰(zhàn)勝市場獲取超額收益的事實(shí)表明：趨勢預(yù)測在實(shí)際的交易活動中起著至關(guān)重要的作用。正因如此，對趨勢形成背后的市場微觀結(jié)構(gòu)的研究顯得尤為重要。

在日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)下，一個令人感興趣的研究點(diǎn)是趨勢持續(xù)期是如何形成的？它的統(tǒng)計(jì)分布具有哪些特性？深刻了解趨勢持續(xù)期的背后形成機(jī)制和統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律對基于時間尺度構(gòu)建高頻交易策略起著至關(guān)重要的作用。國內(nèi)外目前還沒有文獻(xiàn)對高頻數(shù)據(jù)趨勢持續(xù)期進(jìn)行研究。本文的創(chuàng)新之處在于首次提出了趨勢持續(xù)期這一基本概念，通過使用泊松過程對市場微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，得出了趨勢持續(xù)期服從Gamma分布，基于Massey[3]提出的Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗(yàn)方法，采用滬深300股指期貨2011年1月1日到2015年12月31日高頻交易數(shù)據(jù)對趨勢持續(xù)期統(tǒng)計(jì)分布進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)證了本文所提出模型的正確性。

1 趨勢持續(xù)期模型構(gòu)建

本文將趨勢持續(xù)期定義為成交價格連續(xù)上漲或連續(xù)下跌的持續(xù)時間。成交價格連續(xù)上漲形成的趨勢稱之為上漲趨勢持續(xù)期；成交價格連續(xù)下跌形成的趨勢稱之為下跌趨勢持續(xù)期。為了探討趨勢形成機(jī)理，先研究市場微觀機(jī)制特性，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）市場存在兩類異質(zhì)交易者，一類是買方多頭，主動買入股票，引起股票價格上漲；另一類為賣方空頭，主動賣出股票，引起股票價格下跌；

（2）股票具有最小價格變動單位ΔS，價格變化是離散的；

（3）交易市場為指令驅(qū)動型市場，買賣雙方不斷將下單指令提交至指令??；

（4）指令成交事件為泊松過程。O’Hara[4]、Scalas[5]和Weber[6]對此假設(shè)分別給出了理論推導(dǎo)和實(shí)證檢驗(yàn)。

假定觀測到的資產(chǎn)市場價格Pt滿足：

P*表示資產(chǎn)的基本價值，在高頻交易數(shù)據(jù)中P*保持不變。It可以解釋為一個指令型的指示變量，1代表買方發(fā)動的交易；-1代表賣方發(fā)動的交易。ΔS表示最小報價單位。由式（1）可知，當(dāng)買方連續(xù)發(fā)出交易指令時，價格連續(xù)上漲，形成上漲趨勢；當(dāng)賣方連續(xù)發(fā)出交易指令時，價格連續(xù)下跌，形成下跌趨勢。

本文將買方和賣方發(fā)起的交易指令作為事件集中的元素，并按照交易發(fā)生的先后順序建立事件時間軸。買方和賣方主動發(fā)起指令按照強(qiáng)度為λ的Poisson過程到達(dá)，如下頁圖1所示。

在圖1中，t0時刻買方多頭占主導(dǎo)地位，資產(chǎn)價格產(chǎn)生上漲趨勢，買方多頭力量連續(xù)發(fā)出交易指令，在t1時刻，交易指令引起價格上漲Δp1。t2時刻，交易指令引起價格上漲Δp2。一直到tk時刻，交易指令引起價格上漲Δpk，此后多空力量發(fā)生反轉(zhuǎn)，賣方空頭開始處于主導(dǎo)地位，資產(chǎn)價格由上漲趨勢轉(zhuǎn)變?yōu)橄碌厔?。根?jù)Sheldom[7]提出的Poisson過程的性質(zhì)：第i-1次交易發(fā)生與第i次交易發(fā)生的時間間隔Δti相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其分布密度函數(shù)為：

圖1 趨勢持續(xù)期模型

圖1中第一個趨勢持續(xù)期為：

記τn為市場上第n個趨勢的持續(xù)期。根據(jù)Poisson過程的性質(zhì)，趨勢持續(xù)期τ服從Gamma分布，其分布密度函數(shù)為：

本文采用泊松過程對交易指令進(jìn)行建模，從理論上得出了趨勢持續(xù)期服從Gamma分布，模型的具體行為可參考圖1。

2 模型檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，采用滬?00指數(shù)股指期貨2011年1月1日到2015年12月31日高頻交易數(shù)據(jù)對趨勢持續(xù)期統(tǒng)計(jì)分布進(jìn)行檢驗(yàn)。首先基于Huang[8]提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法提取出股指期貨日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)的趨勢持續(xù)期。然后采用最大似然估計(jì)法，估計(jì)趨勢持續(xù)期的Gamma分布參數(shù)，最后通過Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)驗(yàn)證模型的有效性。為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)健性選取的數(shù)據(jù)為股指期貨當(dāng)月主力合約1秒間隔高頻數(shù)據(jù)、5秒間隔高頻數(shù)據(jù)、10秒間隔高頻數(shù)據(jù)、20秒間隔高頻數(shù)據(jù)、30秒間隔高頻數(shù)據(jù)、60秒間隔高頻數(shù)據(jù)作為樣本。

2．1 基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解濾波算法提取趨勢持續(xù)期

本文采用如下方法提取趨勢持續(xù)期：

（1）對原始高頻數(shù)據(jù)采用Boudraa[9]提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解濾波算法，濾除噪聲干擾。

（2）對濾波后的數(shù)據(jù)提取波峰與波谷的位置。

（3）波峰與波谷之間的距離為趨勢持續(xù)期。

濾波的原因在于高頻交易時間序列存在噪聲，趨勢之上會疊加干擾，需要采用濾波技術(shù)濾除這些干擾，得到干凈的趨勢成分。

本文采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對原始高頻數(shù)據(jù)濾波主要基于如下考慮：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解是一種非線性時間序列分析方法，而高頻時間序列具有非線性，非平穩(wěn)特性，普通的濾波方法如移動平均、指數(shù)平均濾波方法本質(zhì)上屬于線性處理方法，這些濾波方法作用在高頻時間序列時會產(chǎn)生嚴(yán)重滯后效應(yīng)，不能正確提取波峰波谷位置，這將導(dǎo)致提取的趨勢持續(xù)期產(chǎn)生誤差。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解濾波計(jì)算方法如下所示：

給定時間序列x(t)，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法通過篩選過程將其分解成多個特征時間尺度的固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)，稱這些函數(shù)為IMF。每一個IMF分量必須滿足兩個條件：①極值點(diǎn)(包括極大值和極小值)的個數(shù)與過零點(diǎn)的個數(shù)相等或至多相差一個；②由局部極大值點(diǎn)構(gòu)成的上包絡(luò)和局部極小值點(diǎn)構(gòu)成的下包絡(luò)的均值為零。篩選過程如下：

（1）確定?的取值(0.2-0.3)，j←1

（2）cj?1(t)←x(t)

（3）提取第j個IMF分量，過程如下：

①i← 1，hj,i?1(t)←cj?1(t)

②提取hj,i?1(t)的所有極值點(diǎn)

③分別對極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)采用三次樣條插值得到hj,i?1(t)的上包絡(luò)Uj,i-1(t)和下包絡(luò)Lj,i-1(t)

④計(jì)算包絡(luò)的平均值：mj,i-1(t)←[Uj,i-1(t)+Lj,i-1(t)]/2

⑤更新：hj,i(t)←hj,i-1(t)-mj,i-1(t),i←i+1

⑥計(jì)算停止迭代準(zhǔn)則：

⑦重復(fù)步驟②至步驟⑥,當(dāng)SD(i)＜?時，IMFj(t)←hj,i(t)

（4）更新剩余分量：cj(t)←cj?1(t)-IMFj(t)

（5）重復(fù)步驟（3），j← j+1，當(dāng)cj(t)的極值點(diǎn)小于2時，結(jié)束整個過程。

經(jīng)過經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法篩選，時間序列x(t)被分解成N個IMFj(t)，j=1,…,N和一個剩余分量s(t),選取合適的IMF分量就可以濾除噪聲，完成對x(t)濾波。即：

2．2 最大似然估計(jì)

通過經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對高頻數(shù)據(jù)濾波，獲得趨勢持續(xù)期時間序列τ1,τ2,…,τn，接下來采用極大似然估計(jì)對趨勢持續(xù)期的Gamma分布進(jìn)行估計(jì)檢驗(yàn)。首先得到似然函數(shù)：

兩邊取自然對數(shù)：

對數(shù)似然函數(shù)分別對α,β求一階倒數(shù)，并令其一階倒數(shù)為0，即可求出最大似然估計(jì)值,。表1為采用最大似然估計(jì)對Gamma分布各個參數(shù)的估計(jì)結(jié)果。

表1 趨勢持續(xù)期Gamma分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

從表1可以看出，不同的采樣時間間隔下趨勢持續(xù)期均較好的服從Gamma分布，不同采樣時間間隔下α的估計(jì)值非常接近，β估計(jì)值隨著采樣時間間隔的增大而增加。在Gamma分布中參數(shù)α為形狀參數(shù)，α的變化主要引起分布曲線形狀的改變，α的值越小，分布的拖尾越明顯。β為尺度參數(shù)，反應(yīng)了分布的尺度信息，隨著β的增大，分布曲線的跨度增加且峰值降低，因此采樣時間間隔越大，β的估計(jì)值必然會增大。

2．3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

本文采用Massey[3]提出的Kolmogorov-Smirnov單樣本檢驗(yàn)來驗(yàn)證分布的擬合優(yōu)度。KS檢驗(yàn)是一個非參數(shù)檢驗(yàn)，對由極大似然估計(jì)得到的Gamma分布進(jìn)行擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)，采用了單樣本KS檢驗(yàn)的方法，KS檢驗(yàn)的基本原理是通過檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)累積分布與假設(shè)累積分布之間的距離來進(jìn)行判斷，具體描述如下：

對n個獨(dú)立同分布的樣本{τi,i=1,2…,n}，F(xiàn)n(τ)是τi的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)。給定如下假設(shè)H0：{τi,i=1,2…,n}服從通過極大似然法擬合得到的Gamma分布函數(shù)F(τ)，計(jì)算{τi,i=1,2…,n}的經(jīng)驗(yàn)累計(jì)分布Fn(τ)與理論累計(jì)分布F(τ)的最大差距，記為統(tǒng)計(jì)量Dn：

由 Kolmogorov定理可知，若Fn(τ)與F(τ)為同一分布，則Dn服從Kolmogorov分布，即：

給定顯著性系數(shù)a，通過計(jì)算可以得到相應(yīng)的分位數(shù)Ka，使得：

當(dāng)Dn＞Ka時，在顯著性水平a下拒絕原假設(shè)H0。表2給出了不同采樣時間間隔下KS檢驗(yàn)結(jié)果。表中KS檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05，表2的結(jié)果支持了趨勢持續(xù)期服從Gamma分布。

表2 KS檢驗(yàn)結(jié)果

2．4 模型穩(wěn)定性檢驗(yàn)

由于在不同的采樣時間間隔下，持續(xù)期分布均服從Gamma分布，而且α的估計(jì)值非常接近，說明模型是有效的。為進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头€(wěn)定性，對不同采樣時間間隔下的趨勢持續(xù)期進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，進(jìn)一步檢驗(yàn)其統(tǒng)計(jì)分布特性：

其中τ是趨勢持續(xù)期隨機(jī)變量，σ是趨勢持續(xù)期τ的標(biāo)準(zhǔn)差。f(τ)是未經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理的趨勢持續(xù)期τ的概率密度分布函數(shù)。f′(τ/σ)是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后隨機(jī)變量τ/σ的概率密度分布函數(shù)。再次利用Gamma分布對標(biāo)準(zhǔn)化后的趨勢持續(xù)期進(jìn)行建模，同樣使用極大似然估計(jì)法估計(jì)各個參數(shù)得到估計(jì)結(jié)果如表3所示。觀察表3中列出的不同采樣間隔下各參數(shù)的估計(jì)值，α,β的估計(jì)值都非常接近，結(jié)果進(jìn)一步表明了本文所提出模型的穩(wěn)健性。

表3 標(biāo)準(zhǔn)化后趨勢持續(xù)期Gamma分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

3 結(jié)論

通過對市場微觀結(jié)構(gòu)描述，基于泊松過程對趨勢持續(xù)期形成過程進(jìn)行建模，從理論上推導(dǎo)趨勢持續(xù)期服從Gamma分布。采用最大似然估計(jì)和KS檢驗(yàn)對趨勢持續(xù)期的分布參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)和推斷，結(jié)果表明了該模型的正確性。對不同采樣時間間隔下的趨勢持續(xù)期進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，趨勢持續(xù)期的分布展現(xiàn)了比較一致的分布特性，趨勢持續(xù)期模型具有很強(qiáng)的穩(wěn)健性。

高頻數(shù)據(jù)下，上漲趨勢與下跌趨勢交替進(jìn)行，其形成的原因可能是隨著時間推移，趨勢持續(xù)一段時間后，價格朝著不利于處在主導(dǎo)地位交易者的方向變動，致使交易者重新選擇買賣點(diǎn)，并由此形成趨勢反轉(zhuǎn)，由此往復(fù)就形成了上漲趨勢與下跌趨勢的交替進(jìn)行。

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F830.9

A

1002-6487（2017）20-0090-03

潘水洋（1986—），男，湖南岳陽人，博士研究生，研究方向：資產(chǎn)定價。

王一鳴（1967—），男，江西臨川人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：資產(chǎn)定價與風(fēng)險管理。

(責(zé)任編輯/易永生)