張維群，余欣媛，趙鯤鵬

（1.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710100；2.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，西安 710061）

一種基于多變量空間非概率抽樣方法的設(shè)計(jì)

張維群1，余欣媛1，趙鯤鵬2

（1.西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710100；2.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，西安 710061）

文章基于樣本均值無偏估計(jì)和有效估計(jì)的前提下，以行政區(qū)域單位劃分為抽樣框，采用多個輔助指標(biāo)控制多目標(biāo)抽樣估計(jì)的誤差，設(shè)計(jì)了一種多指標(biāo)空間非概率抽樣樣本選取方法。并利用陜西省2014年城鎮(zhèn)人均可支配收入以及人口增長率兩個輔助指標(biāo)對陜西省107個區(qū)縣進(jìn)行了抽樣應(yīng)用，結(jié)果顯示樣本的抽取涵蓋了各個不同水平層次的區(qū)縣，抽樣效果良好。

多變量；空間樣本；抽樣設(shè)計(jì)；抽樣方法

0 引言

隨著抽樣技術(shù)不斷進(jìn)步，抽樣調(diào)查的發(fā)展已經(jīng)進(jìn)入新的階段，抽樣技術(shù)也被人們提出了新的要求。依據(jù)GIS對自然界動植物及礦產(chǎn)資源進(jìn)行空間樣本選取和估計(jì)中，大多數(shù)文獻(xiàn)空間抽樣理論是基于給定空間尺度下，對總體空間選擇代表性樣本空間[1-7]。當(dāng)前，對于經(jīng)濟(jì)、社會問題的空間抽樣理論研究逐漸得到理論界的關(guān)注，在經(jīng)濟(jì)、社會問題的抽樣定量估計(jì)中，空間單元區(qū)域往往是按照行政區(qū)劃分，比如，抽樣單元為區(qū)縣行政區(qū)，各個行政區(qū)域地圖形狀不規(guī)則，其面積大小也必然不相等，若按照GIS等面積空間單元進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì),顯然是不可行的；另一方面中，利用同一樣本同時推斷總體的多個屬性，總是依據(jù)一個輔助變量進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)，而輔助變量并不一定與總體多個推斷指標(biāo)強(qiáng)相關(guān)，比如要推斷總體人均純收入和人口增長率等指標(biāo)，用單個輔助指標(biāo)做抽樣設(shè)計(jì)對多目標(biāo)指標(biāo)進(jìn)行推斷的誤差難以控制。因此，本文在抽樣單元區(qū)域?yàn)樽匀恍姓挝磺樾蜗拢芯坷枚嘀笜?biāo)進(jìn)行空間抽樣設(shè)計(jì)，并達(dá)到對總體多指標(biāo)進(jìn)行有效推斷的目的。

1 多變量空間抽樣方法的設(shè)計(jì)

Tobler W.（1970）[8]提出了著名的托普勒第一定律,他認(rèn)為,任何事物之間都有相關(guān)性,相距近的事物比相距遠(yuǎn)的事物之間更加相關(guān)；此后，一大批學(xué)者對空間相關(guān)性和空間變異等問題做了大量的研究[9-14]，對這種些相關(guān)性的研究和量化構(gòu)成了空間統(tǒng)計(jì)理論的基礎(chǔ)。有關(guān)空間相關(guān)性測度理論的研究文獻(xiàn)較多，歸納起來，均體現(xiàn)了總體特征與地理空間位置具有相關(guān)性。

根據(jù)托普勒第一定律，認(rèn)為y1,y2變量的水平與空間單元的位置si有關(guān)。因此，總體變量的數(shù)量特征自然可以看成地理空間位置的函數(shù)，不妨，先討論兩變量的情形，設(shè)抽樣總體有兩個需要估計(jì)的目標(biāo)變量y1,y2，且y1,y2一般情形下在空間區(qū)域上非均勻分布。因此，目標(biāo)變量y1,y2是關(guān)于空間單元位置si的函數(shù)，形式可以寫為向量：，空間抽樣樣本兩個目標(biāo)變量的總體均值向量為：?？臻g抽樣樣本兩個目標(biāo)變量的方差為：

在實(shí)際的應(yīng)用中，可以依據(jù)目標(biāo)變量前期水平作為輔助指標(biāo)做抽樣設(shè)計(jì)。如果采用簡單隨機(jī)多指標(biāo)抽樣技術(shù)，一個優(yōu)良的空間樣本選取應(yīng)是樣本均值估計(jì)滿足無偏性。即：

這里，定義多指標(biāo)空間抽樣樣本的廣義方差為樣本協(xié)方差陣的積。顯然，一個優(yōu)良的多指標(biāo)簡單隨機(jī)空間抽樣方案中，其樣本均值估計(jì)量應(yīng)當(dāng)滿足無偏性同時還應(yīng)當(dāng)滿足方差最小，因此，可以構(gòu)造式（2）表達(dá)式描述這種抽樣思想。

對于式（2）可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，其函數(shù)形式見式（3）：

如何獲得一個最優(yōu)的樣本，可以通過式（3）求最小值情形下的結(jié)果以獲得最優(yōu)樣本。因此，對于?,si，式（3）對si求偏導(dǎo)，有：

上式變換有：

對于式（4）中參數(shù)λ1,λ2和C，可以利用總體全部單位信息進(jìn)行回歸估計(jì)。式（4）經(jīng)變換為式（5）為非線性模型，利用式（5）采用牛頓迭代法估計(jì)出參數(shù)1,2,?。在多指標(biāo)空間抽樣中，最優(yōu)空間樣本的選取應(yīng)當(dāng)滿足條件：

事實(shí)上，由于空間離散分布的情形下，選取樣本容量為n的樣本不可能全部滿足上式的條件，因此，上式可以寫成式（6）的形式。

一般情況下，若要采用p個變量作為輔助指標(biāo)做空間抽樣設(shè)計(jì)，自然，有樣本選取的條件：

2 基于多變量的空間抽樣應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)、社會空間抽樣設(shè)計(jì)中，存在著以下三個方面的問題，一是抽樣對象為行政劃分的區(qū)縣，各行政區(qū)縣的單元尺度面積并不是完全相等的，進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)的歷史指標(biāo)卻是按照行政區(qū)縣獲得各個單位數(shù)據(jù)，按照等單元尺度設(shè)計(jì)的空間抽樣方案并不一定完全合適；二是在抽樣中，往往采用一個樣本來推斷區(qū)域經(jīng)濟(jì)和社會的多個指標(biāo)的信息，若采用單指標(biāo)進(jìn)行抽樣設(shè)計(jì)可能存在著推斷風(fēng)險；三是需要推斷的指標(biāo)在地理空間上具有很強(qiáng)的相關(guān)性，因此，這就需要采用基于多變量的空間抽樣方法。如果需要對陜西省城鎮(zhèn)人均可支配收入、人口增長率兩個經(jīng)濟(jì)社會指標(biāo)進(jìn)行抽樣推斷，由于經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和社會指標(biāo)之間相關(guān)性較弱，不同區(qū)域各個指標(biāo)再地理空間上具有強(qiáng)的相關(guān)性，采用單指標(biāo)空間抽樣方法存在缺陷。因此，利用本文設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行多指標(biāo)空間抽樣應(yīng)用，以驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)抽樣方法的有效性。

若需要通過空間抽樣推斷2015年陜西省城鎮(zhèn)人均可支配收入（y1）、人口增長率（y2），采用2014年兩個指標(biāo)作為抽樣設(shè)計(jì)的輔助指標(biāo)。本文通過《陜西省統(tǒng)計(jì)年鑒》（2015）收集了2014年陜西省107個區(qū)縣的城鎮(zhèn)人均可支配收入數(shù)據(jù)，通過陜西省2013年、2014年人口數(shù)據(jù)獲得2014年人口增長率數(shù)據(jù)。由于兩個指標(biāo)量綱不同，因此，對空間抽樣設(shè)計(jì)的輔助指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，采用標(biāo)準(zhǔn)化的兩個輔助指標(biāo)進(jìn)行空間抽樣樣本選取。

根據(jù)式（5），利用SPSS軟件采用牛頓迭代法估計(jì)出參數(shù)1,2,?，見表1。

表1 空間樣本選取模型的估計(jì)參數(shù)

根據(jù)表1的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，有兩變量空間抽樣樣本選取的模型見式（9）：

為了簡單、易操作，抽取10%的單位，即11個區(qū)縣作為樣本單位。利用陜西省107個縣區(qū)2014年的城鎮(zhèn)人均可支配收入（y1）、人口增長率（y2）標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)，通過模型式（8），選取出最小的神木縣、吳堡縣、吳起縣、藍(lán)田縣、商州區(qū)、洛南縣、勉縣、佛坪縣、寧陜縣、石泉縣、旬陽縣等11個區(qū)縣作為選取的樣本單位。兩個指標(biāo)五分位地圖及選取的空間樣本單位見下頁圖1和圖2。

圖1和圖2中顏色由深及淺表示：城鎮(zhèn)人均可支配收入和人口增長率兩個指標(biāo)的水平由高到低。從圖可以看出，陜西省城鎮(zhèn)人均可支配收入、人口增長率兩個指標(biāo)的水平在空間上分布情況不同，圖中標(biāo)明抽樣單位的區(qū)縣作為共同樣本可實(shí)現(xiàn)對陜西省2015年人均可支配收入、人口增長率兩個指標(biāo)水平的推斷。選取的11個區(qū)縣的兩個指標(biāo)均值估計(jì)與總體均值進(jìn)行比較，見表2。

圖1 城鎮(zhèn)人均可支配收入空間分布及樣本點(diǎn)

圖2 人口增長率空間分布及樣本點(diǎn)

表2 兩指標(biāo)總體均值與樣本指標(biāo)估計(jì)值比較

從表2可以看出，陜西省城鎮(zhèn)人均可支配收入、人口增長率兩個指標(biāo)樣本均值與總體均值的相對誤差均為8%左右，抽樣效果較好，說明采用本文設(shè)計(jì)的方法選取空間樣本具有良好的代表性。

3 結(jié)束語

本文基于總體均值無偏性估計(jì)和有效性估計(jì)的前提下，設(shè)計(jì)了多指標(biāo)空間抽樣樣本選取方法，并利用陜西省2014年各區(qū)縣城鎮(zhèn)人均可支配收入以及人口增長率兩個指標(biāo)進(jìn)行了抽樣應(yīng)用，結(jié)果顯示樣本的抽取涵蓋了各個不同水平層次的區(qū)縣，抽樣效果良好。綜合歸納，該空間抽樣方法具有以下優(yōu)良性：（1）適合經(jīng)濟(jì)、社會指標(biāo)抽樣中以行政區(qū)域劃分單位的抽樣框，克服了GIS抽樣中空間單元相等尺度的缺陷；（2）設(shè)計(jì)的多指標(biāo)進(jìn)行抽樣方法采用同一樣本推斷總體多個屬性的數(shù)量水平，有效地控制了多個屬性的抽樣誤差；（3）適合總體各指標(biāo)在空間上的任意分布情形，不受總體各個特征在空間上分布情況的影響。該方法假定輔助指標(biāo)是相互獨(dú)立的，對于輔助指標(biāo)強(qiáng)相關(guān)性情形下的理論研究需要進(jìn)一步討論。

[1]Yang J W.Transportation Implications of Land Development in a Transitional Economy Evidence from Housing Relocation in Beijing[J].Transportation Research Record,2006.

[2]Wang J F,Liu J Y,Li L F.Spatial Sampling Design for Monitoring the Area of Cultivated Land[J].International Journal of Remote Sensing 2002,23(2).

[3]李連發(fā),王勁峰,劉紀(jì)遠(yuǎn)等.國土遙感調(diào)查的空間抽樣優(yōu)化決策[J].中國科學(xué):地球科學(xué)，2004,34(10).

[4]王勁峰,姜成晟,李連發(fā),胡茂桂.空間抽樣與統(tǒng)計(jì)推斷[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[5]李章貴.基于RS、GIS的呈貢縣總體活立木蓄積量分層抽樣控制方法[J].2007,32(2).

[6]徐新良,莊大方等.基于3S技術(shù)的土地利用/土地覆蓋變化野外采框設(shè)——以東北地區(qū)黑龍江省為例[J].遙感技術(shù)與應(yīng)用,2002,17(3).

[7]曹志冬,王勁峰,李連發(fā)等.地理空間中不同分層抽樣方式的分層效率與優(yōu)化策略[J].地理科學(xué)進(jìn)展,2008,27(3).

[8]Tobler W.A Computer Movie Simulating Urban Growth in the Detroit Region[J].Economic Geography,1970,46(2).

[9]Cliff A,Ord J.Spatial Autocorrelation[J].London:Pion,1973.

[10]Fisher M,Scholten H J,Unwin D.Spatial Analytical Perspectives on GIS[J].London:Taylor&Francis,1996.

[11]Anselin L.Spatial Econometrics:Methods and Models[J].Dordrecht:Kluwer Academic,1988.

[12]Haining R P.Spatial Data Analysis:Theory and Practice[J].Cambridge:Cambridge University,2003.

[13]Ripley B D.Spatial Statistics[J].New York:John Wiley&Sons.Inc.,1981.

[14]Griffith D A.Spatial Autocorrelation and Spatial Filtering[J].Springer,2003.

A Design of Non-Probability Sampling Method Based on Multivariable Space

Zhang Weiqun1,Yu Xinyuan1,Zhao Kunpeng2

（1.Institute of Statistics,Xi'an University of Finance and Economics,Xi'an 710100,China;2.Institute of Finance and Economics,Xi’an Jiaotong University,Xi'an 710161,China）

With sample mean unbiased estimation and effective estimation as a premise,this paper selects administrative region as the sampling box,and uses multiple auxiliary indexes to control the error of multi-objective sampling estimation.Meanwhile the paper designs a sample selection method of multi-index space non-probability sampling,and also makes use of two auxiliary indexes,namely the urban per capita disposable income and growth rate of population of Shaanxi Province in 2014,to carry out a sample application to its 107 counties.The study results show that the sample extraction covers the districts and counties at different development levels,and that the sampling effect is benign.

multivariable;space sample;sampling design;sampling method

C81

A

1002-6487（2017）20-0076-03

國家哲學(xué)社會科學(xué)基金資助項(xiàng)目（13TJ006）；全國統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（2012LZ020）；陜西省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室科學(xué)研究項(xiàng)目（13JZ023）

張維群（1969—），男，陜西旬邑人，博士，教授，研究方向：多目標(biāo)抽樣理論方法與應(yīng)用。

余欣媛（1988—），女，云南玉溪人，碩士研究生，研究方向：抽樣理論方法與應(yīng)用。

趙鯤鵬（1976—），男，陜西西安人，博士研究生，研究方向：商務(wù)統(tǒng)計(jì)方法及應(yīng)用。

(責(zé)任編輯/易永生)