馬家欣， 許飛云， 黃 凱， 黃 仁

(1. 東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189；2. 江蘇省特種設(shè)備安全監(jiān)督檢驗(yàn)研究院，南京 210036)

非線性自回歸模型辨識(shí)及其在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的應(yīng)用

馬家欣1， 許飛云1， 黃 凱2， 黃 仁1

(1. 東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189；2. 江蘇省特種設(shè)備安全監(jiān)督檢驗(yàn)研究院，南京 210036)

分析了帶有外部輸入的線性/非線性自回歸模型一般表達(dá)式(GNARX)與Volterra級(jí)數(shù)模型的相似之處，以及GNARX模型與帶外部輸入的自回歸模型(ARX)之間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)GNARX模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了一種基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法，并用于模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)，通過(guò)數(shù)據(jù)仿真，驗(yàn)證了方法的可行性和有效性。最后，將GNARX模型結(jié)合提出的結(jié)構(gòu)辨識(shí)方法，應(yīng)用于鋼板的損傷識(shí)別。結(jié)果顯示，基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法辨識(shí)GNARX模型結(jié)構(gòu)，其損傷識(shí)別精度最高，體現(xiàn)了GNARX模型及其結(jié)構(gòu)剪枝算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的優(yōu)越性。

非線性自回歸模型；結(jié)構(gòu)辨識(shí)；結(jié)構(gòu)剪枝算法；損傷識(shí)別

對(duì)于大型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，初始微小裂紋一般不容易被發(fā)現(xiàn)，但裂紋擴(kuò)展往往會(huì)造成的重大災(zāi)難性事故發(fā)生。因此，工程中，對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷、損傷的位置和程度進(jìn)行及時(shí)的診斷和評(píng)估，從而維持結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)行顯得尤為重要。

結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)是結(jié)構(gòu)完整性評(píng)估的基礎(chǔ)，可以分為局部損傷識(shí)別和全局損傷識(shí)別兩大類[1]。局部損傷識(shí)別直接有效，但通常需要停機(jī)檢測(cè)，影響生產(chǎn)效率，且難以覆蓋整個(gè)結(jié)構(gòu)區(qū)域[2]。全局損傷識(shí)別依賴于結(jié)構(gòu)特性參數(shù)的辨識(shí)，通?；谡駝?dòng)測(cè)試，主要包括有限元模型修正法[3-4]和統(tǒng)計(jì)時(shí)間序列建模法[5]兩大類。近年來(lái)，時(shí)序建模法，以其建模方便，不影響生產(chǎn)，針對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)區(qū)域，且能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)檢測(cè)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別[6-9]。它可以直接利用模型參數(shù)構(gòu)建相關(guān)的結(jié)構(gòu)損傷特征量，并與基準(zhǔn)模型參數(shù)對(duì)比確定損傷因子，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)損傷的有無(wú)、位置及嚴(yán)重程度的評(píng)估。

然而，實(shí)際中存在著復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，尤其是結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，制約了線性模型的工程應(yīng)用。一種帶有外部輸入的線性/非線性自回歸模型(GNARX)的提出和應(yīng)用[10]，有機(jī)結(jié)合了線性模型，在形式上統(tǒng)一了不同背景下提出的非線性模型表達(dá)式，在線性/非線性自回歸模型[11](GNAR)的基礎(chǔ)上引入了外部輸入，進(jìn)一步提高了模型建模精度。而由于非線性時(shí)序分析復(fù)雜及模型表達(dá)式冗長(zhǎng)等特點(diǎn)，GNARX模型的結(jié)構(gòu)辨識(shí)一直是研究的難點(diǎn)。

本文提出了基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法，對(duì)GNARX模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨識(shí)，通過(guò)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的有效性，并將GNARX模型應(yīng)用于鋼板振動(dòng)數(shù)據(jù)的建模，實(shí)現(xiàn)了鋼板的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。

1 非線性時(shí)序模型

GNAR模型建模時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)輸入是零均值的白噪聲{at}，系統(tǒng)輸出序列記作{wt}，如果系統(tǒng)已知單個(gè)輸入，記作序列{ut}，那么GNAR模型就變形為單輸入的GNARX模型。 令xt,i表示i階項(xiàng)，xt,i,1(i=1,2,…，p)表示i階項(xiàng)xt,i中的各個(gè)元素組成的列向量，即

xt,i,1={wt-1,wt-2,…,wt-nw,i,ut-τu,ut-τu-1,…,ut-τu-nu,i+1}

(1)

則單輸入的GNARX模型可寫成如下形式：

(2)

式中：wt-i為t-i時(shí)刻的系統(tǒng)輸出，i=1,2,…；at為白噪聲；p為模型階次；xt,i,1(j)為向量xt,i,1中的第j個(gè)元素；nw,j(j=1,2,…,p)為輸出{wt}各項(xiàng)記憶步長(zhǎng)；nu,j(j=1,2,…,p)為輸入{ut}各項(xiàng)記憶步長(zhǎng)；τu為系統(tǒng)輸入{ut}的延遲。該模型簡(jiǎn)記為GNARX(p;τu;nw,1,nw,2,…,nw,p;nu,1,nu,2,…,nu,p)。當(dāng)然，模型也可以推廣至雙輸入、多輸入模型，不再贅述。

可以看出，GNARX模型與離散形式的Volterra級(jí)數(shù)模型[12]有相似之處，根據(jù)Volterra級(jí)數(shù)模型的表達(dá)式，GNARX模型也可以寫成如下形式

wt=H1[wt,ut]+H2[wt,ut]+…+Hp[wt,ut]+at

(3)

式中，

(j=2,3,…,p)

H[·]稱為Volterra算子，h(w1)、h(u1)為1階Volterra核，h(wj,…)、h(uj,…)、h(wj,…,uj,…)為j階Volterra核?？梢钥闯?，Volterra表達(dá)式把非線性系統(tǒng)的響應(yīng)表示為p個(gè)子系統(tǒng)響應(yīng)的疊加。

可見，GNARX模型是在Volterra級(jí)數(shù)模型的基礎(chǔ)上引入了序列的自回歸，表達(dá)式在形式上與Volterra級(jí)數(shù)模型是一致的。每個(gè)子系統(tǒng)都是一個(gè)齊次系統(tǒng)，如一階齊次系統(tǒng)H1[wt,ut]代表整個(gè)系統(tǒng)的線性部分，j(j=2,3,…,p)階齊次系統(tǒng)Hj[wt,ut]代表整個(gè)系統(tǒng)的j階非線性部分。整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)，表示為若干子系統(tǒng)的疊加，如圖1所示。

圖1 GNARX模型原理圖Fig.1 The schematic of GNARX model

另外，帶外部輸入的自回歸模型(ARX)可以看作是GNARX模型的線性部分，GNARX模型包含了ARX模型[13]。如式(2)所示的單輸入GNARX模型，當(dāng)p=1時(shí)，GNARX模型就退化為線性的經(jīng)典ARX模型，形式如下所示

wt=α1wt-1+…+αnwt-n+
β0ut-τu+β1ut-τu-1+…+βnut-τu-n+at

(4)

式中：αi,βi(i=0,1,…,n)為模型參數(shù)。

當(dāng)p>1時(shí)，GNARX模型就包含了高階的非線性子系統(tǒng)，保證了GNARX模型對(duì)非線性系統(tǒng)有著良好的逼近能力，對(duì)非線性數(shù)據(jù)有著良好的擬合和預(yù)測(cè)能力。

2 模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)

GNARX模型傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)辨識(shí)，包括模型階次p的確定和輸入輸出記憶步長(zhǎng)的確定，這直接影響模型的建模精度和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，進(jìn)而影響模型特征參數(shù)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的可靠性。然而，如式(2)所示的GNARX模型，其參數(shù)將隨著模型階次和高階記憶步長(zhǎng)的增長(zhǎng)呈冪指數(shù)增加。所以，GNARX模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得傳統(tǒng)的基于階次與記憶步長(zhǎng)的窮舉法[14]變得不切實(shí)際，既耗時(shí)，辨識(shí)效果又不佳。

本文結(jié)合高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的剪枝算法[15]，提出了一種基于參數(shù)離差率的自上而下的結(jié)構(gòu)剪枝方法。即先構(gòu)造一個(gè)模型，令其有足夠大的模型階次和各階次記憶步長(zhǎng)，然后再根據(jù)規(guī)則不斷刪除各個(gè)冗余項(xiàng)，達(dá)到尋找最優(yōu)模型的目的。那么，如何尋找模型的冗余項(xiàng)呢？假設(shè)系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)，并能夠用合適的GNARX模型表示。將一段連續(xù)的輸出信號(hào)分為N組(為節(jié)省數(shù)據(jù)，允許數(shù)據(jù)部分重疊)，用相同結(jié)構(gòu)的GNARX模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。如果對(duì)這N組數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的模型結(jié)構(gòu)中存在冗余項(xiàng)，會(huì)有兩種情況：一是冗余項(xiàng)參數(shù)絕對(duì)值較小，即均值m接近于零；二是冗余項(xiàng)參數(shù)幅值變化較大，即參數(shù)方差σ2較大。所以，選取參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)離差率(C.V=σ/m，Coefficient of Variance)作為判斷模型冗余項(xiàng)的參考因素。

具體算法步驟如下所示，流程圖見圖2。

步驟1將數(shù)據(jù)分成N組；

步驟2構(gòu)造一個(gè)模型，有足夠大的模型階次和各階次記憶步長(zhǎng)；

步驟3重復(fù)：

步驟3.1對(duì)N組數(shù)據(jù)分別進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；

步驟3.2并計(jì)算N組數(shù)據(jù)建模的聯(lián)合AIC值，如式(5)所示；

步驟3.3計(jì)算各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)離差率，取最大離差率的項(xiàng)作為冗余項(xiàng)剔除；

步驟3.4記下所剔除的剪枝項(xiàng)；

步驟3.5Until剩最后一項(xiàng)時(shí)循環(huán)終止；

步驟4求得循環(huán)中最小AIC值，將對(duì)應(yīng)的模型結(jié)構(gòu)作為適用模型結(jié)構(gòu)。

圖2 GNARX模型基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法Fig.2 GNARX model’s structure pruning algorithm based on parameters’ rate of standard deviation

在Akaike提出的信息準(zhǔn)則[16](An Information Criterion，AIC)的基礎(chǔ)上，本文針對(duì)N組數(shù)據(jù)分別用同一模型結(jié)構(gòu)建模的特點(diǎn)，提出了修正后的聯(lián)合AIC值的計(jì)算，如下所示：

(5)

(6)

式中：p為模型階次；nj(j=1,2,…,p)為模型各階次記憶步長(zhǎng)。

當(dāng)N=1，Lm=L，Lf=0時(shí)，式(5)就退化成經(jīng)典的AIC準(zhǔn)則，如下所示：

AIC=lnσ2+2R/L

(7)

所以，式(5)所示的聯(lián)合AIC準(zhǔn)則，實(shí)際上是對(duì)Akaike信息準(zhǔn)則在多組數(shù)據(jù)聯(lián)合建模情況下的修正，并且引入預(yù)測(cè)誤差方差對(duì)AIC值的影響，可以防止模型過(guò)擬合，保證模型的外推預(yù)測(cè)能力。

由以上算法步驟可知，該算法與基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法相比，有著明顯的優(yōu)點(diǎn)：①因其自上而下的剪枝特點(diǎn)，使得算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小；②算法是針對(duì)確定階次與記憶步長(zhǎng)下的各個(gè)項(xiàng)進(jìn)行剪枝，其最終得到的模型結(jié)構(gòu)有可能是基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法(只是針對(duì)階次和記憶步長(zhǎng)而不是針對(duì)單個(gè)項(xiàng)的窮舉)所不能窮舉到的，理論上，冗余項(xiàng)判斷準(zhǔn)確，該算法較基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法有著更優(yōu)秀的模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)能力。

3 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于參數(shù)離差率的剪枝法用于GNARX模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)的有效性，本文用GNARX模型對(duì)三種已知的不同結(jié)構(gòu)的模型仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，建模結(jié)果與傳統(tǒng)的基于模型階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法進(jìn)行對(duì)比。

為比較不同方法的結(jié)構(gòu)辨識(shí)效果，定義了模型參數(shù)的相對(duì)歐氏距離誤差(Relative Euclidean Distance Error，REDE)，如下所示。

(8)

仿真數(shù)據(jù)模型具體形式如下：

ARX模型

wt=1.1wt-1-0.9wt-2+0.28wt-3-
0.2wt-5+0.7ut-1-ut-3+at

(9)

GNARX(2;1;3,2;2,2)模型

(10)

GNARX(3;1;4,2,2;3,1,1)模型

(11)

式中： 各模型的數(shù)據(jù)仿真長(zhǎng)度為3 364；wt為各模型輸出；ut～U(-1,1)為服從均勻分布的模型輸入；at～N(0,0.1)為服從正態(tài)分布的白噪聲。

對(duì)各模型仿真數(shù)據(jù)，舍去前100個(gè)，取后3 264個(gè)數(shù)據(jù)用于模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)。128個(gè)數(shù)據(jù)作為一組(共50組，每組前100個(gè)數(shù)據(jù)用作建模，后28個(gè)數(shù)據(jù)用作預(yù)測(cè))，每向后平移64個(gè)數(shù)據(jù)作為下一組(數(shù)據(jù)重合度為50%)。取GNARX(4;1;10,3,2,2;10,2,2,1)作為足夠大的模型結(jié)構(gòu)，依次尋找參數(shù)最大離差率的項(xiàng)作為冗余項(xiàng)剔除，并分別計(jì)算對(duì)應(yīng)模型下的聯(lián)合AIC值，如圖3～5所示。取最小AIC值處對(duì)應(yīng)的最終模型結(jié)構(gòu)，如式(12)～(14)所示。并對(duì)比基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法與基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法對(duì)各模型參數(shù)辨識(shí)的誤差，結(jié)果列于表1中。

表1 結(jié)構(gòu)窮舉法和結(jié)構(gòu)剪枝法對(duì)不同白噪聲下各模型辨識(shí)的誤差對(duì)比Tab.1 Errors comparison of structure exhaustion algorithmand structure pruning algorithm for different modelidentification under different white noise

圖3 ARX數(shù)據(jù)剪枝中聯(lián)合AIC值曲線圖Fig.3 Graph of associated AIC values for pruning of ARX data

圖4 二階GNARX數(shù)據(jù)剪枝中聯(lián)合AIC值曲線圖Fig.4 Graph of associated AIC values for pruning of 2nd order GNARX data

圖5 三階GNARX數(shù)據(jù)剪枝中聯(lián)合AIC值曲線圖Fig.5 Graph of associated AIC values for pruning of 3rd order GNARX data

時(shí)序模型的結(jié)構(gòu)辨識(shí)，容易受到噪聲的影響，故其辨識(shí)穩(wěn)定性是難點(diǎn)。這里分別取at～N(0,0.06)和at～N(0,0.12)代替式(9)～(11)中的白噪聲，獲得不同白噪聲下的各模型仿真數(shù)據(jù)，并用同樣的方法進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)，將不同白噪聲下的各模型參數(shù)辨識(shí)誤差列于表1中。

基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法對(duì)各模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)結(jié)果(at～N(0,0.1))如下：

ARX模型

wt=1.122 1wt-1-0.889 8wt-2+0.254 0wt-3-
0.159 7wt-5+0.685 9ut-1-0.984 3ut-3+at

(12)

GNARX(2;3,2;2,2)模型

(13)

GNARX(3;5,2,2;3,1,1)模型

(14)

對(duì)比兩種結(jié)構(gòu)辨識(shí)算法的計(jì)算量，定義以1次128組方程做最小二乘算法記作一個(gè)單位的計(jì)算量，則兩種結(jié)構(gòu)辨識(shí)算法的計(jì)算量如下：

基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法計(jì)算量C1

(15)

基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法計(jì)算量C2

(16)

由上述估算可大致得出，基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法，其計(jì)算量約為基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法的計(jì)算量的1/500。

分析上述結(jié)果可知：

(1) 基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法計(jì)算量小，耗時(shí)短，驗(yàn)證了算法的簡(jiǎn)單特性。

(2) 基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法，能夠準(zhǔn)確有效地辨識(shí)ARX、GNARX模型結(jié)構(gòu)，模型參數(shù)辨識(shí)誤差明顯小于基于階次和記憶步長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)窮舉法，驗(yàn)證了該方法用于模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)的有效性和優(yōu)越性。

(3) 最優(yōu)模型與聯(lián)合AIC最小值同步，驗(yàn)證了算法以參數(shù)離差率作為剪枝依據(jù)的可靠性，驗(yàn)證了算法以聯(lián)合AIC最小值對(duì)應(yīng)模型作為適用模型的可行性。

(4) 一般的，當(dāng)噪聲變大時(shí)，GNARX模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的辨識(shí)誤差也相對(duì)變大，而結(jié)構(gòu)剪枝法的參數(shù)辨識(shí)誤差始終小于結(jié)構(gòu)窮舉法，體現(xiàn)了基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法用于模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)的穩(wěn)定性。

4 結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別應(yīng)用

本文將GNARX模型應(yīng)用于鋼板結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別，首先對(duì)鋼板數(shù)據(jù)進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)，然后建立合適有效的GNARX模型，將模型參數(shù)作為特征向量，并結(jié)合k最鄰近(KNN)分類算法對(duì)有裂紋和無(wú)裂紋的鋼板進(jìn)行辨識(shí)。

4.1 KNN算法

KNN算法是數(shù)據(jù)挖掘分類技術(shù)中最簡(jiǎn)單的方法之一，因此被廣泛應(yīng)用[17-18]。其核心思想是如果一個(gè)樣本在特征空間中的k個(gè)最相鄰樣本中的大多數(shù)屬于某一個(gè)類別，則該樣本也屬于這個(gè)類別。

用歐氏距離表示兩樣本在特征空間的距離，如下：

(17)

式中：a=(a1,a2, …,an)和b=(b1,b2, …,bn)表示兩樣本；n為樣本維數(shù)。

分類精度定義如下：

(18)

式中：yi表示正確類別，ci表示算法劃分類別； 當(dāng)yi=ci時(shí)，δ=1； 否則，δ=0；n為樣本數(shù)。

4.2 數(shù)據(jù)獲得

取2塊尺寸相同的鋼板(300 mm×100 mm×3 mm)，一塊無(wú)裂紋，一塊有貫穿型裂紋，裂紋長(zhǎng)為500 mm，寬為1 mm，裂紋位置如圖6所示。

鋼板左端用鉚釘固定，右端懸空，在懸臂鋼板右端中點(diǎn)處施加錘擊脈沖激勵(lì)，在板上布置四個(gè)位置的PK151諧振式傳感器，由SENSOR HIGHWAY型聲發(fā)射采集儀采集信號(hào)，實(shí)驗(yàn)裝置及傳感器布置如圖7所示，四個(gè)測(cè)點(diǎn)位置如圖6所示。

對(duì)于聲發(fā)射采集儀設(shè)置，采樣頻率為1 MHz，采樣點(diǎn)為8 192，門限值設(shè)定為26 dB。無(wú)裂紋和有裂紋鋼板分別采五組聲發(fā)射數(shù)據(jù)，典型地，選取一組無(wú)裂紋數(shù)據(jù)見圖8，選取一組有裂紋數(shù)據(jù)見圖9。

圖6 有裂紋鋼板尺寸及測(cè)點(diǎn)布置圖Fig.6 Dimension of the damaged steel plate and the location of four measuring points

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置及傳感器布置圖Fig.7 The sketch map of experimental facility and the layout of sensors

圖8 一組無(wú)裂紋鋼板聲發(fā)射數(shù)據(jù)Fig.8 One group of undamaged steel plate acoustic emission data

圖9 一組有裂紋鋼板聲發(fā)射采集數(shù)據(jù)Fig.9 One group of damaged steel plate acoustic emission data

4.3 損傷識(shí)別驗(yàn)證

對(duì)于上述共10組數(shù)據(jù)，舍去前1 024和后3 072個(gè)采樣點(diǎn)，取中間幅值較大的4 096個(gè)點(diǎn)。每256個(gè)點(diǎn)作為一個(gè)樣本(前200個(gè)數(shù)據(jù)用于計(jì)算建模誤差，后56個(gè)數(shù)據(jù)用于計(jì)算預(yù)測(cè)誤差)，則無(wú)裂紋有裂紋數(shù)據(jù)各有80個(gè)樣本，隨機(jī)各取50個(gè)樣本用于訓(xùn)練，30個(gè)樣本用于測(cè)試。由圖7知，鋼板下端測(cè)點(diǎn)4、1較鋼板上端測(cè)點(diǎn)3、2距離裂紋近些，其反映裂紋信息更準(zhǔn)確些。為作對(duì)比，鋼板上下端分別建模，測(cè)點(diǎn)3作為輸入測(cè)點(diǎn)2作為輸出，建立鋼板上端GNARX模型，測(cè)點(diǎn)4作為輸入測(cè)點(diǎn)1作為輸出，建立鋼板下端GNARX模型。輸入輸出測(cè)點(diǎn)相距160 mm，橫波在鋼板中的傳播速度取3 000 m/s，延遲約為5.3×10-5s，數(shù)據(jù)采樣頻率為1 MHz，則模型延遲取τu=53。

建模時(shí)，取GNARX(3;53;10,4,2;8,2,2)作為模型具體結(jié)構(gòu)的選取范圍，通過(guò)基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝法，求得有無(wú)裂紋鋼板上下端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)如下所示。

無(wú)裂紋上端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)

xt,1:wt-1,wt-3,wt-4,wt-5,wt-7,wt-8,wt-10,ut-τu-3

(19)

有裂紋上端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)

xt,1:wt-1,wt-3,wt-4,wt-5,wt-7,wt-8,wt-10,

ut-τu-1,ut-τu-2,ut-τu-3

(20)

無(wú)裂紋下端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)

xt,1:wt-1,wt-2,wt-3,wt-4,wt-6,wt-8,ut-τu-3

(21)

有裂紋下端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)

xt,1:wt-1,wt-2,wt-3,wt-4,wt-6,wt-8,wt-10,

ut-τu-2,ut-τu-3,ut-τu-5

(22)

為保持選取特征量維數(shù)一致，且能夠準(zhǔn)確反應(yīng)有裂紋數(shù)據(jù)的非線性特征，無(wú)裂紋和有裂紋模型選取兩者的并集，則最終模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)如下所示。

上端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)如式(23)所示，模型參數(shù)見圖10、11。

xt,1:wt-1,wt-3,wt-4,wt-5,wt-7,wt-8,wt-10,ut-τu-1,

ut-τu-2,ut-τu-3

wt-3ut-τu-1,wt-3ut-τu-2,wt-4ut-τu-2,

(23)

下端模型結(jié)構(gòu)項(xiàng)如式(24)所示，模型參數(shù)見圖12、13。

xt,1:wt-1,wt-2,wt-3,wt-4,wt-6,wt-8,wt-10,ut-τu-2,

ut-τu-3,ut-τu-5

(24)

圖10～13中，α表示各階項(xiàng)的參數(shù)，下標(biāo)ia表示參數(shù)α對(duì)應(yīng)項(xiàng)wt-a，jb表示參數(shù)α對(duì)應(yīng)項(xiàng)ut-τ-b。把上述最終模型結(jié)構(gòu)的參數(shù)作為特征向量，用于KNN算法訓(xùn)練，并將上下端測(cè)試結(jié)果分別列于表2、3中。為對(duì)比效果，將各階次GNAR(1階GNAR模型即AR模型)、GNARX模型(1階GNARX模型即ARX模型)的測(cè)試精度同樣列于表2、3中。

圖10 無(wú)裂紋鋼板上端模型參數(shù)Fig.10 The upper model parameters of undamaged steel plate

圖11 有裂紋鋼板上端模型參數(shù)Fig.11 The upper model parameters of damaged steel plate

圖12 無(wú)裂紋下端模型參數(shù)Fig.12 The bottom model parameters of undamaged steel plate

圖13 有裂紋下端模型參數(shù)Fig.13 The bottom model parameters of damaged steel plate表2 各模型對(duì)有無(wú)裂紋鋼板上端數(shù)據(jù)建模的KNN算法識(shí)別率Tab.2 The KNN recognition rates of different modelsapplied to the upper data of undamaged anddamaged steel plate

模型最大識(shí)別率*/%平均識(shí)別率**/%AR(6)66.6761.11GNAR(2;6,1)65.0061.11GNAR(3;8,4,1)70.0065.74ARX(8,3,53)68.3362.78GNARX(2;53;7,3;1,2)73.3367.22GNARX(3;53;8,4,1;1,2,1)75.0068.89GNARX剪枝后模型式(23)75.0070.19注:*表示對(duì)于無(wú)裂紋有裂紋各30個(gè)測(cè)試樣本,在k值變化中(k=3,5,…,19),正確識(shí)別率的最大值;**表示對(duì)于無(wú)裂紋有裂紋各30個(gè)測(cè)試樣本,在k值變化中(k=3,5,…,19),正確識(shí)別率的均值。其中,k指的是空間中最近鄰的k個(gè)樣本

表3 各模型對(duì)有無(wú)裂紋鋼板下端數(shù)據(jù)建模的KNN算法識(shí)別率Tab.3 The KNN recognition rates of different modelsapplied to the bottom data of undamagedand damaged steel plate

針對(duì)表中上端模型與下端模型的損傷識(shí)別效果，分析上下端鋼板系統(tǒng)(“黑箱”系統(tǒng))與GNARX模型(等效數(shù)學(xué)模型)的關(guān)系，如圖14、圖15所示。顯然，當(dāng)鋼板系統(tǒng)發(fā)生變化時(shí)，GNARX模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)也會(huì)隨之改變。

將無(wú)裂紋鋼板作為基準(zhǔn)，確定基準(zhǔn)的上端GNARX模型和下端GNARX模型。對(duì)于有裂紋鋼板，由圖6知其裂紋在鋼板下端，顯然，下端鋼板系統(tǒng)發(fā)生顯著變化，則下端GNARX模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)將有明顯的改變。而整體地系統(tǒng)地看待問(wèn)題，在鋼板下端發(fā)生裂紋時(shí)，上端鋼板系統(tǒng)也會(huì)有所變化，則上端GNARX模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)也會(huì)有一定程度的改變。因此，反應(yīng)在損傷識(shí)別效果上，下端GNARX模型的損傷識(shí)別效果明顯優(yōu)于上端GNARX模型。

圖14 上端GNARX模型Fig.14 The upper GNARX model

圖15 下端GNARX模型Fig.15 The bottom GNARX model

分析結(jié)果可知：

(1) GNARX模型對(duì)鋼板損傷識(shí)別效果優(yōu)于AR、ARX、GNAR模型，體現(xiàn)了GNARX模型的優(yōu)越性，驗(yàn)證了GNARX模型用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法的可行性。

(2) GNARX模型剪枝后的模型結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)鋼板損傷識(shí)別率最高，體現(xiàn)了基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法的GNARX模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的有效性。

(3) 鋼板下端模型識(shí)別損傷效果明顯優(yōu)于上端模型，說(shuō)明距離損傷位置越近，模型包含損傷信息越多，越能反映損傷特征。

5 結(jié) 論

本文基于GNARX模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了一種基于參數(shù)離差率的結(jié)構(gòu)剪枝算法，用于GNARX模型的結(jié)構(gòu)辨識(shí)，并通過(guò)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了方法的可行性和有效性。最后，將GNARX模型應(yīng)用于鋼板的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中，通過(guò)提出的結(jié)構(gòu)辨識(shí)方法確定模型結(jié)構(gòu)，效果明顯優(yōu)于其他方法。

本文只是針對(duì)簡(jiǎn)單鋼板的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別進(jìn)行了研究，而對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可以分段建立多個(gè)GNARX模型，獲得參數(shù)矩陣，通過(guò)參數(shù)矩陣變化狀態(tài)反映結(jié)構(gòu)不同空間位置上的健康狀態(tài)，識(shí)別損傷位置和損傷程度，這也需要進(jìn)一步分析和研究。

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Nonlinearauto-regressivemodelidentificationanditsapplicationinstructuraldamagedetection

MA Jiaxin1, XU Feiyun1, HUANG Kai2, HUANG Ren1

(1. School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China;2. Special Equipment Safety Supervision Inspection Institute of Jiangsu Province, Nanjing 210036, China)

The similarities between the general expression for the linear and nonlinear auto-regressive model with exogenous inputs (GNARX) and Volterra series model, and the internal links between the GNARX and the auto-regressive model with exogenous inputs (ARX) were analyzed. According to the structure characteristics of the GNARX model, a structure pruning algorithm based on parameters’ rate of standard deviation was proposed and applied to model structure identification for the GNARX model. With simulation, the feasibility and effectiveness of the method was verified. Finally, the GNARX model together with the proposed structure identification method was applied to structural damage detection for a steel plate. The results show that the GNARX model, whose structure was identified with structure pruning algorithm based on parameters’ rate of standard deviation, has the highest identification accuracy of structural damage. This indicates the superiority of the GNARX model and its structure pruning algorithm applied to structural damage detection.

nonlinear auto-regressive model; structure identification; structure pruning algorithm; damage detection

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305176; 51575101)；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(KYLX_0097)；東南大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助(中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助)；東南大學(xué)優(yōu)秀博士學(xué)位論文培育基金資助(3202005717)

2016-04-05 修改稿收到日期： 2016-08-15

馬家欣 男，博士生，1988年生

許飛云 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1969年生

E-mail: fyxu@seu.edu.cn

TH17

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.019