王彥瑋(上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030)

指數(shù)成分股的高頻波動(dòng)相關(guān)性衡量與探究

王彥瑋
(上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200030)

以指數(shù)的高頻波動(dòng)率為研究對(duì)象，將其從一個(gè)嶄新的角度進(jìn)行了拆解:個(gè)股波動(dòng)維度以及成分股波動(dòng)相關(guān)性維度。按照不同指數(shù)走勢(shì)的時(shí)間區(qū)間分類，對(duì)波動(dòng)率的這兩個(gè)維度與指數(shù)整體波動(dòng)的相關(guān)性和一致性進(jìn)行了考察及比較，以探究波動(dòng)率變動(dòng)的成因。最后，利用這樣的拆解構(gòu)建了高頻波動(dòng)率的預(yù)測(cè)模型,并將該模型的擬合和預(yù)測(cè)效果和其他模型進(jìn)行了比較。

高頻波動(dòng)；個(gè)股波動(dòng)；波動(dòng)相關(guān)性

1 概述

對(duì)資產(chǎn)收益的波動(dòng)率進(jìn)行探究是目前金融學(xué)術(shù)研究的一個(gè)重要方向。資產(chǎn)收益的波動(dòng)性之所以成為目前學(xué)界研究的熱點(diǎn)，主要是因?yàn)椴▌?dòng)率指標(biāo)在資產(chǎn)定價(jià)、資產(chǎn)組合管理、投資風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域都有著不可取代的重要作用。對(duì)于我國資本市場(chǎng)來講，由于金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)的逐步興起、風(fēng)險(xiǎn)管理觀念的成長以及數(shù)量化投資方式的發(fā)展，金融產(chǎn)品收益率的波動(dòng)性研究自然日漸成為一個(gè)不可忽視的重要課題。

與此同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的發(fā)展，很多學(xué)者在近年來對(duì)金融市場(chǎng)的研究中將研究數(shù)據(jù)從傳統(tǒng)的日間數(shù)據(jù)逐步過渡到日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)。由于采樣更密集、包含的信息更多，相比較傳統(tǒng)的低頻數(shù)據(jù)時(shí)間序列，高頻數(shù)據(jù)可以更好地發(fā)掘金融資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及微觀結(jié)構(gòu)，給我們提供更詳盡的數(shù)據(jù)和信息。

首先，對(duì)于高頻的價(jià)格數(shù)據(jù)，在波動(dòng)率計(jì)算方法方面，由于原始數(shù)據(jù)采取了更密集的采樣頻率，與采用低頻采樣時(shí)有所不同。 Andersen和Bollerslev(1998)[1]率先提出了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的概念，計(jì)算方式為針對(duì)秒級(jí)別或者分鐘級(jí)別的高頻價(jià)格序列，求出對(duì)應(yīng)的高頻收益率并進(jìn)行平方加和。

由于既往研究表明[2-4]，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的測(cè)度方法具有無偏性以及較好的穩(wěn)健性等優(yōu)秀的統(tǒng)計(jì)特性，在本文中，對(duì)日內(nèi)波動(dòng)率的計(jì)算采用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為波動(dòng)率測(cè)度。一般地，其定義式如式(1)所示：

(1)

其中，RVt為t時(shí)間段內(nèi)的高頻已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率；ri為t時(shí)間段內(nèi)根據(jù)采樣的價(jià)格序列得出的對(duì)應(yīng)的收益率；n為區(qū)間內(nèi)收益率樣本數(shù)。Andersen(2003)[5]證明隨著采樣頻率的增加，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率會(huì)逐步趨近于對(duì)應(yīng)區(qū)間的積分波動(dòng)率，即：

(2)

需要指出的是，在計(jì)算收益率的時(shí)候，我們采取的是對(duì)數(shù)收益率，一方面因?yàn)槠渚邆涓玫慕y(tǒng)計(jì)特性，另一方面因?yàn)閷?duì)數(shù)收益率是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)。

2 本文創(chuàng)新點(diǎn)

目前，學(xué)術(shù)界對(duì)于高頻波動(dòng)率的測(cè)度和預(yù)測(cè)模型的研究已經(jīng)較為成熟和充分，但是本文對(duì)于波動(dòng)率的探究會(huì)從一個(gè)全新的角度進(jìn)行。本文的研究對(duì)象為指數(shù)的高頻收益波動(dòng)情況，而對(duì)于計(jì)算得出的高頻波動(dòng)率，將其進(jìn)一步拆解為兩個(gè)維度：成分股波動(dòng)行為的維度以及成分股之間波動(dòng)行為相關(guān)性的維度。

定性地來看：成分股波動(dòng)行為維度衡量的是個(gè)股各自的波動(dòng)大小，而成分股之間波動(dòng)行為相關(guān)性維度則是衡量構(gòu)成指數(shù)的成分股的波動(dòng)行為的一致性和相關(guān)性。

舉例來講，當(dāng)成分股的波動(dòng)較大、但是個(gè)股之間走勢(shì)背離較大的時(shí)候，由于加權(quán)平均，指數(shù)層面的總體波動(dòng)會(huì)出現(xiàn)一定的中和作用，往往會(huì)出現(xiàn)指數(shù)基本保持穩(wěn)定、整體波動(dòng)較??；反之，當(dāng)個(gè)股之間的走勢(shì)趨于一致的時(shí)候，也就是成分股波動(dòng)相關(guān)性維度較大時(shí)，指數(shù)表現(xiàn)出來的波動(dòng)也就相對(duì)較大。

本文做這樣拆解的目的在于兩點(diǎn)：第一，試圖通過這樣的拆解來探究不同的大盤趨勢(shì)下指數(shù)波動(dòng)的成因，即在指數(shù)出現(xiàn)較大幅度波動(dòng)的情況下，分析其內(nèi)在因素是個(gè)股波動(dòng)還是個(gè)股波動(dòng)相關(guān)性因素；第二，通過這樣的拆解來從指數(shù)波動(dòng)率數(shù)據(jù)中挖掘出更多的有效信息從而構(gòu)建更好的波動(dòng)率回歸和預(yù)測(cè)模型。

所以，將指數(shù)波動(dòng)率進(jìn)行拆解，其中個(gè)股波動(dòng)率和指標(biāo)記做sumt，其計(jì)算公式定義為式(3):

(3)

其中，ωit為t時(shí)間段內(nèi)成分股i在指數(shù)中的權(quán)重；σit為在t時(shí)間段內(nèi)個(gè)股i的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的平方根；n為指數(shù)成分股個(gè)數(shù)。從式(3)可以明顯看出，該指標(biāo)維度大小衡量的是成分股之間各自獨(dú)立的波動(dòng)行為。

類似地，將波動(dòng)一致性指標(biāo)記作rhot，并將其定義為：

(4)

其中，indext為指數(shù)在時(shí)間段t內(nèi)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率；sumt為時(shí)間段t內(nèi)按照式(3)計(jì)算得出的個(gè)股波動(dòng)率和指標(biāo)。進(jìn)一步展開式(4)可以得到：

(5)

其中，ρij為成分股i和成分股j之間的波動(dòng)率相關(guān)系數(shù)；σit和σjt為在t時(shí)間段內(nèi)個(gè)股的波動(dòng)率；n為指數(shù)成分股個(gè)數(shù)。從式(5)我們較為直觀地做出判斷，rhot指標(biāo)本質(zhì)是對(duì)成分股之間的波動(dòng)率相關(guān)系數(shù)的一個(gè)加權(quán)平均。當(dāng)個(gè)股之間波動(dòng)相關(guān)系數(shù)ρij全部等于1的時(shí)候，rhot會(huì)等于1;反之，隨著ρij的下降，rhot也會(huì)隨之發(fā)生下降。通過式(5)，也可以發(fā)現(xiàn)，該指標(biāo)衡量的確實(shí)是指數(shù)成分股之間波動(dòng)的相關(guān)性。

至此，文章完成了對(duì)兩個(gè)波動(dòng)維度的量化拆解和定義。下文的主要結(jié)構(gòu)為：第三部分會(huì)對(duì)指數(shù)波動(dòng)以及兩個(gè)分維度進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)的初步分析；第四部分會(huì)使用copula模型對(duì)三者之間的關(guān)系進(jìn)行更詳盡的定性探究；第五部分會(huì)按照對(duì)波動(dòng)率的拆解結(jié)果，嘗試進(jìn)行回歸以及預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建；最后一部分簡單總結(jié)全文，并進(jìn)行后續(xù)工作的展望。

3 樣本數(shù)據(jù)及其描述性統(tǒng)計(jì)

本文的研究對(duì)象為上證50指數(shù)及其成分股，所使用的高頻數(shù)據(jù)均來源于新浪財(cái)經(jīng)，高頻數(shù)據(jù)的采樣頻率是每3秒一個(gè)價(jià)格數(shù)據(jù)。指數(shù)成分股的權(quán)重等其余數(shù)據(jù)信息均來源于東方財(cái)富choice數(shù)據(jù)終端，樣本區(qū)間覆蓋范圍為2013—2015年的完整三年，區(qū)間內(nèi)共包含727個(gè)交易日。其中，為了避免極端數(shù)值的影響，實(shí)證中將樣本中“光大烏龍指”事件所發(fā)生的2013年8月16日對(duì)應(yīng)的指數(shù)異常波動(dòng)時(shí)間段去除。

對(duì)于所有有效樣本數(shù)據(jù)，將五分鐘，也就是300秒作為一個(gè)考察單位，對(duì)于每個(gè)考察區(qū)間，包含100個(gè)價(jià)格數(shù)據(jù)，利用包含在單個(gè)考察單位內(nèi)的所有采樣數(shù)據(jù)計(jì)算五分鐘內(nèi)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)波動(dòng)維度的拆解數(shù)據(jù)。而對(duì)于每個(gè)交易日，我們擁有四個(gè)小時(shí)的交易時(shí)間，也就是說每個(gè)交易日可以獲得48個(gè)波動(dòng)率數(shù)據(jù)樣本。

本文基于Matlab2014b，eviews8.0以及excel等平臺(tái)開展數(shù)據(jù)處理和模型構(gòu)建。

由于在不同的大盤走勢(shì)情況下，指數(shù)的波動(dòng)會(huì)呈現(xiàn)較大的差異，所以本部分的探討將基于這三種大盤走勢(shì)進(jìn)行分段的探究。圖1是樣本區(qū)間內(nèi)考察對(duì)象上證50指數(shù)每日收盤價(jià)走勢(shì)圖。眾所周知，從2014年底開始到2015年年中，A股迎來了一波快速上漲的牛市行情，但是接著出現(xiàn)了一波急劇下跌，三個(gè)月內(nèi)，從接近3 500點(diǎn)的高位跌到2 000點(diǎn)以下。將這樣兩段時(shí)間定義為趨勢(shì)性上漲和下跌階段，剩下的定義為指數(shù)趨勢(shì)性波動(dòng)階段。具體劃分情況見圖1。

圖1 上證50收盤價(jià)走勢(shì)及時(shí)間段劃分

首先，按照前一部分給出的定義，對(duì)于波動(dòng)相關(guān)性指標(biāo)rhot按照一般的認(rèn)知進(jìn)行分析。在整個(gè)指數(shù)呈現(xiàn)趨勢(shì)上漲或者下跌的時(shí)間區(qū)間，由于成分股價(jià)格運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)較為明顯，成分股之間的波動(dòng)相關(guān)性應(yīng)該較為一致；而在盤整波動(dòng)階段，由于趨勢(shì)性較弱，個(gè)股之間走勢(shì)分歧較大，相應(yīng)的波動(dòng)相關(guān)性應(yīng)該較弱。對(duì)于個(gè)股波動(dòng)和維度sumt，在市場(chǎng)出現(xiàn)大幅波動(dòng)的時(shí)間段內(nèi)，個(gè)股的波動(dòng)也可能顯著提高。所以，我們合理預(yù)測(cè)，在指數(shù)趨勢(shì)上漲、下跌以及波動(dòng)階段，波動(dòng)性自身大小及其兩個(gè)子維度的大小勢(shì)必會(huì)呈現(xiàn)出不同的統(tǒng)計(jì)特性。

為了對(duì)指數(shù)波動(dòng)率indext、個(gè)股波動(dòng)和指標(biāo)sumt以及波動(dòng)相關(guān)性指標(biāo)rhot有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)，將各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行日內(nèi)平均。定義如下：

(6)

(7)

(8)

圖2和圖3為指數(shù)波動(dòng)情況和其拆解指標(biāo)在樣本區(qū)間內(nèi)的變動(dòng)情況。

圖2 指數(shù)波動(dòng)index_day

圖3 波動(dòng)拆解rho_day以及sum_day

從圖2可以看出，趨勢(shì)波動(dòng)時(shí)間段內(nèi)的指數(shù)波動(dòng)，除去部分極端波動(dòng)之外，相比較上漲和下跌階段低，而下跌階段的指數(shù)波動(dòng)則遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其余時(shí)間段且極端波動(dòng)數(shù)值較多。

接著觀察拆解為兩個(gè)具體維度的圖3。首先，對(duì)趨勢(shì)上漲區(qū)間進(jìn)行分析。實(shí)線所代表的個(gè)股波動(dòng)維度sum_dayt和趨勢(shì)波動(dòng)區(qū)間相比沒有顯著差異，即在趨勢(shì)上漲中，個(gè)股的價(jià)格波動(dòng)行為并沒有發(fā)生顯著變化；與此不同的是，可以看到虛線所代表的波動(dòng)一致性維度rho_dayt顯著高于趨勢(shì)波動(dòng)階段，這個(gè)結(jié)果與我們之前的預(yù)期是一致的。由于趨勢(shì)性的存在，使得成分股之間的相關(guān)性呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，即趨勢(shì)上漲時(shí)間段內(nèi)指數(shù)波動(dòng)升高的主要原因在于個(gè)股之間波動(dòng)一致性的提高，而非個(gè)股波動(dòng)行為的變動(dòng)。

但是，趨勢(shì)下跌階段情況則不同，個(gè)股波動(dòng)和波動(dòng)一致性兩個(gè)維度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他兩種階段，兩者的協(xié)同作用導(dǎo)致了圖2中所示趨勢(shì)下跌階段指數(shù)波動(dòng)的大幅增加，即趨勢(shì)下跌階段的指數(shù)波動(dòng)增加是個(gè)股行為和成分股相關(guān)性提高帶來的協(xié)同效應(yīng)。

為了進(jìn)一步進(jìn)行定性的大小比較，表1列出波動(dòng)率及其兩個(gè)拆解維度的描述性統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。從偏度值和峰度值我們可以清楚看出分布的尖峰厚尾特性以及典型的右偏性。具體來看，首先，對(duì)于整體指數(shù)波動(dòng)指標(biāo)indext，和圖2中反映的直觀感受是一致的，趨勢(shì)下跌階段的波動(dòng)性顯著較大，而趨勢(shì)上漲階段波動(dòng)性又顯著大于趨勢(shì)波動(dòng)階段。對(duì)于相關(guān)性維度rhot，三種階段的大小關(guān)系與指數(shù)波動(dòng)的大小關(guān)系一致。最后，對(duì)于個(gè)股波動(dòng)維度sumt，趨勢(shì)下跌階段依舊明顯大于另外兩者。

表1 波動(dòng)率數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)

注：其中的峰度數(shù)據(jù)統(tǒng)一為超額峰度數(shù)值。

結(jié)合圖2、圖3以及表1反映出來的信息，可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

首先，在股市的趨勢(shì)上漲和趨勢(shì)下跌階段其高頻波動(dòng)性會(huì)顯著提升，而且在股市下跌中波動(dòng)性增幅更大，這也反映出金融市場(chǎng)中普遍存在的不對(duì)稱性。由于風(fēng)險(xiǎn)厭惡性的存在，相比較上漲，投資者對(duì)于下跌所做出的反應(yīng)更劇烈，恐慌情緒對(duì)市場(chǎng)穩(wěn)定性的破壞也更大。通俗來講，也就是所謂的“殺跌”影響要大于“追漲”影響，從而造成下跌階段中更多的極端波動(dòng)時(shí)間段。

同時(shí)，通過對(duì)波動(dòng)性兩個(gè)成因的詳細(xì)比較我們可以看出，在趨勢(shì)上漲階段，個(gè)股的波動(dòng)行為并未出現(xiàn)提升，指數(shù)波動(dòng)性提升的主要原因在于個(gè)股之間波動(dòng)一致性的提升，但是在趨勢(shì)下跌階段，個(gè)股波動(dòng)和波動(dòng)一致性兩個(gè)維度均出現(xiàn)了較大程度的提升。

4 copula模型分析

上一部分，初步定性地對(duì)指數(shù)波動(dòng)及其兩個(gè)維度在不同走勢(shì)情況下的表現(xiàn)進(jìn)行了比較。為了進(jìn)一步定量地衡量在不同的大盤走勢(shì)下，拆解出的兩個(gè)維度值和整體的指數(shù)波動(dòng)的相關(guān)關(guān)系，將采用copula模型來進(jìn)行定量分析。

copula模型由統(tǒng)計(jì)學(xué)家Sklar在1959年首次提出，Nelson(2006)首次系統(tǒng)性地總結(jié)了copula理論的主要研究成果。

在對(duì)變量相關(guān)性的探討方面，copula函數(shù)可以將多個(gè)變量自身的邊緣分布函數(shù)和已知的聯(lián)合分布情況聯(lián)系起來，進(jìn)而可以通過擬合得出的連接函數(shù)計(jì)算得出變量之間相關(guān)關(guān)系的大小。同時(shí)，魏平等[6]的研究指出，copula還具有一些優(yōu)良的性質(zhì)，比如copula函數(shù)在單調(diào)遞增變換下可以保持函數(shù)以及秩相關(guān)性不變性，可以發(fā)掘變量之間的相關(guān)模式，等等。

張連增等[7]指出，copula模型的構(gòu)建可以分為三大類，參數(shù)法、半?yún)?shù)法以及非參數(shù)法。其中，參數(shù)法是對(duì)于變量的邊際分布以及copula函數(shù)形式都做出分布假設(shè)并進(jìn)行擬合；半?yún)?shù)法是不對(duì)邊際分布做假設(shè)和擬合，直接使用經(jīng)驗(yàn)分布，僅僅指定copula連接函數(shù)的形式進(jìn)行擬合；非參數(shù)法則是對(duì)邊際分布和copula聯(lián)合函數(shù)都不做假設(shè)，直接進(jìn)行估算。

由于我們的樣本數(shù)據(jù)往往無法完全符合某種特定分布，所以為了避免在邊緣分布擬合中帶來誤差累積，本文使用的估計(jì)方式是半?yún)?shù)估計(jì)方法，即不對(duì)變量的邊緣分布進(jìn)行模型假設(shè)和擬合，使用變量的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)代入。

連接函數(shù)方面，在金融領(lǐng)域中對(duì)copula函數(shù)的使用主要有兩種：橢圓族函數(shù)以及阿基米德族函數(shù)[6]。其中，橢圓族函數(shù)主要包括正態(tài)copula以及t-copula，共同點(diǎn)是描述的是對(duì)稱關(guān)系，而相比較正態(tài)copula模型，t-copula模型對(duì)于變量的尾部相關(guān)性更敏感。阿基米德族函數(shù)中主要使用的包括，Gumbel，Clyton，F(xiàn)rank函數(shù)。其中，Gumbel函數(shù)對(duì)于上尾部的權(quán)重更大，Clyton對(duì)于下尾部權(quán)重更大，F(xiàn)rank模型則呈現(xiàn)上下尾部對(duì)稱分布。

基于copula模型，對(duì)變量之間相關(guān)程度的衡量參數(shù)主要包括Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)、Gini相關(guān)系數(shù)以及尾部相關(guān)系數(shù)等。

對(duì)于已知的copula函數(shù)C(u,v)，令τ為Kendall秩相關(guān)系數(shù)，定義式如式(9):

(9)

令ρ為Spearman秩相關(guān)系數(shù)，定義式如式(10)：

(10)

令γ為Gini秩相關(guān)系數(shù)，定義式如式(11)：

(11)

與Spearman，Kendall以及Gini這樣的全局相關(guān)系數(shù)不同的是，尾部相關(guān)系數(shù)則更多集中關(guān)注變量分布的極端情況，上尾和下尾相關(guān)系數(shù)的定義分別如式(12)、(13)所示:

(12)

(13)

以上定義的五種相關(guān)系數(shù)為正表示呈現(xiàn)正相關(guān)，而數(shù)值越接近0，兩者的相關(guān)度越小，越接近于1，兩者的相關(guān)度則越大。

對(duì)indext與thot以及sumt分別進(jìn)行copula擬合，并計(jì)算其相關(guān)性，試圖找出在不同趨勢(shì)下，這兩個(gè)維度對(duì)整個(gè)指數(shù)波動(dòng)的相關(guān)性質(zhì)?？梢灶A(yù)計(jì)的是，計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)應(yīng)該都是顯著為正，而系數(shù)越接近于1，表明該維度與指數(shù)波動(dòng)的一致性越高。為了保證結(jié)果的有效性，將使用不同模型進(jìn)行擬合，并得出不同的相關(guān)系數(shù)。所有結(jié)果匯總于表2至表4中。

表2 趨勢(shì)波動(dòng)階段copula模型擬合情況

表3 趨勢(shì)上漲階段copula模型擬合情況

表4 趨勢(shì)下跌階段copula模型擬合情況

注：為了便于比較，兩個(gè)維度中較大的指標(biāo)加粗標(biāo)注。

結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，進(jìn)行分析。首先，從上下尾部的極端相關(guān)性來看，可以看到下尾相關(guān)性很大，但是上尾相關(guān)性較小。這是因?yàn)椴▌?dòng)率的右端極端值與其他數(shù)值落差較大且數(shù)目較小，導(dǎo)致上尾相關(guān)性的降低。但是，在波動(dòng)率較低的區(qū)域，數(shù)值分布較為集中，所以造成了較大的上下尾不對(duì)稱。

對(duì)于不同趨勢(shì)下的模型數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，整體來講，可以看出，趨勢(shì)下跌區(qū)間的相關(guān)性整體高于其余兩種波動(dòng)階段，表明存在較為顯著的行情下跌時(shí)，兩個(gè)維度的解釋性都會(huì)得到提高。

接著對(duì)三個(gè)階段進(jìn)行內(nèi)部比較。首先，對(duì)于趨勢(shì)波動(dòng)階段，各模型的結(jié)論較為一致，即個(gè)股波動(dòng)維度與整個(gè)指數(shù)波動(dòng)情況的一致性更高。對(duì)于趨勢(shì)上漲階段，結(jié)論則相反，波動(dòng)相關(guān)性與指數(shù)波動(dòng)性的一致性更好，可以認(rèn)為波動(dòng)一致性的變動(dòng)是指數(shù)波動(dòng)更好的解釋因素，這與在前一部分描述性統(tǒng)計(jì)中的觀察結(jié)論是一致的。最后，對(duì)于趨勢(shì)下跌階段，各模型的結(jié)論出現(xiàn)了不一致，且兩個(gè)因素與整體波動(dòng)的相關(guān)系數(shù)差距較小，我們認(rèn)為這表明兩個(gè)因素均存在較大的一致性，即在指數(shù)趨勢(shì)下跌階段，指數(shù)波動(dòng)的兩個(gè)維度均隨著指數(shù)波動(dòng)自身的增長出現(xiàn)了顯著增長，并共同導(dǎo)致了指數(shù)波動(dòng)的大幅增加。

在該部分，文章使用了copula模型對(duì)指數(shù)波動(dòng)的兩個(gè)解釋維度進(jìn)行了相關(guān)性探究。根據(jù)擬合得出的相關(guān)性的大小，得出結(jié)論：

在指數(shù)呈現(xiàn)趨勢(shì)波動(dòng)的時(shí)候，指數(shù)波動(dòng)大小變動(dòng)的主要成因?yàn)閭€(gè)股拉動(dòng)；在指數(shù)波動(dòng)上漲階段，指數(shù)波動(dòng)大小變動(dòng)的主要因素則是個(gè)股波動(dòng)的相關(guān)性變動(dòng)導(dǎo)致；在指數(shù)波動(dòng)下跌階段，個(gè)股行為和成分股波動(dòng)相關(guān)性維度都是重要的成因。

5 波動(dòng)率擬合和預(yù)測(cè)模型

在對(duì)拆解出的變量進(jìn)行了性質(zhì)分析之后，文章在本部分將試圖將其應(yīng)用在構(gòu)建指數(shù)波動(dòng)預(yù)測(cè)領(lǐng)域。在傳統(tǒng)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型中，最廣為使用的是GARCH模型以及SV模型，但是在低頻領(lǐng)域得到大家廣泛認(rèn)可的這兩個(gè)模型在高頻數(shù)據(jù)建模領(lǐng)域存在一定的局限性。Andersen等人(2003)[5]發(fā)現(xiàn)對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率取對(duì)數(shù)后，近似符合正態(tài)分布，結(jié)合其長記憶性特征提出ARFIMA-Ln(RV)模型；Crosi(2009)[8]基于異質(zhì)市場(chǎng)理論，提出HAR-RV模型，通過不同時(shí)間跨度的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的線性擬合來刻畫市場(chǎng)波動(dòng)信息。目前來講，對(duì)于高頻波動(dòng)率的探究大部分都是以ARFIMA以及HAR-RV兩個(gè)模型為基礎(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)和拓展。

由于相比較ARFIMA模型，HAR-RV模型有更好的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義，所以本文選取HAR-RV作為波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型。該模型主要的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是通過將不同時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)率來互相疊加。

但是過往的經(jīng)驗(yàn)顯示，金融資產(chǎn)的價(jià)格并不是一直保持連續(xù)的波動(dòng)，而是存在著跳躍性的價(jià)格變動(dòng)。Merton[9]的研究指出,金融資產(chǎn)的價(jià)格在一般情況下會(huì)遵循一個(gè)連續(xù)的路徑運(yùn)動(dòng)，但是在異常波動(dòng)或者重大事件的影響下，會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的跳躍現(xiàn)象。所以，在傳統(tǒng)的價(jià)格隨機(jī)變動(dòng)過程方程的基礎(chǔ)上，需要增加離散跳躍項(xiàng)：

dp(t)=μ(t)dt+σ(t)dw+κ(t)dq(t)

(14)

其中，μ(t)為漂移項(xiàng)，反映價(jià)格的均值過程；σ(t)為價(jià)格的瞬間波動(dòng)，存在左極限且右連續(xù)；w(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗過程；q(t)是時(shí)變強(qiáng)度為λ(t)的計(jì)數(shù)過程，滿足λ(t)dt=P(dq(t)=1)；κ(t)為價(jià)格對(duì)數(shù)序列的跳躍成份，κ(t)=p(t)-p(t-)等式右側(cè)前兩項(xiàng)為傳統(tǒng)的價(jià)格波動(dòng)描述。對(duì)式(14)做二次變差可以求出實(shí)際價(jià)格波動(dòng)率[10]：

(15)

同時(shí)，根據(jù)過往的研究，由于波動(dòng)率本身極端值落差較大，所以進(jìn)行取對(duì)數(shù)操作之后可以獲得更好的正態(tài)分布，從而LNHAR-RV-CJ模型可以獲得更好的預(yù)測(cè)和擬合特性[13-14]。

于是，仿照常規(guī)的LNHAR-RV-CJ模型，嘗試建立高頻波動(dòng)預(yù)測(cè)模型，將原模型中的日內(nèi)波動(dòng)考察單位改為5分鐘內(nèi)的波動(dòng)率，原先的周波動(dòng)率以日波動(dòng)率代替，月波動(dòng)率以周波動(dòng)率代替。得到的回歸模型如下：

(16)

其中：

續(xù)路徑方差各變量定義可類比上述定義。

同時(shí)，為了下文的對(duì)比工作，同樣對(duì)原始的LNHAR-RV模型進(jìn)行回歸擬合：

(17)

(18)

同時(shí)，為了更好地闡述模型的解釋能力，對(duì)模型的樣本外預(yù)測(cè)能力進(jìn)行考察，而為了測(cè)算預(yù)測(cè)模型的估計(jì)效果，引入多個(gè)常見的預(yù)測(cè)效果評(píng)估指標(biāo)：誤差均方根(RMSE)、絕對(duì)誤差平均(MAE)、相對(duì)誤差絕對(duì)值平均(MAPE)以及希爾不等系數(shù)(TIC)。分別定義為：

(19)

(20)

(21)

(22)

其中T為樣本容量，n為樣本外預(yù)測(cè)數(shù)目，y^為預(yù)測(cè)值，yt為真實(shí)值。由表達(dá)式可以看出，以上四個(gè)誤差評(píng)判指標(biāo)越小，說明預(yù)測(cè)效果越好。

表5 趨勢(shì)波動(dòng)階段模型擬合與預(yù)測(cè)效果對(duì)比

由于在上文的探究中，發(fā)現(xiàn)在不同的大盤走勢(shì)情況下，各指標(biāo)與整體波動(dòng)的相關(guān)程度存在顯著差異，所以本部分的擬合和預(yù)測(cè)會(huì)分大盤走勢(shì)階段進(jìn)行。對(duì)比模型為LNHAR-RV與LNHAR-RV-CJ，對(duì)于趨勢(shì)波動(dòng)、趨勢(shì)上漲和趨勢(shì)下跌三種階段都采取將樣本數(shù)據(jù)的90%用作擬合，將剩下的10%用作樣本外預(yù)測(cè)。為了便于表達(dá)，將構(gòu)造的式(18)模型簡稱為LNHAR-RV-RS模型。

表6 趨勢(shì)上漲階段模型擬合與預(yù)測(cè)效果對(duì)比

表7 趨勢(shì)下跌階段模型擬合與預(yù)測(cè)效果對(duì)比

注：表5-7中上半部分為擬合結(jié)果，下半部分為預(yù)測(cè)誤差度量，其中***，**，*分別代表擬合系數(shù)在1%、5%以及10%的水平下顯著。對(duì)于預(yù)測(cè)模塊，三個(gè)模型中表現(xiàn)最好的模型都加粗標(biāo)注。

結(jié)合表5-7中的數(shù)據(jù)，可以看出LNHAR-RV-RS模型在三個(gè)階段預(yù)測(cè)和擬合效果都是最好的。與預(yù)期有落差的是，在高頻領(lǐng)域，LNHAR-RV-CJ模型表現(xiàn)不夠穩(wěn)定，在趨勢(shì)上漲階段的預(yù)測(cè)中表現(xiàn)甚至不及傳統(tǒng)模型。通過對(duì)比各個(gè)模型擬合系數(shù)的顯著性看出，對(duì)于LNHAR-RV-CJ模型，跳躍路徑方差部分除了分鐘數(shù)據(jù)均較為顯著之外，日度和周度均值都較為不顯著，這也直接影響了該模型的解釋和預(yù)測(cè)能力。LNHAR-RV-RS模型中兩個(gè)維度的拆解在回歸中均顯現(xiàn)出較為理想的顯著性和解釋能力。

對(duì)這一差異是這樣理解的：對(duì)于波動(dòng)率數(shù)據(jù)，其跳躍分量一般出現(xiàn)在較短時(shí)間內(nèi)。長期來講，沖擊效應(yīng)會(huì)很不顯著，對(duì)于回歸以及預(yù)測(cè)的作用也就相對(duì)較小。但是對(duì)于該拆解方法，由于個(gè)股行為維度和相關(guān)性維度為兩個(gè)對(duì)稱的維度，所以這樣的拆解就避免了其中某個(gè)變量長期不顯著的問題，構(gòu)建的模型從而獲得了更好的解釋和預(yù)測(cè)能力。

6 結(jié)論和展望

本文嘗試對(duì)指數(shù)波動(dòng)進(jìn)行拆解。首先，對(duì)拆解的兩個(gè)維度和波動(dòng)率自身進(jìn)行了初步的描述性統(tǒng)計(jì)分析，進(jìn)一步使用copula模型進(jìn)行了定量的一致性分析，最后以此為基礎(chǔ)進(jìn)行了波動(dòng)率解釋和預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建。相關(guān)結(jié)論表明，這樣的拆解不僅可以向我們很好地解釋和闡述不同大盤走勢(shì)下指數(shù)波動(dòng)增加的主要成因，也可以給波動(dòng)率解釋和預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建帶來更多的有效信息，達(dá)到更好的擬合與預(yù)測(cè)效果，這樣的結(jié)果也給對(duì)波動(dòng)率的研究和預(yù)測(cè)工作帶來了一種嶄新的思路。

以本文現(xiàn)有的工作為基礎(chǔ)，在后續(xù)的探究中，還可以設(shè)想依據(jù)這樣的拆解，對(duì)指數(shù)的極端波動(dòng)時(shí)間段進(jìn)行預(yù)警或者構(gòu)建對(duì)應(yīng)的指數(shù)買賣策略實(shí)現(xiàn)套利。

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TheCorrelationofHigh-frequencyVolatilityamongIndexConstituentStocks

WANGYanwei
(Antai College of Economics & Management,Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030, China)

This paper will study the high-frequency volatility of index from a brand-new perspective. The volatility of index will be decomposed into two separate dimensions-sum of volatility and correlation of volatility. The consistency between these two dimensions and the volatility of index will be checked and demonstrated separately under increasing stage, decreasing stage and fluctuating stage. Finally, this two variables will be applied to construct prediction equation for volatility which will be compared with other prediction models.

high-frequency volatility; sum of volatility; correlation of volatility

F 832

A

2016-12-20

王彥瑋(1992—)，男，上海人，金融學(xué)碩士，主要研究方向：金融工程。E-mail：atswyw@126.com.

1005-9679(2017)05-0020-08