張立國

(沈陽理工大學 理學院,沈陽 110159)

關于廣義幾何數(shù)列的討論

張立國

(沈陽理工大學 理學院,沈陽 110159)

廣義幾何數(shù)列是數(shù)列的推廣，其收斂情況與數(shù)列的值域密切相關。按照數(shù)列的取值范圍，討論廣義幾何數(shù)列的性質(zhì)，給出收斂的充要條件和必要條件，為極限理論的后續(xù)研究提供思路。

廣義幾何數(shù)列；倒數(shù)代換；收斂

數(shù)列極限是微積分學中最簡單、最容易掌握的極限概念。雖然它不具有廣泛的代表性，但由于分析學中的極限大多可以利用數(shù)列極限來刻劃，因而它的地位是不言而喻的。廣義幾何數(shù)列是數(shù)列概念的推廣，其性質(zhì)對于極限理論的完善和發(fā)展是非常重要的。文獻[1]只在區(qū)間[0,1]上對其進行簡單的討論，但對于區(qū)間[0,1]以外的廣義幾何數(shù)列沒有涉及。本文在此基礎上，系統(tǒng)地討論廣義幾何數(shù)列的收斂情況，并給出收斂的充要條件。

1 預備知識

定義1[1]設{xn}為數(shù)列，令

稱數(shù)列{an}為廣義幾何數(shù)列。{xn}為{an}的基礎數(shù)列。

2 廣義幾何數(shù)列的收斂條件

如果基礎數(shù)列x1=x2=…=xn=…=r,則an=rn,此時這個廣義幾何數(shù)列{an}就是通常的幾何數(shù)列{rn}，因而在區(qū)間[0,1]之內(nèi)，廣義幾何數(shù)列與幾何數(shù)列有相似的性質(zhì)。

命題1[1]設基礎數(shù)列{xn}(0,1)，則廣義幾何數(shù)列{an}收斂 。

命題2 設基礎數(shù)列{xn}(-1,0)，若廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a，則a=0。

證明由于基礎數(shù)列{xn}(-1,0),則a2n(0,1),a2n-1(-1,0)。據(jù)極限保號性可知由于廣義幾何數(shù)列{an}收斂a，從而故a=0。

若基礎數(shù)列{xn}位于區(qū)間[0,1]之外時，廣義幾何數(shù)列{an}收斂情況如下：

定理2 設基礎數(shù)列{xn}(-∞,-1)，則廣義幾何數(shù)列{an}發(fā)散。

證明由于基礎數(shù)列{xn}(-∞,-1),則a2n(1,+∞),a2n-1(-∞,-1)。若與都存在時，據(jù)極限保號性可知從而因此廣義幾何數(shù)列{an}發(fā)散。

定理3 設xn(1,+∞)，則廣義幾何數(shù)列{an}收斂當且僅當級數(shù)收斂。

由拉格朗日(Lagrange)中值定理得

由歸結原則與洛必達法則有

根據(jù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件，可以得出廣義幾何數(shù)列收斂的必要條件：

推論1 設xn(1,+∞)，若基礎數(shù)列{xn}的廣義幾何數(shù)列{an}收斂，則數(shù)列{xn}收斂于1。

利用倒數(shù)代換和逆否命題，可以得到xn(0,1)時，廣義幾何數(shù)列{an}收斂結論。

定理4[3]設xn(0,1)，則廣義幾何數(shù)列{an}的極限大于0，當且僅當級數(shù)收斂。

定理5 設xn(0,1)，則廣義幾何數(shù)列{an}的極限為0,當且僅當級數(shù)發(fā)散。

推論2 設xn(0,1)，若數(shù)列{xn}的廣義幾何數(shù)列{an}極限大于0，則數(shù)列{xn}收斂于1。

合并推論1與2可以得到推論3。

推論3 設xn(0,+∞),若數(shù)列{xn}的廣義幾何數(shù)列{an}極限大于0，則數(shù)列{xn}收斂于1。

例1說明推論2只是必要條件。通過倒數(shù)代換可以推知，推論1與推論3也僅是必要條件。

3 廣義幾何數(shù)列的性質(zhì)

定理6 若實數(shù)a(0,+∞),則存在收斂于1的基礎數(shù)列{xn},使得其廣義幾何數(shù)列收斂于a。

證明設基礎數(shù)列{yn|nN}={0.9,0.99,0.999,…,1-(0.1)n,…}，其廣義幾何數(shù)列{bn}的極限為p，即據(jù)極限保號性可知0

(1)若0

當r>a時，由(1)可知，存在xn(0,1)，且使得廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a；

當r=a時，xn=zn使得結論成立。

(4)若a=1或p時,令xn1或yn，即為所求。

由定理6的證明過程可以得到如下結論。

定理7 若實數(shù)a(0,1)，則存在收斂于1的基礎數(shù)列{xn}(0,1)，使得其廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a。

定理8 若實數(shù)a[1,+∞)，則存在收斂于1的基礎數(shù)列{xn}(1,+∞)，使得其廣義幾何數(shù)列{an}收斂于a。

由例1與定理6的證明可以看出，廣義幾何數(shù)列{an}的極限值a的大小與數(shù)列{xn}收斂于1的速度有關，當{xn}緩慢的收斂于1時，a可能為0，而當{xn}快速的收斂于1時，a可能大于0，這個問題需要深入探討。

4 結束語

通過本文的論證可以看到，廣義幾何數(shù)列的收斂不僅與基礎數(shù)列的值域有關，而且與數(shù)項級數(shù)的收斂聯(lián)系密切。若把兩者有機地聯(lián)系在一起時，可能得到判定數(shù)項級數(shù)收斂的新方法，這是下一步研究的重點。

[1] 邱森.微積分探究性課題精編[M].武漢：武漢大學出版社，2016.

[2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，1980.

[3] Ahlfors L.Complex analysis [M].3rd ed.Mcgraw-Hill,New York,1979.

(責任編輯：馬金發(fā))

TheConvergenceofGeneralizedGeometricSequence

ZHANG Liguo

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The generalized geometric sequence is a generalization of the sequence,the convergence of the situation and the range of values of the sequence are closely related.According to the sequence of the scope,to discuss the nature of the generalized geometric sequence，and to present the necessary and sufficient conditions and necessary conditions of the convergence,and to provide ideas for the subsequent research in the theory of limit.

generalized geometric sequence;inverse substitution;convergence

O13

A

2016-10-26

張立國(1970—)，男，副教授，研究方向：模糊拓樸學。

1003-1251(2017)05-0108-03