周海燕，何 濤

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

一類廣義螺旋解析函數(shù)的某些性質(zhì)

周海燕，何 濤

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文利用從屬關(guān)系定義了一類負(fù)系數(shù)的廣義螺旋解析函數(shù)P（β，A，B)，討論了該類中函數(shù)的系數(shù)估計(jì),偏差定理,積分算子保持性和封閉定理等性質(zhì).

廣義螺旋解析函數(shù)；從屬關(guān)系；系數(shù)估計(jì)；偏差定理；封閉定理

1 引言

設(shè)C為復(fù)數(shù)集,D={z:|z|＜1}表示單位圓盤,令

A={f(z):f(z)在D內(nèi)解析},

設(shè)f(z),g(z)在D內(nèi)解析,如果存在D內(nèi)解析函數(shù)ω(z),滿足 ω(0)=0,|ω(z)|＜1,使得 f(z)=g(ω(z))(z∈D),則稱 f(z)從屬于g(z),記為 f(z)?g(z)[1].

利用上述從屬關(guān)系,我們定義如下螺旋解析函數(shù)類:

則稱 f(z)∈P(β,A,B).

由定義1和從屬關(guān)系可知,f(z)∈P(β,A,B)當(dāng)且僅當(dāng)存在D內(nèi)的解析函數(shù)w(z),滿足w(0)=0,|w(z)|＜1,使得

而由（2）式,我們不難得到

或

特別地，有P(0,A,B)=P(A,B)，P(0,1,-1)=S*（星象函數(shù)類）.

本文中,我們主要討論上述廣義螺旋解析函數(shù)類P(β,A,B)的系數(shù)估計(jì)、偏差定理、積分算子保持性、封閉定理等性質(zhì).

2 主要結(jié)果及其證明

證明 先證充分性.令|z|=1,則

而由（4）式,我們可得

于是,由最大模原理知,f(z)∈P(β,A,B).

其次,證明必要性.令

因?yàn)閨Rez|≤|z|,對(duì)所有的z成立.所以我們有

消去上式分母,并令z→1-,即得

如果取函數(shù)

則能達(dá)到精確值.證畢.

推論 1 設(shè)-1≤B＜A≤1,-1≤B≤0,則函數(shù)f(z)∈P(A,B)當(dāng)且僅當(dāng)

定理 2 若 f(z)∈P(β,A,B),則對(duì)于 |z|=r(0≤r＜1),有

因此

綜上,有（5）式成立.

如果取函數(shù)

則能達(dá)到精確值.證畢.

推論 2 設(shè) f(z)∈P(A,B),則對(duì)于 |z|=r(0≤r＜1)，有

知

而

再利用定理 1,即得 g(z)∈P(β,A,B).證畢.

定理 4 設(shè)c是實(shí)數(shù)且c＞-1,f(z)∈P(β,A,B)，則函數(shù)

因?yàn)?f(z)∈P(β,A,B)，所以

于是由定理 1,F(z)∈P(β,A,B).證畢.

推論 4 設(shè)c是實(shí)數(shù)且c＞-1,f(z)∈P(β,A,B),則函數(shù)

證明 設(shè)

則

因此由定理1可知,f(z)∈P(β,A,B).

另一方面,設(shè) f(z)∈P(β,A,B),則由定理 1,有

令

證畢.

〔1〕湯獲,李書海,周海燕.線性算子與微分從屬和微分超從屬[M].科學(xué)出版社,2016.

O174.55

A

1673-260X（2017）10-0001-03

2017-08-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11561001)；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2014MS0101)