歐陽丹， 陳棋江， 羅 斌

(華南師范大學(xué)華南先進(jìn)光電子研究院， 廣州 510006)

一維非均勻介質(zhì)中Casimir Stress的收斂性

歐陽丹， 陳棋江， 羅 斌*

(華南師范大學(xué)華南先進(jìn)光電子研究院， 廣州 510006)

基于Lifshitz理論和計(jì)算Casimir stress (σ)的規(guī)范化方法，研究一維非均勻介質(zhì)中σ的收斂性. 通過對電磁場格林函數(shù)的Galerkin變分方程的證明與分析結(jié)果表明，采用Lifshitz公式理論體系及常規(guī)的規(guī)范化方法時(shí)，只要介質(zhì)中某處的介電常數(shù)ε或磁導(dǎo)率μ的一階導(dǎo)數(shù)不為零，σ在這些導(dǎo)數(shù)非零處為發(fā)散的. 研究結(jié)果證明了現(xiàn)有的規(guī)范化方法不適于計(jì)算非均勻介質(zhì)，為改進(jìn)現(xiàn)有物理模型和探索適用于非均勻介質(zhì)的新方法提供了理論參考.

Casimir stress； Lifshitz理論； 非均勻介質(zhì)

Keywords： Casimir stress; Lifshitz theory; inhomogeneous media

空間中存在有限的真空能量，導(dǎo)致2塊不帶電的平行板之間即使在絕對零度的情況下也存在吸引力, CASIMIR[1]提出了這種由量子漲落引起的力，即Casimir力. 通常，這種作用力由于太弱而不易被探測. 但是如果2塊平板之間的間距在微米范圍內(nèi)，那么平板之間的Casimir力是能夠被探測的[2]. 例如ALMASI等[3]設(shè)計(jì)并制造了一種新型力傳感器測量大面積的Casimir力. 它不一定是吸引力，只要選取合適的相互作用材料，Casimir力也可以是排斥力，而且排斥力比吸引力更弱[4].

從理論上來闡述Casimir效應(yīng)，計(jì)算Casimir力的方法主要可分為3種：模式求和法[5-6]、反射系數(shù)法[7-9]和Lifshitz理論方法[10-11]. 在計(jì)算任意數(shù)量、相互分隔的物體或色散和耗散介質(zhì)之間的Casimir力時(shí)，最常用的方法是Lifshitz理論方法. Lifshitz理論體系以電磁格場林函數(shù)為基礎(chǔ)，將電磁場張量以格林函數(shù)的形式表示，推導(dǎo)出Casimir stress (σ)，從而進(jìn)一步計(jì)算Casimir力. 盡管Lifshitz理論中涉及的計(jì)算非常復(fù)雜，但是在許多問題中，Lifshitz理論能夠通過純粹的數(shù)值計(jì)算來求解，從而使它具有廣泛的適用性，并且已被成功運(yùn)用于實(shí)驗(yàn)中. 然而，Lifshitz理論在計(jì)算求解非均勻介質(zhì)[12-13]的過程中遇到了發(fā)散的問題. 文獻(xiàn)[12]提出的規(guī)范化方法會導(dǎo)致非均勻介質(zhì)內(nèi)部任意處的σ無窮大，從而導(dǎo)致Casimir力無法計(jì)算，但是并沒有給出嚴(yán)格的理論證明. 提出的新的規(guī)范化方法也未能從本質(zhì)上解決σ的發(fā)散問題，其理論基礎(chǔ)的正確性還有待驗(yàn)證.

σ在非均勻介質(zhì)中發(fā)散[9,12-13]，但沒有從理論上明確指出σ收斂性的規(guī)律. 一般認(rèn)為σ與真空中Casimir力的計(jì)算不相關(guān). 然而在實(shí)際中，實(shí)驗(yàn)環(huán)境通常是物體被浸入到流體中，在這種情況下，Casimir力必須通過σ來計(jì)算. 因此，弄清楚σ收斂性的規(guī)律非常重要.

本文根據(jù)Lifshitz理論，在現(xiàn)有的σ規(guī)范化方法的基礎(chǔ)上，對其做進(jìn)一步數(shù)學(xué)演繹，得到σ的計(jì)算公式，通過研究電磁場格林函數(shù)及其Galerkin變分方程，總結(jié)了在現(xiàn)有公式體系下σ的發(fā)散規(guī)律.

1 計(jì)算方法

在一維非均勻介質(zhì)(y和z方向平移不變)中，計(jì)算3×3矩陣的σ時(shí)只需計(jì)算其中的1個(gè)元素σxx.以Lifshitz理論為基礎(chǔ)進(jìn)行推導(dǎo)[14]

(1)

(2)

中的一個(gè)元素；上標(biāo)E、M分別表示電場、磁場. 由式(1)和式(2)之和可得到σxx(x′)的計(jì)算公式. 本文在此基礎(chǔ)上，將其在y-z平面進(jìn)行二維傅里葉變換為

(3)

gES|MS(iκ;x′,x′,0)]dκ,

(4)

其中,

gES|MS(iκ;x,x′,ρ)=gE|M(iκ;x,x′,ρ)-g0(iκ;r,r′),

(5)

g0(iκ;r,r′):=

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

微分方程(9)可以轉(zhuǎn)化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形式：

(11)

其中，

(12)

為了便于后續(xù)的推導(dǎo)，將式(12)進(jìn)一步變?yōu)椋?/p>

(13)

(14)

其中,

(15)

根據(jù)式(3)和式(4)可以得到一維非均勻介質(zhì)中σ的計(jì)算公式：

(16)

其中,

(17)

(18)

(19)

其中，

(20)

(21)

(22)

其中，φ(r)是滿足如下條件的試函數(shù)：φ(r)在3空間內(nèi)有限并連續(xù)，且存在大于0的距離d，使得當(dāng)|r|≥d時(shí)，φ(r)恒等于0，并且φ(r)在Vn任何地方都可導(dǎo)，并且,

(23)

(24)

(25)

是有限的，但是式(22)中等號右邊的

(26)

2 程序驗(yàn)證

為了驗(yàn)證非均勻介質(zhì)中σ是發(fā)散的，本文采用有限元法(FEM)編程計(jì)算了2塊相距d=xR-xL的無限大金屬板之間中點(diǎn)處的σxx. 當(dāng)兩金屬板間的介質(zhì)分別為均勻介質(zhì)(圖1A)和線性非均勻介質(zhì)(圖1B)時(shí)，兩金屬板中點(diǎn)x′=(xL+xR)/2處的σ隨網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)的變化情況見圖2. 所有介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率μr均為1.

有限元法將待求解的區(qū)域劃分為細(xì)小的網(wǎng)格區(qū)域，以近似計(jì)算各點(diǎn)的數(shù)值解，網(wǎng)格劃分越精細(xì)，結(jié)果越接近真實(shí)值. 容易看出，當(dāng)介質(zhì)為均勻介質(zhì)時(shí)(圖2A)，隨著網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)的增加，σxx趨于有限值. 而當(dāng)介質(zhì)為非均勻介質(zhì)時(shí)(圖2B)，σxx隨著網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)增加而無限增大，說明均勻介質(zhì)中的σxx收斂，而非均勻介質(zhì)中的σxx是發(fā)散的.

圖1 不同介質(zhì)中相對介電常數(shù)εr的分布

Figure 1 Distribution of relative dielectric constant in different medias

圖2 不同介質(zhì)中兩金屬板之間中點(diǎn)x′處σxx隨FEM網(wǎng)格數(shù)的變化

Figure 2 Changes ofσxxat the meddle pointx′of two metal sheets in different media

3 結(jié)論

針對一維非均勻介質(zhì)中Casimir stress (σ)的發(fā)散問題，基于Lifshitz理論，在現(xiàn)有的σ規(guī)范化方法基礎(chǔ)上，本文對其推導(dǎo)演繹，得到一維非均勻介質(zhì)中σ的計(jì)算公式. 通過證明和分析電磁場格林函數(shù)及其Galerkin變分方程得到以下結(jié)論：在現(xiàn)有基于Lifshitz理論及其標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范化方法體系下，在介質(zhì)的介電常數(shù)ε或磁導(dǎo)率μ對x的一階導(dǎo)數(shù)不為零的地方，σ必然發(fā)散，從而無法通過其計(jì)算非均勻介質(zhì)中的Casimir力. 這說明了現(xiàn)有的規(guī)范化方法模型對非均勻介質(zhì)是不適用的. 后續(xù)可改進(jìn)現(xiàn)有物理模型，并尋找新的適用于非均勻介質(zhì)的規(guī)范化方法.

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Convergence of Casimir Stress in One-Dimensional Inhomogeneous Media

OUYANG Dan, CHEN Qijiang, LUO Bin*

(South China Academy of Advanced Optoelectronics, South China Normal University, Guangzhou 510006, China)

Based on the Lifshitz theory and the regularization method for the calculation of Casimir stress (σ), the convergence ofσin one-dimensional inhomogeneous media is studied. By deriving and analyzing the Galerkin variational equation of Green’s function of electromagnetic field,σis divergent in the nonzero derivative when the Lifshitz formulism and standard regularization method are applied either the derivative of permittivityεor the derivative of permeabilityμis nonzero somewhere in the media. The results show that the existing standard regularization is not applicable to inhomogeneous media, and provide a theoretical reference for the improvement of the current physical model and the exploration of new regularization applicable to inhomogeneous media.

2016-02-22 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣東省引進(jìn)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目(201001D0104799318)

*通訊作者:羅斌，講師，Email:bin.luo@coer-scnu.org.

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【中文責(zé)編：譚春林 英文審校：肖菁】