吳曉飛，華國盛

（1.麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000；2.麗水學(xué)院信息技術(shù)中心，浙江麗水323000）

非線性光纖方向耦合器中的行波解及動(dòng)力學(xué)行為

吳曉飛1，華國盛2

（1.麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000；2.麗水學(xué)院信息技術(shù)中心，浙江麗水323000）

借助于著名的齊次平衡原理和F-展開法的基本思想，研究非線性光纖方向耦合器系統(tǒng)中的非線性薛定諤方程組，得到滿足傳輸方程的多種Jacobi橢圓函數(shù)周期波解和亮孤子解，并通過圖形分析法，討論其中一些解的動(dòng)力學(xué)行為。

非線性薛定諤方程組；F-展開法；亮孤子解

0 引言

自從1980年Mollenauer、Stolen和Gordon[1]在實(shí)驗(yàn)室首次驗(yàn)證了光纖中可傳輸孤立子以來，光孤子在光纖中的傳輸理論與實(shí)驗(yàn)一直是人們的研究熱點(diǎn)之一。由于光孤子在單模光纖中傳輸時(shí)可以保持形狀不變，這為超高碼速光纖通信提供了可能性。近年來，美、日、英等許多國家都致力于進(jìn)行光孤子通信傳輸?shù)膶?shí)驗(yàn)，大力研發(fā)這一技術(shù)。例如，美國AT&T公司與日本KDD公司合作建設(shè)的越洋海底光纜，即TPC-6工程，就采用了光孤子傳輸技術(shù)，其傳輸能力達(dá)到了100 Gbit/s，距離在10 000 km以上。目前，光孤子傳輸實(shí)驗(yàn)的研究已獲得了突破性的進(jìn)展，其傳輸?shù)拇a率和傳輸?shù)木嚯x分別可達(dá)到160 Gbit/s和106km以上，這為其實(shí)用化又更進(jìn)了一步。然而，一個(gè)實(shí)用的全光孤子通信系統(tǒng)除了作為傳輸線的單模光纖以外，還包括脈沖變換器件，如光開關(guān)、光方向耦合器等。因此，研究光孤子在這些器件中的演化過程及其動(dòng)力學(xué)行力，具有重要的理論意義和實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。

非線性雙芯光纖方向耦合器中的脈沖傳輸，在忽略交錯(cuò)相位調(diào)制的情況下，通常滿足如下非線性薛定諤方程組

式中u，v分別為歸一化后的1芯層和2芯層孤子振幅，z，τ，λ分別為歸一化的距離、時(shí)間和耦合系數(shù)。若λ＝0，則方程組（1）就變?yōu)閮蓚€(gè)獨(dú)立的非線性薛定諤方程，可以用反散射法精確地求出其N-孤子解。但由于交叉耦合的存在，方程組（1）是不可積的。本文擬利用著名的齊次平衡原理[2]和F-展開法[3]的基本思想來研究非線性光纖方向耦合器系統(tǒng)中的非線性薛定諤方程組，得到了滿足傳輸方程的多種Jacobi橢圓函數(shù)周期波解和亮孤子解。

1 非線性薛定諤方程組的求解

首先對(duì)方程組（1）作行波約化，設(shè)

式中 ξ=z+cgτ，η=kz+ωτ，cg為群速，k 為波數(shù)，ω 為角頻率。

將式（2）代入方程組（1）得φ，ψ滿足的非線性常微分方程組

通常我們要求φ，ψ是實(shí)函數(shù)形式，故要求φ'，ψ'前的復(fù)系數(shù)為零，取ωcg+1=0，則方程組（3）簡化為

依據(jù)F-展開法的基本思想，設(shè)方程組（4）的解的形式為

式中 n1，n2為正整數(shù)，a0，a1，…，an1，b1，…，bn1，c0，c1，…，cn2，d1，…，dn2為待定常數(shù)。F（ξ）滿足常微分方程

式中P，Q，R為待定常數(shù)。

通過平衡方程組（4）中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與非線性項(xiàng)，可確定n1=n2=1，于是由式（5）得到

式中，a0，a1，b1，c0，c1，d1為待定常數(shù)。

將式（7）代入方程組（4），并利用式（6），合并F的同次冪項(xiàng)的系數(shù)，令F的各次冪項(xiàng)的系數(shù)為零，得到關(guān)于 a0，a1，b1，c0，c1，d1，cg，k，ω，P，Q，R 的代數(shù)方程組。然后，利用 maple軟件解此代數(shù)方程組，可得滿足方程組的解為：

其中 c1，ω，cg，Q，R 為任意實(shí)數(shù)，且 ωcg+1=0；

其中 a1，b1，ω，cg，Q 為任意實(shí)數(shù)，且 ωcg+1=0。

2 非線性薛定諤方程組的解的討論

根據(jù)方程（6）、式（7）～ 式（9）和式（2），選取不同的 P、Q、R 值，可分別確定方程組（1）的不同的 Jacobi橢圓函數(shù)周期波解及孤子解。

2.1 Jacobi橢圓函數(shù)周期波解

（1）取P=-m2，Q=2m2-1，R=1-m2（m為Jacobi橢圓函數(shù)的模）時(shí)，F(xiàn)=cn（ξ），則方程組（1）的解為

2.2 孤子解

當(dāng)m→1時(shí)，由式（10）表示的Jacobi橢圓函數(shù)周期波解就退化為如下亮孤子解

2.3 圖形分析

為了更直觀地了解Jacobi橢圓函數(shù)周期波以及孤波的特性，利用計(jì)算機(jī)Maple軟件對(duì)典型解進(jìn)行模擬作圖分析。

與解 u1的模所對(duì)應(yīng)的周期波結(jié)構(gòu)如圖（1）所示，（a）取 cg=1，m=0.8時(shí)隨 t變化的波形圖，（b）取 cg=1，m=0.8，t=0時(shí)的波形截面圖。與解u5的模所對(duì)應(yīng)的m型周期波結(jié)構(gòu)如圖（2）所示，（a）取cg=1，m=0.1時(shí)隨t變化的波形圖，（b）取cg=1，m=0.1，t=0時(shí)的波形截面圖。與解u6的模對(duì)應(yīng)的類w型周期波結(jié)構(gòu)如圖（3）所示，（a）取cg=1，m=0.2時(shí)隨t變化的波形圖，（b）取cg=1，m=0.2，t=0時(shí)的波形截面圖。與解 u7的模所對(duì)應(yīng)的w 型周期波結(jié)構(gòu)如圖（4）所示，（a）取 cg=1，m=0.1 時(shí)隨 t變化的波形圖，（b）取 cg=1，m=0.1，t=0 時(shí)的波形截面圖。與解u8的模對(duì)應(yīng)的w-m組合型周期波結(jié)構(gòu)如圖（5）所示，（a）取cg=1，m=0.75時(shí)隨t變化的波形圖，（b）取cg=1，m=0.75，t=0時(shí)的波形截面圖。與解u9的模所對(duì)應(yīng)的孤波結(jié)構(gòu)及孤波隨時(shí)間的演化圖如圖（6）所示，（a）取 cg=1 時(shí)隨 t的變化波形圖，（b）取 cg=1，t=-5（實(shí)線），t=5（虛線）時(shí)的波形截面圖，它是左行波，由實(shí)線曲線移動(dòng)到虛線曲線。

因?yàn)閡=±v，所以u(píng)的模的圖形與v的模的圖形是一致的。

圖1 與解u1的模對(duì)應(yīng)的周期波結(jié)構(gòu)圖（（a）取cg=1，m=0.8時(shí)隨t變化的波形圖；（b）取cg=1，m=0.8，t=0時(shí)的波形截面圖）

圖2 與解u5的模對(duì)應(yīng)的m型周期波結(jié)構(gòu)圖（（a）取cg=1,m=0.1時(shí)隨t變化的波形圖；（b）取cg=1，m=0.1，t=0時(shí)的波形截面圖）

圖3 與解u6的模對(duì)應(yīng)的類w型周期波結(jié)構(gòu)圖（（a）取cg=1,m=0.2時(shí)隨t變化的波形圖；（b）取cg=1，m=0.2，t=0時(shí)的波形截面圖）

圖4 與解u7的模對(duì)應(yīng)的w型周期波結(jié)構(gòu)圖（（a）取cg=1,m=0.1時(shí)隨t變化的波形圖；（b）取cg=1，m=0.1，t=0時(shí)的波形截面圖）

圖5 與解u8的模對(duì)應(yīng)的w-m組合型周期波結(jié)構(gòu)圖（（a）取cg=1，m=0.75時(shí)隨t變化的波形圖；（b）取cg=1，m=0.75，t=0時(shí)的波形截面圖）

圖6 與解u9的模對(duì)應(yīng)的孤波結(jié)構(gòu)及孤波隨時(shí)間演化圖（（a）取cg=1時(shí)隨t變化的波形圖；（b）取cg=1，t=-5（實(shí)線），t=5（虛線）時(shí)的波形截面圖）

3 結(jié)論

借助于著名的齊次平衡原理和F-展開法的基本思想，研究了非線性雙芯光纖方向耦合器中的脈沖傳輸所滿足的非線性薛定諤方程組，得到了滿足傳輸方程的多種顯式精確行波解，其解包括了Jacobi第二類、第三類函數(shù)以及由它們組成的其它形式的周期波解和亮孤子解，并通過圖形分析法，討論了幾種典型的特殊的周期波結(jié)構(gòu)、孤波結(jié)構(gòu)以及孤波隨時(shí)間的演化。與以往的研究成果[4-7]相比，圖3、圖5所示的周期波結(jié)構(gòu)隨時(shí)間的演化是新的。在今后還將作進(jìn)一步研究。

［1］MOLLENAUER LF,STOLEN R H，GORDON J P.Experimental observation ofpicosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers［J］.Phys RevLett，1980，45（9）：1095.

［2］WANG M L，ZHOU Y B，LI Z B.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］.Physics Letters A，1996，216（1）：67.

［3］LI BA，WANGML.Applications ofF-expansion method tothe coupled KdVsystem［J］.Chin PhysB，2005，14（9）：1698.

［4］MA Z Y，MA S H.Analytical solutions and rogue waves in（3+1）-dimensional nonlinear Schrdinger equation［J］.Chin Phys B，2012，21（3）：030507

［5］ZHU H P.Nonlinear tunneling for controllable rogue waves in two dimensional graded-index waveguides［J］.Nonlinear Dyn，2013，72（4）：873.

［6］DAI C Q，WANG Y Y，CHEN J L.Analytic investigation on the similariton transmission control in the dispersion decreasing fiber［J］.Opt Commun，2011，284：3440.

［7］WU X F，HUA G S，MA Z Y.Novel rogue waves in an inhomogenous nonlinear medium with external potentials［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2013，18（12）：3325.

Dynamic Behaviors of the Solutions in Nonlinear Optical Fiber Coupler Schrodinger Equations

WUXiaofei1,HUAGuosheng2
（1.FacultyofEngineering，Lishui University，Lishui 323000，Zhejiang；2.Center ofInformation Technology，Lishui University，Lishui 323000，Zhejiang）

In this paper，the F-expansion and homogeneous balance method are used to solve the nonlinear optical fiber coupler Schrdinger equations.With this method，many kinds of explicit and exact traveling wave solutions are acquired，including Jacobi doubly periodic solutions and bright soliton.Besides，the dynamic behaviors of some solutions are discussed by direct computer simulations

coupler Schrdinger Equations；F-expansion；bright soliton

10.3969/j.issn.2095-3801.2017.05.001

O411.1

A

2095-3801（2017）05-0001-07

2017-02-15；

2017-03-20

浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目“非線性動(dòng)力系統(tǒng)的狄拉克結(jié)構(gòu)約化”（LY14A010005）

吳曉飛，女，浙江縉云人，教授，碩士。