彭亦稰，陳小元

（麗水學院工學院，浙江麗水323000）

基于方程駐軸的永磁同步電機動態(tài)數學模型

彭亦稰，陳小元

（麗水學院工學院，浙江麗水323000）

常用的三相永磁同步電機動態(tài)矩陣數學模型的推導過程龐雜，理解難度大。用復數矢量表示繞組軸線位置，獲得包含繞組位置信息的繞組駐軸電壓方程，推導永磁同步電機的復數矢量電壓方程，建立具有隨轉子旋轉的正交兩相繞組的永磁同步電機數學模型。用復數矢量運算闡述數學模型推導過程，簡練且物理概念清晰，可促進對永磁同步電機動態(tài)數學模型的理解及應用。

永磁同步電機；動態(tài)數學模型；復數矢量

0 引言

在電機控制的教材[1-4]和相關的論文[5-8]中，對于三相永磁同步電機，均采用矩陣描述其動態(tài)數學模型，以便于電機調速時的控制編程。但矩陣模型的推導過程龐雜，理解難度大。

本文將表示繞組軸線位置的復數矢量與繞組方程相乘，獲得包含繞組位置信息的繞組駐軸方程。在此基礎上，通過復數矢量運算，建立三相永磁同步電機的復數矢量電壓方程，推導坐標設立在轉子上的永磁同步電機的旋轉正交兩相繞組數學模型。力求模型推導過程簡練且物理概念清晰，以利于理解及應用永磁同步電機動態(tài)數學模型。

1 電機的駐軸電壓方程

圖1所示為三相永磁同步電機的單元電機（兩極電機）的永磁轉子和Y連接的定子繞組，圖中uA、uB和uC為定子三相繞組的相電壓，iA、iB和iC為定子三相繞組的相電流。

圖1 永磁同步電機的單元電機

圖1中，以定子A相繞組軸線為α軸，從α軸逆時針轉π/2為β軸，形成靜止的αβ坐標。以永磁轉子的N極軸線為d軸，從d軸逆時針轉π/2為q軸，形成旋轉的dq坐標。θ為d軸與α軸之間的轉角，轉子逆時針旋轉的角速度ω為

定子A、B和C相繞組的電壓方程為

式中R為定子的相繞組電阻，ψA、ψB和ψC分別為A、B和C相繞組交鏈的磁鏈。

式（2）中不包含三相繞組的位置信息，需附加說明。由于三相繞組在空間對稱分布，若以α軸為實軸、β軸為虛軸構成復數平面，則A、B、C相繞組軸線位置可分別用復數 ej0、ej2π/3、e-j2π/3表示，如圖1所示。

將 ej0、ej2π/3、e-j2π/3分別乘 A、B、C 相繞組方程，得包含繞組位置信息的駐軸電壓方程:

2 電機的矢量電壓方程

2.1 αβ坐標中的矢量電壓方程

將待定常數k乘式（3）的三個等式并相加，得三相永磁同步電機在αβ坐標中的矢量電壓方程

式（4）中的電流矢量i、電壓矢量u和磁鏈矢量ψ分別為:

計算永磁同步電機功率，確定待定常數k。由電壓矢量和電流矢量計算電機輸入功率p的算式為

式中i*為i的共軛矢量，而定子電流有關系

由式（5）、（6）和（7）得

顯然，待定常數k應為

在αβ坐標中，電流矢量i、電壓矢量u和磁鏈矢量ψ可分別表達為

將式（10）的第一式、式（9）和（7）代入式（5）的第一式，得所謂的Clarke變換式

當電機三相對稱運行時，電壓矢量u和磁鏈矢量 ψ 也有式（7）、（11）和（12）的關系成立。

2.2 dq坐標中的矢量電壓方程

dq坐標和αβ坐標的關系如圖1所示，在靜止αβ坐標中的電流矢量i、電壓矢量u和磁鏈矢量ψ，在旋轉dq坐標中變換為電流矢量idq、電壓矢量udq和磁鏈矢量ψdq，變換前后的矢量關系為

在dq坐標中，電流、電壓和磁鏈矢量可表達為將式（14）和（10）的第一式代入式（13）的第一式，得所謂的Park變換式

3 電機的正交兩相模型

3.1 αβ坐標中的正交兩相模型

將式（10）代入式（4），得駐于 αβ 坐標軸的電壓方程

電壓矢量和磁鏈矢量也有如式（15）和（16）所示的變換關系。

將e-jθ乘式（4）兩端，整理得三相永磁同步電機在dq坐標中的矢量電壓方程

式（18）表明，三相永磁同步電機可等效為具有靜止正交α繞組和β繞組的兩相永磁同步電機，如圖2所示。

圖2 正交兩相繞組的永磁同步電機

對稱三相電機與正交兩相電機之間的變換關系，正是式（11）和（12）所示的Clarke變換關系。

3.2 dq坐標中的正交兩相模型

將式（14）代入式（17），得駐于dq坐標軸的電壓方程

式（19）表明，三相永磁同步電機可等效為具有旋轉正交d繞組和q繞組的兩相永磁同步電機，如圖2所示。

旋轉兩相電機與靜止兩相電機之間的變換關系為式（15）和（16）所示的Park變換關系。

由圖2可知，d繞組和q繞組中的磁鏈為

式中ψr為永磁轉子在d繞組中產生的磁鏈，為常量；Ld為d繞組電感，Lq為q繞組電感，均為常量。

將式（20）代入式（19），得旋轉dq兩相繞組永磁同步電機的參數電壓方程

4 電機參數的變換關系

將三相永磁同步電機變換為兩相電機時，由變換前后的電壓方程式（2）和（18）知，兩相繞組電阻等于三相繞組電阻。依據Clarke變換式，推導三相-兩相變換時與磁鏈相關的電機參數變換關系。

設靜止的A相繞組交鏈旋轉的永磁轉子磁場產生的交變磁鏈幅值為ψf，將三相繞組旋轉至A相繞組軸線與d軸重合，旋轉的A相繞組交鏈永磁轉子磁場產生的磁鏈即為常量ψf。旋轉三相繞組與dq兩相繞組之間的變換關系，就是靜止三相繞組與αβ兩繞組之間的變換關系。由式（12）得旋轉三相繞組的A相繞組電流和磁鏈分別為

由于三相電流之和為零，旋轉三相繞組的A相繞組ψA為

式中Lσ為三相繞組的相繞組漏電感，Lmd為三相繞組的相繞組d軸主電感。將式（20）第一式、式（24）和（22）代入式（23）可得

將三相繞組旋轉至A相繞組軸線與q軸重合，用相同的方法可推導得

式中np為永磁同步電機的磁極對數。

電機的轉動方程為

式中J為永磁同步電機驅動系統(tǒng)的轉動慣量，TL為負載轉矩。

6 結論

式中Lmd為三相繞組的相繞組q軸主電感。

5 電機的轉矩表達式

三相永磁同步電機的單元電機（兩極電機）定子繞組產生的電磁轉矩矢量是繞組的磁鏈矢量與電流矢量的叉乘，而永磁轉子產生的電磁轉矩與其大小相等，方向相反。當采用復數表達矢量時，永磁轉子產生的電磁轉矩Te為

用復數矢量表示繞組軸線位置，將該復數矢量與對應繞組方程相乘，獲得包含繞組位置信息的繞組駐軸方程；將三相永磁同步電機的繞組駐軸方程相加，獲得了電機的復數矢量電壓方程；通過分解復數矢量電壓方程至坐標實軸和虛軸，將三相永磁同步電機變換為正交兩相電機；在永磁轉子上設立坐標，再將三相永磁同步電機變換為具有隨轉子旋轉的正交兩相繞組的電機。

用復數矢量運算闡述數學模型推導過程，使推導過程簡練且物理概念清晰，有助于理解及應用永磁同步電機動態(tài)數學模型，具有現實意義。

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The Dynamic Mathematical Model of PMSM Based on Standing-axis Equations

PENGYixu，CHENXiaoyuan
（FacultyofEngineering，Lishui University，Lishui 323000，Zhejiang）

The dynamic matrix mathematical model of the three-phase permanent magnet synchronous motor（PMSM）is complicated and not easily understandable.In this paper，the axis positions of the windings are expressed by the complex vector，and then the standing-axis voltage equations with the position information of the windings is obtained.The voltage equations of the PMSM with complex vector are derived and the dynamic mathematical model of PMSM with the orthogonal two-phase windings rotating with the rotor is established.The conciseness of the model expressed with complex vector can make the dynamic mathematical model of PMSM easily understandable and applicable.

permanent magnet synchronous motor；dynamic mathematical model；complex vector

10.3969/j.issn.2095-3801.2017.05.017

TM351

A

2095-3801（2017）05-0097-05

2017-03-28；

2017-06-14

浙江省高等教育教學改革項目“學為導向教學模式構建的研究與實踐——以‘電力拖動自動控制系統(tǒng)’課程為例”（jg20160188）；浙江省高等教育教學改革項目“現代電源技術綜合實驗平臺研制及實驗內容設計”（jg2015186）；麗水市高層次人才培養(yǎng)資助項目“電動汽車驅動用新型SRM的電磁設計及轉矩控制研究”（2014RC07）

彭亦稰，男，上海人，副教授。