數(shù)學(xué)證明方法“大聚會(huì)”
——以“軸對(duì)稱圖形”為例

眭亞燕

蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱圖形”內(nèi)容呈現(xiàn)的最大特點(diǎn)是——在探索中不斷地進(jìn)行表達(dá)形式多樣化的證明.課本安排了折紙、畫圖、猜想等多種活動(dòng)，為同學(xué)們提供自主探索的空間，引導(dǎo)大家在“做”中感悟軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì)，然后又通過圖形運(yùn)動(dòng)法、綜合法、分析法、反證法、類比法等探索得到一些結(jié)論.現(xiàn)結(jié)合課本中的具體例子一一闡述.

一、圖形運(yùn)動(dòng)法

圖形運(yùn)動(dòng)（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)）既是探索發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的有效手段，也是證明圖形性質(zhì)的一種方法.在本章中，運(yùn)用“圖形運(yùn)動(dòng)”的方法，證明了以下性質(zhì)定理：（1）線段垂直平分線性質(zhì)定理——線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；（2）角平分線性質(zhì)定理——角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（3）等腰三角形性質(zhì)定理——等腰三角形的兩底角相等以及等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線重合.下面僅以“角平分線性質(zhì)定理”的證明加以說明.

例1 （課本第54頁(yè)）在∠AOB的平分線上任意取一點(diǎn)P，分別畫點(diǎn)P到OA和OB的垂線段PC和PD（如圖1）.PC與PD相等嗎？

圖1

圖2

證明略，這里雖然可以運(yùn)用直角三角形全等加以證明，但課本中先運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)——翻折，再利用角的軸對(duì)稱性證明PC=PD（如圖2），目的是引導(dǎo)同學(xué)們不斷感受證明過程中不同的表達(dá)形式，這樣有利于不斷培養(yǎng)同學(xué)們的幾何直觀能力.

練習(xí)1 如圖3，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，P是AD上任意一點(diǎn)，連接BP、CP并延長(zhǎng)，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.你能得出哪些結(jié)論？試用圖形運(yùn)動(dòng)的方法選一個(gè)結(jié)論證明.

圖3

二、綜合法

綜合法是指從已知條件出發(fā)，借助一些性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步邏輯推理，最后得到待證結(jié)論或需求問題，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知?

例2 （課本第55頁(yè)）已知：如圖4，△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P在∠C的平分線上.

圖4

圖5

證明略，輔助線的作法如圖5.綜合法形式簡(jiǎn)捷，條理清晰，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，但往往枝節(jié)叢生，難以一下子達(dá)到目的.在本例的解答中，同學(xué)們?nèi)匀粫?huì)找全等三角形，而不是直接運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和逆定理.所以在解決此題時(shí)同學(xué)們可以充分討論、交流、分析，自己完善、簡(jiǎn)化證明的思路，打破思維定式的束縛，發(fā)展思維的靈活性，使證明方法最優(yōu)化.

練習(xí)2 （課本第57頁(yè)習(xí)題5）已知：如圖6，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E在AD上，求證：EB=EC.

圖6

三、分析法

從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件，這種證明方法叫分析法.它的基本思路是“執(zhí)果索因”，即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.

例3 （課本第56頁(yè)）已知：如圖7，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：AD垂直平分EF.

圖7

證明略.分析法是從“未知”看“需知”，漸漸靠攏“已知”.它敘述冗長(zhǎng)，但常常根底漸近，有希望成功.考慮到逆向的分析思考比順向的綜合思考要求更高，課本在本章第四節(jié)后，安排了關(guān)于生活中“倒過來想”——司馬光砸缸的閱讀材料，有利于同學(xué)們學(xué)會(huì)逆向分析的思考方法.我們?cè)趯?shí)際解題時(shí)，應(yīng)把綜合法和分析法結(jié)合起來運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表達(dá)解題過程，這就達(dá)到了揚(yáng)長(zhǎng)避短、相互協(xié)調(diào)、相得益彰的良好目的.

練習(xí)3 （課本第58頁(yè)習(xí)題10）已知：如圖8，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：BE=CF.

圖8

四、反證法

由于原命題與逆否命題等價(jià)，所以當(dāng)證明原命題有困難或者無法證明時(shí)，可以考慮證明它的逆否命題，通過正確推理，如果逆否命題正確或者假設(shè)原命題不成立，推出與原命題題設(shè)、公理、定理等不相容的結(jié)論，也就證明了原命題的結(jié)論是正確的.這種證明方法叫反證法.

例4（課本第52頁(yè)）線段的垂直平分線外的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等嗎？為什么？

不相等，證明略.牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”一般來講，反證法常用來證明從正面證明有困難、情況多或復(fù)雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，這樣，問題可能解決得十分干脆.

練習(xí)4 已知，如圖9，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D，且PC≠PD.求證：點(diǎn)P不在∠AOB的平分線上.

圖9

五、類比法

類比法也叫“比較類推法”，類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，或者由一類事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法，簡(jiǎn)稱類推、類比.其結(jié)論必須由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)，類比對(duì)象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大.課本在本章后面安排了關(guān)于“等腰梯形”的閱讀材料，作為本章內(nèi)容的延伸和拓展——運(yùn)用與等腰三角形“類比”的方法探索等腰梯形的性質(zhì).

例5 （課本第68頁(yè)“閱讀”，有刪改）如圖10，在等腰三角形紙片ABC上，畫底邊BC的平行線DE，可得到一個(gè)梯形DBCE.由∠B=∠C，DE∥BC，可知∠ADE=∠AED，于是AD=AE.又AB=AC，從而DB=EC.像梯形DBCE，兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.如果把圖10的等腰三角形紙片ABC沿頂角平分線AM折疊，那么AB與AC重合.由于AD=AE，可知點(diǎn)D與點(diǎn)E重合（如圖11），于是MB=MC，ND=NE.由此，你能得出哪些結(jié)論？選一個(gè)結(jié)論證明.

圖10

圖11

解答略.類比法的特點(diǎn)是“先比后推”.“比”是類比的基礎(chǔ)，既要“比”共同點(diǎn)也要“比”不同點(diǎn).對(duì)比對(duì)象之間的共同點(diǎn)是類比法能夠施行的前提條件.

練習(xí)5 （課本第69頁(yè)“閱讀”）如圖12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.求證：梯形ABCD是等腰梯形.

圖12

總之，從本章開始，證明的方法將越來越多樣化.其中性質(zhì)定理的證明多次采用圖形運(yùn)動(dòng)的方法，目的是不斷發(fā)展同學(xué)們對(duì)圖形直觀把握的能力，逐步形成一種審視、處理問題的方式；而例題的解答則較多地采用分析和綜合的方法，目的是讓同學(xué)們明白，在解題中，應(yīng)把分析和綜合兩者有機(jī)地結(jié)合起來，既要注重分析，又要學(xué)會(huì)綜合，還要會(huì)聯(lián)合運(yùn)用這兩種方法進(jìn)行思考和論證，同時(shí)還讓同學(xué)們適時(shí)了解了反證法和類比法，堪稱數(shù)學(xué)證明方法的“大聚會(huì)”.

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)浦河實(shí)驗(yàn)學(xué)校）