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        數(shù)學(xué)證明方法“大聚會(huì)”
        ——以“軸對(duì)稱圖形”為例

        2017-11-01 07:34:58眭亞燕
        初中生世界 2017年38期
        關(guān)鍵詞:方法

        數(shù)學(xué)證明方法“大聚會(huì)”
        ——以“軸對(duì)稱圖形”為例

        眭亞燕

        蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“軸對(duì)稱圖形”內(nèi)容呈現(xiàn)的最大特點(diǎn)是——在探索中不斷地進(jìn)行表達(dá)形式多樣化的證明.課本安排了折紙、畫圖、猜想等多種活動(dòng),為同學(xué)們提供自主探索的空間,引導(dǎo)大家在“做”中感悟軸對(duì)稱圖形的數(shù)學(xué)本質(zhì),然后又通過圖形運(yùn)動(dòng)法、綜合法、分析法、反證法、類比法等探索得到一些結(jié)論.現(xiàn)結(jié)合課本中的具體例子一一闡述.

        一、圖形運(yùn)動(dòng)法

        圖形運(yùn)動(dòng)(平移、翻折、旋轉(zhuǎn))既是探索發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的有效手段,也是證明圖形性質(zhì)的一種方法.在本章中,運(yùn)用“圖形運(yùn)動(dòng)”的方法,證明了以下性質(zhì)定理:(1)線段垂直平分線性質(zhì)定理——線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等;(2)角平分線性質(zhì)定理——角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等;(3)等腰三角形性質(zhì)定理——等腰三角形的兩底角相等以及等腰三角形底邊上的高、中線、頂角平分線重合.下面僅以“角平分線性質(zhì)定理”的證明加以說明.

        例1 (課本第54頁(yè))在∠AOB的平分線上任意取一點(diǎn)P,分別畫點(diǎn)P到OA和OB的垂線段PC和PD(如圖1).PC與PD相等嗎?

        圖1

        圖2

        證明略,這里雖然可以運(yùn)用直角三角形全等加以證明,但課本中先運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)——翻折,再利用角的軸對(duì)稱性證明PC=PD(如圖2),目的是引導(dǎo)同學(xué)們不斷感受證明過程中不同的表達(dá)形式,這樣有利于不斷培養(yǎng)同學(xué)們的幾何直觀能力.

        練習(xí)1 如圖3,AD是等腰三角形ABC的頂角平分線,P是AD上任意一點(diǎn),連接BP、CP并延長(zhǎng),分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.你能得出哪些結(jié)論?試用圖形運(yùn)動(dòng)的方法選一個(gè)結(jié)論證明.

        圖3

        二、綜合法

        綜合法是指從已知條件出發(fā),借助一些性質(zhì)和有關(guān)定理,經(jīng)過逐步邏輯推理,最后得到待證結(jié)論或需求問題,其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?,即從“已知”看“可知”,逐步推向“未知?

        例2 (課本第55頁(yè))已知:如圖4,△ABC的角平分線AD、BE相交于點(diǎn)P.求證:點(diǎn)P在∠C的平分線上.

        圖4

        圖5

        證明略,輔助線的作法如圖5.綜合法形式簡(jiǎn)捷,條理清晰,邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn),但往往枝節(jié)叢生,難以一下子達(dá)到目的.在本例的解答中,同學(xué)們?nèi)匀粫?huì)找全等三角形,而不是直接運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理和逆定理.所以在解決此題時(shí)同學(xué)們可以充分討論、交流、分析,自己完善、簡(jiǎn)化證明的思路,打破思維定式的束縛,發(fā)展思維的靈活性,使證明方法最優(yōu)化.

        練習(xí)2 (課本第57頁(yè)習(xí)題5)已知:如圖6,AB=AC,DB=DC,點(diǎn)E在AD上,求證:EB=EC.

        圖6

        三、分析法

        從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件,這種證明方法叫分析法.它的基本思路是“執(zhí)果索因”,即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.

        例3 (課本第56頁(yè))已知:如圖7,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.求證:AD垂直平分EF.

        圖7

        證明略.分析法是從“未知”看“需知”,漸漸靠攏“已知”.它敘述冗長(zhǎng),但常常根底漸近,有希望成功.考慮到逆向的分析思考比順向的綜合思考要求更高,課本在本章第四節(jié)后,安排了關(guān)于生活中“倒過來想”——司馬光砸缸的閱讀材料,有利于同學(xué)們學(xué)會(huì)逆向分析的思考方法.我們?cè)趯?shí)際解題時(shí),應(yīng)把綜合法和分析法結(jié)合起來運(yùn)用,先用分析法尋求解題思路,再用綜合法有條理地表達(dá)解題過程,這就達(dá)到了揚(yáng)長(zhǎng)避短、相互協(xié)調(diào)、相得益彰的良好目的.

        練習(xí)3 (課本第58頁(yè)習(xí)題10)已知:如圖8,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.求證:BE=CF.

        圖8

        四、反證法

        由于原命題與逆否命題等價(jià),所以當(dāng)證明原命題有困難或者無法證明時(shí),可以考慮證明它的逆否命題,通過正確推理,如果逆否命題正確或者假設(shè)原命題不成立,推出與原命題題設(shè)、公理、定理等不相容的結(jié)論,也就證明了原命題的結(jié)論是正確的.這種證明方法叫反證法.

        例4(課本第52頁(yè))線段的垂直平分線外的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等嗎?為什么?

        不相等,證明略.牛頓曾經(jīng)說過:“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”一般來講,反證法常用來證明從正面證明有困難、情況多或復(fù)雜,而命題的否定則比較淺顯的題目,這樣,問題可能解決得十分干脆.

        練習(xí)4 已知,如圖9,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi),PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別為C、D,且PC≠PD.求證:點(diǎn)P不在∠AOB的平分線上.

        圖9

        五、類比法

        類比法也叫“比較類推法”,類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同,從而推出它們的其他屬性也相同的推理,或者由一類事物所具有的某種屬性,可以推測(cè)與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的推理方法,簡(jiǎn)稱類推、類比.其結(jié)論必須由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn),類比對(duì)象間共有的屬性越多,則類比結(jié)論的可靠性越大.課本在本章后面安排了關(guān)于“等腰梯形”的閱讀材料,作為本章內(nèi)容的延伸和拓展——運(yùn)用與等腰三角形“類比”的方法探索等腰梯形的性質(zhì).

        例5 (課本第68頁(yè)“閱讀”,有刪改)如圖10,在等腰三角形紙片ABC上,畫底邊BC的平行線DE,可得到一個(gè)梯形DBCE.由∠B=∠C,DE∥BC,可知∠ADE=∠AED,于是AD=AE.又AB=AC,從而DB=EC.像梯形DBCE,兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.如果把圖10的等腰三角形紙片ABC沿頂角平分線AM折疊,那么AB與AC重合.由于AD=AE,可知點(diǎn)D與點(diǎn)E重合(如圖11),于是MB=MC,ND=NE.由此,你能得出哪些結(jié)論?選一個(gè)結(jié)論證明.

        圖10

        圖11

        解答略.類比法的特點(diǎn)是“先比后推”.“比”是類比的基礎(chǔ),既要“比”共同點(diǎn)也要“比”不同點(diǎn).對(duì)比對(duì)象之間的共同點(diǎn)是類比法能夠施行的前提條件.

        練習(xí)5 (課本第69頁(yè)“閱讀”)如圖12,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.求證:梯形ABCD是等腰梯形.

        圖12

        總之,從本章開始,證明的方法將越來越多樣化.其中性質(zhì)定理的證明多次采用圖形運(yùn)動(dòng)的方法,目的是不斷發(fā)展同學(xué)們對(duì)圖形直觀把握的能力,逐步形成一種審視、處理問題的方式;而例題的解答則較多地采用分析和綜合的方法,目的是讓同學(xué)們明白,在解題中,應(yīng)把分析和綜合兩者有機(jī)地結(jié)合起來,既要注重分析,又要學(xué)會(huì)綜合,還要會(huì)聯(lián)合運(yùn)用這兩種方法進(jìn)行思考和論證,同時(shí)還讓同學(xué)們適時(shí)了解了反證法和類比法,堪稱數(shù)學(xué)證明方法的“大聚會(huì)”.

        (作者單位:江蘇省常州市新北區(qū)浦河實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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