南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部九（11）班 江博熠

這個(gè)三角形是等腰直角三角形嗎？

南京市金陵中學(xué)仙林分校中學(xué)部九（11）班 江博熠

在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形的時(shí)候，老師跟我們講了如何在一個(gè)等腰直角三角形內(nèi)構(gòu)造一個(gè)新的等腰直角三角形，我聽完很感興趣.于是我也構(gòu)思了一個(gè)等腰三角形問題，但卻無(wú)法證明，莫非我構(gòu)思的新三角形不是等腰直角的？我靜下心來(lái)，想到老師曾說(shuō)過(guò)，要證明結(jié)論不成立，正面證明比較困難，往往要用到反證法.所以我決定嘗試一下.

首先，我把問題又重新梳理了一遍：

如圖1，在直角△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，且P為CD中點(diǎn).EP∥AC，作PE的垂直平分線QO.那么△EQP是等腰直角三角形嗎？如果是，請(qǐng)證明.

圖1

第一步：證明△EQP是等腰三角形.∵QO垂直平分EP，∴QE＝QP.

第二步：過(guò)點(diǎn)O作BC平行線FG交兩直角邊于F、G（如圖2），由于EP//AC，易證△EFO、△QOG、△AFG均為等腰直角三角形.

第三步：如圖2.

圖2

①設(shè)AD與FG交于Y點(diǎn)，假如△PQE為等腰直角三角形，那么∠QEO=45°，又因?yàn)?QO⊥PE，∴∠EQO=45°,∴∠OEQ=∠OQE=45°，OQ=OE.

②由于∠AEF 為平角，可知：∠AEQ=45°，∵∠BAC=90°，∴∠AQE=45°，所以∠AEQ=∠AQE=45°,因此AE=AQ.

③根據(jù)全等的證明容易知道，△EFO、△QOG、△AEQ、△OEQ都是等腰直角三角形且彼此全等.∴FO=GO,也就是說(shuō)點(diǎn)O和點(diǎn)Y重合.

第四步：由于Y點(diǎn)與O點(diǎn)重合（如圖3），所以△OPD為等腰直角三角形.因?yàn)辄c(diǎn)P為CD中點(diǎn)，設(shè)PC=DP=1；由于 PE//AC，∴∠OPD=∠C=45°；易知△ACD、△ODP均為等腰直角三角形，所以AD=CD=2，OD=AO=1.

第五步：如圖3，在△AEO中，EO＜AO，∴EO＜1.同時(shí)在△ODP中，OP＞OD，∴OP＞1.

圖3

所以O(shè)P＞1＞OE，因此點(diǎn)O不是線段PE的中點(diǎn)，和問題的條件矛盾.

教師點(diǎn)評(píng)：江博熠同學(xué)構(gòu)思了如圖的一個(gè)等腰△EQP，但是△EQP是不是直角的呢？他經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考沒證明出來(lái)，于是他改變主意：莫非△EQP不是等腰直角三角形吧！要證明結(jié)論不成立，正面證明比較困難，我們往往要用到反證法，江同學(xué)的這個(gè)思路我們要學(xué)習(xí).江博熠同學(xué)剛開始思考的時(shí)候有不少漏洞，但他能靜下心來(lái)，把條件梳理清楚，用理性的思考解決了問題.他的經(jīng)歷也告訴我們：思想和方法往往不是一蹴而就的，而是在深思熟慮之后才能夠逐步產(chǎn)生.

（指導(dǎo)教師：郝四柱）