伍 暉 顏 青

江西省南昌市心遠(yuǎn)中學(xué) (330000)

一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的多視角解法探究

伍 暉 顏 青

江西省南昌市心遠(yuǎn)中學(xué) (330000)

圖1

近日一道競(jìng)賽題由于其新穎別致、解法多樣，引起了筆者的注意，題目是這樣的：

題目如圖1，在△ABC中，CB=a，CA=b，∠ACB=θ(a≥bcosθ)，AD=BD，且∠ACB+∠ADB=180°，求CD的長(zhǎng)度．

這是一道關(guān)于長(zhǎng)度的競(jìng)賽題，條件簡(jiǎn)潔明了，形式優(yōu)美，設(shè)計(jì)新穎，入口較寬，從不同的角度可以得到多種解法，能夠較好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

視角1：四點(diǎn)共圓

通過(guò)分析題意，發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓，然后利用圓的性質(zhì)，比如相交弦定理、切割線定理、托勒密定理等來(lái)解決問(wèn)題．

1．1 利用托勒密定理

圖2

評(píng)注：這里是通過(guò)發(fā)現(xiàn)A、C、B、D四點(diǎn)共圓，利用托勒密定理列出方程從而求得線段CD的長(zhǎng)度．

1．2利用角平分線定理

評(píng)注：這里在發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)上利用角平分線定理，非常簡(jiǎn)潔地列出了等量關(guān)系．

視角2：構(gòu)造補(bǔ)形

2．1 構(gòu)造等腰三角形

圖3

2．2 構(gòu)造全等三角形

圖4

評(píng)注：由三角形組成的平面幾何問(wèn)題，往往可以考慮作全等三角形，比如這里可以考慮把△CDA變換到△B1DB位置．

圖5

2．3 利用角平分線截長(zhǎng)補(bǔ)短

視角3：解三角形

3．1 利用正、余弦定理

利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化來(lái)計(jì)算線段的長(zhǎng)度，雖然運(yùn)算較繁，但可省去添輔助線的麻煩．

圖6

3．2 利用面積法

評(píng)注：此處利用面積的兩種不同表示列出等量關(guān)系，從而求出線段CD的長(zhǎng)度，簡(jiǎn)潔明了．

視覺(jué)4：坐標(biāo)解析式法

解法8：如圖7，以△ABC的外心為原點(diǎn)，且x軸平行于邊AB，建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則有

圖7

因?yàn)椤螦DB+∠ACB=180°，所以點(diǎn)D在外接圓上，

則D(0,-R)，C(Rcosα,Rsinα)，A(Rsinθ,-Rcosθ)，B(-Rsinθ,-Rcosθ)．由距離公式得

a2=(Rcosα+Rsinθ)2+

(Rsinα+Rcosθ)2，b2=

(Rcosα-Rsinθ)2+(Rsinα+Rcosθ)2，兩式相加得a2+b2=4R2(1+sinαcosθ)．

視覺(jué)5：利用向量

圖8

解決平面幾何問(wèn)題無(wú)外乎從幾何法和代數(shù)法兩大角度去思考，幾何法需要添加輔助線，構(gòu)造轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的幾何問(wèn)題去解決，思維量大，但運(yùn)算較為簡(jiǎn)單；代數(shù)法需要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用點(diǎn)或者向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決，回避了作輔助線的麻煩，但運(yùn)算量較大．這道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解法很多，真是“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，從不同視角來(lái)探究，各顯神通．

[1]張亞?wèn)|.一道上海市初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的多視覺(jué)解法探究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)．2016(11)；17-19．

[2]張國(guó)治,馬禎，白祥明.例談單位向量的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)．2011(6)；32-35．

[3]薛金星.怎樣解題(初中數(shù)學(xué))[M]．北京：北京知識(shí)出版社，2007．