趙報川，楊濤，張進

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基于改進統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息的空間多種聲源聲場重建

趙報川1,2，楊濤1,2，張進3

(1. 西南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，四川綿陽 621010；2. 西南科技大學(xué)特殊環(huán)境機器人技術(shù)四川省重點實驗室，四川綿陽 621010；3. 國網(wǎng)重慶市電力公司電力科學(xué)研究院，重慶 401123)

為獲取空間多種聲源聲場信息，傳統(tǒng)統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息需要較多高階項數(shù)的波函數(shù)來重建聲場，而隨著波函數(shù)階數(shù)的提高，該方法對誤差的放大作用也越大；此外傳統(tǒng)方法都采用與聲源共形的全息測量面，限制了其應(yīng)用范圍。提出了一種基于平面測量的改進統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息方法，可在波函數(shù)階數(shù)較低的情況下提高重建精度。首先通過分析空間多種聲源的特點選取合適的波函數(shù)組合，然后用該組合求出聲場傳遞矩陣，最后重建出目標聲源聲場。通過數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性和適用性。結(jié)果表明：該方法能夠有效地降低重建所需波函數(shù)階數(shù)，抑制高階波數(shù)對誤差的放大作用從而提高重建精度，即使全息面與聲源不共形，也能準確地重建出目標聲源聲場。

統(tǒng)計最優(yōu)；近場聲全息；波函數(shù)

0 引言

噪聲源的準確識別是進行噪聲控制的首要條件，而近場聲全息技術(shù)(Near-field Acoustical Holography，NAH)是聲源識別的重要技術(shù)之一。通過在近場測量復(fù)聲壓數(shù)據(jù)，不僅可以重建出聲源表面的聲壓、振速、聲強等聲學(xué)量，也可以對空間聲場中任意點處的聲學(xué)量進行重建與預(yù)測。由于是在近場測量，獲取了隨傳播距離呈指數(shù)規(guī)律衰減的倏逝波成分，因而重建和預(yù)測的分辨率很高。經(jīng)過30多年的發(fā)展，已經(jīng)由最初的基于空間傅里葉變換的NAH技術(shù)[1]，發(fā)展到邊界元法[2]、等效源法[3]和統(tǒng)計最優(yōu)NAH[4]等多種算法，且在實際應(yīng)用中的范圍也越來越廣。

統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息(Statistically Optimized Near-Field Acoustical Holography，SONAH)作為一種典型的局部近場聲全息算法，直接通過空間域中全息面上測量聲壓的線性疊加來計算重建面上的聲學(xué)量。其疊加系數(shù)矩陣可由單元波函數(shù)在全息面與重建面之間的映射關(guān)系得到，常用的單元波函數(shù)主要有平面波函數(shù)、柱面波函數(shù)和球面波函數(shù)等，相應(yīng)地發(fā)展出統(tǒng)計最優(yōu)平面、柱面和球面近場聲全息等技術(shù)[4-6]。在此基礎(chǔ)上，經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的研究，該方法也已從單一的利用聲壓信息擴展到利用振速信息進行聲場重建[5,7]，由自由空間聲場重建拓展到非自由空間聲場的重建等[8-9]，這些新進展都大大拓展了該算法的應(yīng)用范圍。此外，由于在重建過程中不存在卷積運算，因而從根本上消除了基于空間傅里葉變換SONAH中所固有的窗效應(yīng)和卷繞誤差等問題[10-11]。

雖然該方法受到眾多學(xué)者的關(guān)注，但無論在算法理論上還是實際應(yīng)用中，都還局限于利用單一類型的單元波函數(shù)來研究重建空間聲場。如Yong Thung Cho[12]等人將平面SONAH擴展到柱面SONAH，用比平面SONAH更少的測量點數(shù)重建出制冷壓縮機這種柱形聲源的輻射聲場；張永斌[13]等人提出了一種單元平面波優(yōu)化選擇方法，提高了SONAH的計算速度和重建精度；楊洋[14]等人詳細分析了陣列形式及陣元失效對統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息重建結(jié)果的影響。但如果空間中存在多個不同類型的聲源，如多個聲源同時產(chǎn)生了平面波和柱面波，這時若只采用單元平面波來重建空間聲場，則需要更高階數(shù)的單元平面波才能得到理想的重建精度。但隨著階數(shù)的提高，測量點數(shù)增多，計算量也隨之增大。另外，由于高階波數(shù)矢量對誤差的放大作用，過高的階數(shù)甚至?xí)怪亟ㄊ?，因此如何有效降階是SONAH中的一大難點。此外，全息測量面大都選擇與聲源共形，即若采用統(tǒng)計最優(yōu)柱面近場聲全息，則全息面也設(shè)計為柱面，若為球面，則全息面也為球面。上述局限性限制了SONAH的應(yīng)用范圍。

針對以上情況，本文提出了一種基于平面測量的適用于多聲源統(tǒng)計的改進SONAH算法，其基本思想為：首先，根據(jù)聲源類型來選擇波函數(shù)組合，然后以這些波函數(shù)組合在全息面與重建面之間的映射關(guān)系計算出SONAH中的傳遞矩陣，最后再利用全息平面上測量的復(fù)聲壓來重建或預(yù)測空間聲場中的聲壓、振速等聲學(xué)量。數(shù)值仿真結(jié)果表明該方法可有效降低所需波函數(shù)的階數(shù)，且具有重建精度高、計算量小等優(yōu)點。

1 SONAH基本原理

根據(jù)波場疊加原理可知：重建面上任意點處波數(shù)矢量為的單元波函數(shù)，可由在全息面上所有點處波數(shù)矢量同為的單元波函數(shù)疊加得到[10]，即：

式中，

式(4)的標準Tikhonov正則化解為[10]

2 改進SONAH原理

理論上講，對于一組滿足聲波場Helmholtz方程且具有完備性的波函數(shù)集合來說，可以用這一組波函數(shù)的線性組合來逼近任意聲場。例如，只要選取的波函數(shù)項數(shù)足夠多，就可利用單元平面波的線性疊加來逼近一脈動球源產(chǎn)生的聲場。但在實際實現(xiàn)中，由于受全息面上測量點數(shù)和數(shù)值計算等方面的限制，只能從這一完備的波函數(shù)集合中選取項數(shù)有限的子集來逼近實際聲場。通常情況下，若選取的波函數(shù)集與聲源共形，則可用更少的波函數(shù)項數(shù)來精確逼近聲場，同時降低了計算量，提高了計算效率。這也是采用單元平面波來計算平面聲源，采用單元球面波來計算緊致聲源產(chǎn)生聲場的原因?；谝陨纤枷?，提出了一種改進SONAH重建空間中存在多種不同類型聲源時聲場的重建方法。

設(shè)共有個波函數(shù)集，全息面和重建面處有個單元波函數(shù)數(shù)目，此時，波函數(shù)類型及單元波函數(shù)數(shù)目可以不相同，則在全息面上個測量點處的每個單元波函數(shù)為

同理，重建面上的單元波函數(shù)為

將這個單元波函數(shù)矢量矩陣垂直串接，可得到這組波函數(shù)集的矩陣，分別簡寫為以下形式:

改進算法的重建公式雖然與常規(guī)算法的重建公式形式一樣，但存在著本質(zhì)的不同。主要為改進算法中的聲場傳遞矩陣是由不同的單元波函數(shù)組合來進行求解，而常規(guī)算法僅由單一的單元波函數(shù)進行求解。

常見的波函數(shù)主要有平面、柱面、球面以及橢球面波函數(shù)等。不失一般性，本文選用前三種波函數(shù)作為研究對象。通過根據(jù)聲源的形狀與個數(shù)來選取所需要的波函數(shù)組合，然后使用這些波函數(shù)組合可用較低的階數(shù)計算出SONAH的傳遞矩陣，進而重建出聲場。本文所涉及的三種單元波函數(shù)定義如下。

在笛卡爾坐標系下，單元平面波定義為

其中，

在柱坐標系下單元柱面波定義為

在球坐標系下單元球面波定義為

3 仿真驗證

下面將通過兩組數(shù)值仿真實驗來驗證該方法的有效性。其中，全息面位于=0.25 m處，測量間距為0.05 m，測量點數(shù)為21′21。重建面位于=0.15 m，大小及測量點數(shù)與全息面相同。

以下列出的是要用到的波函數(shù)集以及笛卡爾坐標系與各坐標系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

平面波函數(shù)：

柱面波函數(shù)1：

柱面波函數(shù)2：

球面波函數(shù)：

3.1 仿真1

如圖1所示，目標聲源為兩列線陣聲源，線陣聲源1的坐標為(,)=(0, 0.25)，線陣聲源2的坐標為(,)=(0,-0.25)，這兩個線陣聲源分別由51個點源構(gòu)成，且在=-0.25 m至0.25 m之間等間距分布。

為了更好地模擬柱狀聲源的實際聲場，對兩線陣聲源產(chǎn)生的聲場加一權(quán)重系數(shù)，定義為

其中，=0.5。兩線陣聲源產(chǎn)生的聲場為各點源產(chǎn)生的聲場的疊加，每個點源的振動頻率=1 000 Hz，振動速度為1 m/s，聲速為343 m/s，空氣密度=1.21 kg/m3。在仿真過程中加入了45 dB的隨機噪聲。

圖1 仿真1中的聲源配置

Fig.1 Sound source configurations in the first simulation

分別使用統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息(Statistically Optimized Planar Nearfield Acoustical Holography，SOPNAH)和統(tǒng)計最優(yōu)柱面近場聲全息(Statistically Optimized Cylindrical Nearfield Acoustical Holography，SOCNAH)以及本文所述的改進SONAH進行重建。

其中，SOPNAH使用上文中的平面波函數(shù)進行聲場重建，即：

SOCNAH使用前述中的柱面波函數(shù)1進行聲場重建，即：

而改進SONAH使用前述的柱面波函數(shù)1 和柱面波函數(shù)2組合進行聲場重建，即：

將式(15)、(16)、(17)分別代入式(11)即可求出聲壓的傳遞系數(shù)矩陣，進而利用式(12)即可求得重建面上的聲壓。圖2給出了采用不同方法時的重建結(jié)果。

圖2(a)是重建面上的理論值，圖2(b)是采用傳統(tǒng)的SOPNAH的重建結(jié)果，圖2(c)是SOCNAH的重建結(jié)果，圖2(d)是使用本文所述改進SONAH的重建結(jié)果。

由圖2(c)可看出，只使用柱面波函數(shù)1的SOCNAH方法的重建結(jié)果遠遠大于理論值，重建面的聲壓分布完全淹沒在了重建誤差之中，這是因為所選的波函數(shù)集有限以及重建誤差的影響使之無法有效地重建出目標聲源聲場。而采用SOPNAH和改進SONAH都能較為準確地重建出目標聲源的聲場，但改進的SONAH對理論值跟隨性更好，重建精度也要優(yōu)于SOPNAH。其中，SOPNAH的總體重建誤差為15.27%，而改進SONAH法的總體重建誤差只有3.45%。為了能更清楚地顯示重建結(jié)果與理論值的偏差，圖3僅顯示出了沿=0處重建面上的理論聲壓幅值、SOPNAH以及使用本文所述的改進SONAH重建聲壓幅值。由圖3可以看出，在三個聲壓峰值處，基于SOPNAH的重建結(jié)果要小于理論值和改進SONAH的重建值。

(a) 重建面理論值

(b) SOPNAH重建值

(c) SOCNAH重建值

(d) 改進SONAH重建值

圖2 重建面理論值及不同方法的重建值(仿真1)

Fig.2 Theoretical values and reconstructed results of SOPNAH, SOCNAH and improved SONAH for Simulation 1

圖3 SOPNAH和改進SONAH重建結(jié)果與理論值的比較(仿真1)

由SONAH的基本理論可知[10]，重建誤差隨著波數(shù)的增大而增大，因而在重建過程中需使用正則化來抑制高波數(shù)成分帶來的重建誤差，這就導(dǎo)致了部分高波數(shù)成分信息的丟失，從而使重建結(jié)果比實際值偏小。而改進SONAH較為有效地避免了該問題，這是因為改進SONAH選取的波函數(shù)與聲源共形，用較低階數(shù)的波函數(shù)就能精確地反映出目標聲源產(chǎn)生的聲場，這也是改進SONAH的一大優(yōu)勢。

3.2 仿真2

為驗證本方法的適用性，在仿真1所述目標聲源基礎(chǔ)上再添加一脈動球聲源，聲源配置如圖4所示。其中，脈動球源的半徑為0.08 m，球心位于(,,)=(0, 0,-0.3)處，振動頻率為1 000 Hz，全息面與重建面同仿真1。分別使用SOPNAH和兩種改進SONAH重建目標聲源的聲場，重建過程中同樣加入了45 dB的隨機噪聲。

圖4 仿真2中的聲源配置

第一種改進SONAH選用的波函數(shù)與仿真1中式(20)的相同，即只使用單元柱面波函數(shù)組合的改進SONAH (組合1 SONAH)；而第二種組合使用單元柱面波函數(shù)1、2和單元球面波函數(shù)進行重建(組合2 SONAH)?？傻?/p>

進而求出重建面上的聲壓，重建結(jié)果如圖5所示。

(a) 重建面理論值

(b) SOPNAH重建值

(c) 組合1改進SONAH重建值

(d) 組合2改進SONAH重建值

圖5中，SOPNAH的總體重建誤差為19.22%，組合1 SONAH的總體重建誤差為14.62%，而使用柱面波函數(shù)與球面波函數(shù)組合的組合2 SONAH的總體重建誤差為11.81%。不難看出，采用傳統(tǒng)SOPNAH的重建效果比兩種改進SONAH的重建結(jié)果都要差。圖6則更為清晰地顯示出各重建值與理論值之間沿=0時的聲壓幅值。由以上分析可知，根據(jù)目標聲源的特點，合理選擇波函數(shù)組合能更為有效且更為準確地重建出目標聲場。

圖6 SOPNAH和改進SONAH重建結(jié)果與理論值的比較(仿真2)

4 結(jié)論

為了能夠有效地重建出空間中含有多種聲源的聲場，在傳統(tǒng)的SONAH方法的基礎(chǔ)上，提出了一種改進SONAH方法。首先，根據(jù)聲源的特點，選取能夠匹配聲源形狀和數(shù)量的波函數(shù)。之后，同傳統(tǒng)的SONAH計算方法和步驟一樣，利用選取的波函數(shù)組合計算聲場傳遞矩陣，最終重建出目標聲源的聲場。該方法能夠有效地降低重建過程中所需的波函數(shù)階數(shù)，從而減少了計算量，且重建精度高。數(shù)值仿真結(jié)果證明了該方法的有效性和適用性。此外，由于傳統(tǒng)的SONAH方法只使用一種波函數(shù)，全息面測量面也都選擇與聲源共形，而本文所提方法中選取的波函數(shù)可能既有柱面波函數(shù)也有球面波等多種不同類型，全息面要做到與聲源共形難度很大，因而本文所用全息面均設(shè)為平面，仿真結(jié)果也證明了即使全息面與聲源不共形，該方法也能準確地重建出目標聲源的聲場。本文所提方法需要具有目標聲源特點的先驗知識，以此來指導(dǎo)波函數(shù)的選取，但對于未知的目標聲源，則可結(jié)合波束形成法等其它聲源識別方法來指導(dǎo)配置。

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Sound field reconstruction of multi-types of spatially sources by improved statistically optimized near-field acoustical holography

ZHAO Bao-chuan1,2, YANG Tao1,2, ZHANG Jin3

(1. Southwest University of Science and Technology, Mianyang 621010, Sichuan, China; 2. Southwest University of Science and Technology, Robot Technology Used for Special Environment Key Laboratory of Sichuan Province, Mianyang 621010, Sichuan, China;3. State Grid Chongqing Electric Power Research Institute, Chongqing 401123, China)

To reconstruct the sound field generated by multi-types spatially sound sources, the conventional statistically optimized near-field acoustical holography (SONAH) needs high-order terms to represent the sound field, and the high-order terms are more susceptible to noise contamination. Furthermore, the conventional SONAH is usually required to be conformal with the shape of sound source, and the hologram measurement surface of this technique is usually planar. This paper presents an improved SONAH which can reconstruct the sound field accurately in low-order terms. Firstly, a set of wave functions are selected depending on the features of spatial sound sources. Then, the transfer function matrix is calculated by using the wave function set to reconstruct the sound field. Numerical simulations are used to demonstrate the validity and applicability of this approach. The results show that the number of wave function orders can be reduced and thus the errors caused by high-order terms can be restrained to obtain more accurate results than that by using the conventional SONAH method. The proposed technique can be used to reconstruct the sound field accurately even when the hologram measurement surface is not conformal with the sound source.

statistical optimization; near-field acoustical holography; wave function

TB535

A

1000-3630(2017)-03-0203-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.03.002

2016-06-15;

2016-10-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(F011102)、特殊環(huán)境機器人技術(shù)四川省重點實驗室開放基金(13zxtk06)

趙報川(1989－), 男, 河北邯鄲人, 碩士研究生, 研究方向為聲學(xué)信號處理。

楊濤, E-mail: yangtao@swust.edu.cn