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        關(guān)于二維非對心碰撞角度的關(guān)系式推導

        2017-10-24 03:26:26
        物理教師 2017年9期
        關(guān)鍵詞:方向質(zhì)量

        李 燕

        (四川雅安職業(yè)技術(shù)學院,四川 雅安 625000)

        關(guān)于二維非對心碰撞角度的關(guān)系式推導

        李 燕

        (四川雅安職業(yè)技術(shù)學院,四川 雅安 625000)

        本文推導并討論了表面光滑的非對心碰撞的角度問題,補充了教材關(guān)于碰撞問題這部分知識.

        碰撞;非對心碰撞;恢復系數(shù)e

        碰撞在日常生活及生產(chǎn)中隨處可見,在研究微觀分子或原子的運動時也會遇到碰撞問題.碰撞有兩個明顯的特點:一是碰撞物體間發(fā)生碰撞的時間極短,所以可只考慮碰撞物體間的沖力,而不考慮非沖力以外的力對物體的影響.二是雖然碰撞時間極短,但碰撞前后物體運動狀態(tài)的改變卻非常明顯.正因有以上特點所以可方便我們應用守恒定律來研究碰撞問題,并且我們常常把碰撞物體模型化為球體.一般碰撞分為球的對心碰撞和球的非對心碰撞,如果兩個小球碰撞前后它們的速度矢量都是沿著兩球心的連線,則這樣的碰撞就叫做“球的對心碰撞”或叫做“球的正碰”;如果兩個小球碰撞前的速度矢量沒有沿著兩球心的連線,則這樣的碰撞就叫做“球的非對心碰撞”或叫做“球的斜碰”.大多數(shù)物理教材在編寫碰撞這部分內(nèi)容時,一般只討論了碰撞的速度變化和能量問題,沒有強調(diào)關(guān)于非對心碰撞的角度問題.筆者在本文中推導并討論了表面光滑的非對心碰撞的角度問題.

        1 二維非對心碰撞角度的關(guān)系式推導

        兩小球碰撞前后速度矢量若在同一平面內(nèi),稱為二維碰撞;碰撞前后速度矢量不在同一平面內(nèi),則稱為三維碰撞.本文討論二維碰撞.如圖1所示質(zhì)量為m1、初速度為v10的光滑小球和質(zhì)量為m2、初速度為v20的光滑小球發(fā)生二維碰撞,碰撞后其速度分別為v1和v2(如圖2所示),兩球碰撞的恢復系數(shù)為e.為研究方便,可在兩小球的速度矢量平面內(nèi)建立直角坐標系O-xy,設(shè)兩小球碰撞接觸面的公切線方向為x軸,y軸沿碰撞時的聯(lián)心線,如圖2所示.

        把兩球看作一質(zhì)點組,因外力矢量和為零,故動量守恒.根據(jù)動量守恒定律,在y軸方向上有

        m1v10y+m2v20y=m1v1y+m2v2y.

        (1)

        碰撞時,因球面光滑,故兩小球沿公切線方向即x軸方向不受力,所以碰撞前后兩小球沿x軸方向的速度分量不變,有

        圖1 小球碰撞前

        v10x=v1x,v20x=v2x.

        (2)

        由恢復系數(shù)e的定義知對于材料一定的球,碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比,故有

        (3)

        如圖1和圖2所示,若v10、v20與x軸的夾角分別是α1和α2;v1、v2與x軸的夾角分別是β1和β2,由(1)式得

        m1v10sinα1+m2v20sinα2=m1v1sinβ1+

        m2v2sinβ2.

        (4)

        由(2)式得

        v10cosα1=v1cosβ1,v20cosα2=v2cosβ2.

        (5)

        由(3)式得

        (6)

        解以上(4)~(6) 3個方程,分別消去v1和v2得

        (7)

        (8)

        由(7)、(8)式消去v10、v20可得

        (9)

        簡化(9)式得

        (10)

        式(10)為二維非對心碰撞的角度的一般關(guān)系式.

        2 關(guān)于二維非對心碰撞角度關(guān)系式的討論

        (1) 若兩小球質(zhì)量m1=m2,且它們初始狀態(tài)都是運動的,當它們發(fā)生完全彈性非對心碰撞時(恢復系數(shù)e=1),式(10)簡化為

        將上式兩邊交叉相乘進一步簡化得

        tanα1tanα2=tanβ1tanβ2.

        (11)

        (2) 若兩小球質(zhì)量m1?m2,當恢復系數(shù)e=1時,可看作小球從傾斜方向與半徑無窮大的球即光滑平面相碰撞,可把質(zhì)量為m2的小球看作保持靜止.由(10)式可得

        etanα1=tanβ1.

        (12)

        分析:因為e=1,所以有α1=β1,即m1在m2的表面上作等角反射,如圖3所示.

        圖3 圖4

        (3) 若兩小球質(zhì)量m1?m2,當恢復系數(shù)0β1,如圖4所示.即當兩小球發(fā)生非完全彈性碰撞時,m1碰撞后速率減小了,出現(xiàn)了機械能的損失.

        1 漆安慎,杜嬋英.力學[M].北京:高等教育出版社,1998.

        2 賈書惠, 李萬瓊. 理論力學[M].北京:高等教育出版社,2002.

        2017-03-30)

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