李 燕
(四川雅安職業(yè)技術(shù)學院,四川 雅安 625000)
關(guān)于二維非對心碰撞角度的關(guān)系式推導
李 燕
(四川雅安職業(yè)技術(shù)學院,四川 雅安 625000)
本文推導并討論了表面光滑的非對心碰撞的角度問題,補充了教材關(guān)于碰撞問題這部分知識.
碰撞;非對心碰撞;恢復系數(shù)e
碰撞在日常生活及生產(chǎn)中隨處可見,在研究微觀分子或原子的運動時也會遇到碰撞問題.碰撞有兩個明顯的特點:一是碰撞物體間發(fā)生碰撞的時間極短,所以可只考慮碰撞物體間的沖力,而不考慮非沖力以外的力對物體的影響.二是雖然碰撞時間極短,但碰撞前后物體運動狀態(tài)的改變卻非常明顯.正因有以上特點所以可方便我們應用守恒定律來研究碰撞問題,并且我們常常把碰撞物體模型化為球體.一般碰撞分為球的對心碰撞和球的非對心碰撞,如果兩個小球碰撞前后它們的速度矢量都是沿著兩球心的連線,則這樣的碰撞就叫做“球的對心碰撞”或叫做“球的正碰”;如果兩個小球碰撞前的速度矢量沒有沿著兩球心的連線,則這樣的碰撞就叫做“球的非對心碰撞”或叫做“球的斜碰”.大多數(shù)物理教材在編寫碰撞這部分內(nèi)容時,一般只討論了碰撞的速度變化和能量問題,沒有強調(diào)關(guān)于非對心碰撞的角度問題.筆者在本文中推導并討論了表面光滑的非對心碰撞的角度問題.
兩小球碰撞前后速度矢量若在同一平面內(nèi),稱為二維碰撞;碰撞前后速度矢量不在同一平面內(nèi),則稱為三維碰撞.本文討論二維碰撞.如圖1所示質(zhì)量為m1、初速度為v10的光滑小球和質(zhì)量為m2、初速度為v20的光滑小球發(fā)生二維碰撞,碰撞后其速度分別為v1和v2(如圖2所示),兩球碰撞的恢復系數(shù)為e.為研究方便,可在兩小球的速度矢量平面內(nèi)建立直角坐標系O-xy,設(shè)兩小球碰撞接觸面的公切線方向為x軸,y軸沿碰撞時的聯(lián)心線,如圖2所示.
把兩球看作一質(zhì)點組,因外力矢量和為零,故動量守恒.根據(jù)動量守恒定律,在y軸方向上有
m1v10y+m2v20y=m1v1y+m2v2y.
(1)
碰撞時,因球面光滑,故兩小球沿公切線方向即x軸方向不受力,所以碰撞前后兩小球沿x軸方向的速度分量不變,有
圖1 小球碰撞前
v10x=v1x,v20x=v2x.
(2)
由恢復系數(shù)e的定義知對于材料一定的球,碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比,故有
(3)
如圖1和圖2所示,若v10、v20與x軸的夾角分別是α1和α2;v1、v2與x軸的夾角分別是β1和β2,由(1)式得
m1v10sinα1+m2v20sinα2=m1v1sinβ1+
m2v2sinβ2.
(4)
由(2)式得
v10cosα1=v1cosβ1,v20cosα2=v2cosβ2.
(5)
由(3)式得
(6)
解以上(4)~(6) 3個方程,分別消去v1和v2得
(7)
(8)
由(7)、(8)式消去v10、v20可得
(9)
簡化(9)式得
(10)
式(10)為二維非對心碰撞的角度的一般關(guān)系式.
(1) 若兩小球質(zhì)量m1=m2,且它們初始狀態(tài)都是運動的,當它們發(fā)生完全彈性非對心碰撞時(恢復系數(shù)e=1),式(10)簡化為
將上式兩邊交叉相乘進一步簡化得
tanα1tanα2=tanβ1tanβ2.
(11)
(2) 若兩小球質(zhì)量m1?m2,當恢復系數(shù)e=1時,可看作小球從傾斜方向與半徑無窮大的球即光滑平面相碰撞,可把質(zhì)量為m2的小球看作保持靜止.由(10)式可得
etanα1=tanβ1.
(12)
分析:因為e=1,所以有α1=β1,即m1在m2的表面上作等角反射,如圖3所示.
圖3 圖4
(3) 若兩小球質(zhì)量m1?m2,當恢復系數(shù)0
1 漆安慎,杜嬋英.力學[M].北京:高等教育出版社,1998.
2 賈書惠, 李萬瓊. 理論力學[M].北京:高等教育出版社,2002.
2017-03-30)