黃 瑞

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

幾類(lèi)特殊曲面曲線(xiàn)的法曲率測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实挠?jì)算

黃 瑞

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

特殊曲面曲線(xiàn)是曲面論中的一個(gè)重要研究對(duì)象，坐標(biāo)曲線(xiàn)、漸近曲線(xiàn)、曲率線(xiàn)和測(cè)地線(xiàn)是曲面上常見(jiàn)的幾類(lèi)特殊曲面曲線(xiàn)，而法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下视质乔媲€(xiàn)的三個(gè)重要的數(shù)字特征。本文首先推導(dǎo)出法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实男再|(zhì)；其次，列舉了三者之間最常見(jiàn)的幾種關(guān)系；最后，給出上述幾類(lèi)特殊曲面曲線(xiàn)的法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式。

曲面曲線(xiàn)；法曲率；測(cè)地曲率；測(cè)地?fù)下?/p>

對(duì)曲面曲線(xiàn)的研究是經(jīng)典微分幾何中曲面論中非常重要的一部分內(nèi)容，而特殊的曲面曲線(xiàn)，如坐標(biāo)曲線(xiàn)、漸近曲線(xiàn)、曲率線(xiàn)和測(cè)地線(xiàn)又是我們研究的重中之重，研究?jī)?nèi)容主要包括它們的曲率、撓率、法曲率、測(cè)地曲率、測(cè)地?fù)下实?。曲面曲線(xiàn)的測(cè)地曲率在曲面的保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)下是保持不變的，它屬于曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)研究的內(nèi)容，其計(jì)算公式的推導(dǎo)有許多不同的方法，[1]利用曲面論基本方程進(jìn)行推導(dǎo)，[2]給出了直接的推導(dǎo)方法，但過(guò)程復(fù)雜且計(jì)算量大，[3-5]給出了曲面在正交坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)下計(jì)算測(cè)地曲率的Liouville公式的證明方法。本文列舉了法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下手g最常見(jiàn)的三種關(guān)系，并由此得到曲面上的直線(xiàn)、漸近曲線(xiàn)、曲率線(xiàn)和測(cè)地線(xiàn)的法曲率、測(cè)地曲率、測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式，而坐標(biāo)曲線(xiàn)的法曲率、測(cè)地曲率、測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式則由定義推導(dǎo)出來(lái)。

1 法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实挠?jì)算與性質(zhì)

1.1 法曲率

證明 由歐拉公式（1），（2）顯然成立，下證（3）。

若P為臍點(diǎn)，則，結(jié)論成立。

下設(shè)P為非臍點(diǎn)，若為主方向，則結(jié)論成立?，F(xiàn)設(shè)不是P點(diǎn)處的主方向，由（1）不妨假設(shè)落在以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，（第一主方向），（第二主方向）為坐標(biāo)軸的平面直角坐標(biāo)系的第一象限和第四象限，若記，則，由歐拉公式得

注：在P點(diǎn)的切平面上，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，（第一主方向），（第二主方向）為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，關(guān)于對(duì)稱(chēng)指的是所在的直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)。

1.2 測(cè)地曲率

1.3 測(cè)地?fù)下?/h3>

由測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式知臍點(diǎn)處沿著任意方向的測(cè)地?fù)下识紴?，非臍點(diǎn)處沿著主方向的測(cè)地?fù)下蕿?，即是曲率線(xiàn)的測(cè)地?fù)下屎銥?。測(cè)地?fù)下示哂蓄?lèi)似法曲率的性質(zhì)。

此定理的證明將在定理5之后給出。

定理3[6]若(c)為曲面上非直線(xiàn)的漸近曲線(xiàn)或測(cè)地線(xiàn)，則(c)的撓率等于它的測(cè)地?fù)下省?/p>

1.4 法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下手g的關(guān)系

定理4[3]kn2+kg2=k2。

由定理4易見(jiàn)若曲面上存在直線(xiàn)，則直線(xiàn)的法曲率和測(cè)地曲率都為0。

特別指出的是，定理5中的θ具有方向性，即從到逆時(shí)針轉(zhuǎn)θ為正角，順時(shí)針轉(zhuǎn)θ為負(fù)角，而歐拉公式中出現(xiàn)的是sin2θ和cos2θ，因此無(wú)需考慮θ的方向性。

證明 若P為臍點(diǎn)，結(jié)論顯然成立。

在非臍點(diǎn)P的小鄰域U內(nèi)取正交的曲率線(xiàn)網(wǎng)作為參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)，記作(u,v)，且不妨設(shè)P點(diǎn)沿u-曲線(xiàn)的切方向?yàn)榈谝恢鞣较颍瑒t在P處有，從而

在上述特殊的參數(shù)系下，定理5中的θ與Liouville公式中的θ是一致的，根據(jù)[3]中Liouville公式的證明過(guò)程知

接下來(lái)給出定理2的證明。

證明 由定理5知定理2中的（1），（2）顯然成立，下證（3）。

若P為臍點(diǎn)，則，結(jié)論成立。

下設(shè)P為非臍點(diǎn)，若為主方向，則，結(jié)論成立。現(xiàn)設(shè)不是P點(diǎn)處的主方向，由定理2（1）不妨假設(shè)落在以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，（第一主方向），（第二主方向）為坐標(biāo)軸的平面直角坐標(biāo)系的第一象限和第四象限，若記從到的角為θ，則從到的角為由定理5,得

定理6 沿著任意的一條曲面曲線(xiàn)(c)都有成立，其中H,K分別為平均曲率和高斯曲率。

2 特殊曲面曲線(xiàn)的法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下?/h2>

2.1 漸近曲線(xiàn)

根據(jù)定理3,4，6易得下面的結(jié)論。

定理7 設(shè)(c)為S上的漸近曲線(xiàn)，若

（1）(c)為直線(xiàn)，則(c)的

（2）(c)不是直線(xiàn)，則(c)的，其中k,τ分別為(c)的曲率和撓率。

由定理7易見(jiàn)可展曲面上的漸近曲線(xiàn)必為平面曲線(xiàn)。

2.2 曲率線(xiàn)

由定理4易得下面的結(jié)論。

定理8 設(shè)(c)為S上的曲率線(xiàn)，則(c)的法曲率為主曲率，不妨記作，其中k為(c)的曲率。

2.3 測(cè)地線(xiàn)

根據(jù)定理3,4,6易得下面的結(jié)論。

定理9 設(shè)(c)為S上的測(cè)地線(xiàn)，若

（1）(c)為直線(xiàn)，則(c)的

（2）(c)不是直線(xiàn)，則(c)的kn=±k,kg=0,τg=τ，其中k,τ分別為(c)的曲率和撓率。

由定理9可得曲面上直線(xiàn)的測(cè)地?fù)下饰幢貫榱悖矫嫔系闹本€(xiàn)以及可展曲面上的直母線(xiàn)都有τg=0，另外若曲面上的測(cè)地線(xiàn)為非直線(xiàn)的平面曲線(xiàn)，如球面上的大圓，旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線(xiàn)等等，則此測(cè)地線(xiàn)的測(cè)地?fù)下蕿?。

2.4 坐標(biāo)曲線(xiàn)

證明u-曲線(xiàn)(c)的方程還可以寫(xiě)作，由于，從而得到

下求(c)的測(cè)地曲率，將測(cè)地曲率計(jì)算公式中的張量記號(hào)轉(zhuǎn)換成高斯記號(hào)得到(c)的測(cè)地曲率

從而得到(c)的測(cè)地曲率

同理可得到下面的定理。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文首先給出了法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实囊恍坝腥ぁ钡男再|(zhì)，如沿著兩個(gè)共線(xiàn)的切方向，法曲率和測(cè)地?fù)下识枷嗟?，而沿著兩個(gè)正交的切方向，法曲率之和為該點(diǎn)處的主曲率之和，測(cè)地?fù)下手蜑榱?。其次總結(jié)了法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下手g的關(guān)系，并由此輕松得到直線(xiàn)、漸近曲線(xiàn)、曲率線(xiàn)和測(cè)地線(xiàn)這4類(lèi)特殊曲面曲線(xiàn)的法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式。最后用最原始的定義法得到任意曲面的坐標(biāo)曲線(xiàn)的法曲率、測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式，特別地Liouville公式是本文定理10,11中測(cè)地曲率計(jì)算公式的特例。

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M].4版.北京：高等教育出版社，2008：146-149.

[2]邢家省，張光照.曲面上曲線(xiàn)的測(cè)地曲率向量的注記[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，34（4）：7-10,15.

[3]陳維桓.微分幾何[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006：229-237.

[4]邢家省，白 璐，高建全.曲面正交網(wǎng)下測(cè)地曲率計(jì)算公式的推導(dǎo)方法[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，28（4）：75-79.

[5]羅秀華，張光照，邢家省.曲面正交網(wǎng)下測(cè)地曲率和高斯曲率的計(jì)算公式的推導(dǎo)方法[J].河南科學(xué)，2015，33（7）：1081-1086.

[6]黃 瑞.特殊曲面曲線(xiàn)的性質(zhì)[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，33（3）：8-11.

Calculations of normal curvature,geodesic curvature and geodesic torsion of some special types of curves on surface

HUANG Rui
(School of Mathematics and Statistics,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037，China)

Special curve on surface is an important research object in surface theory.Coordinate curves,asymptotic line,curvature line and geodesic line are some special curves which are common on surface,while normal curvature,geodesic curvature and geodesic torsion are the three important numerical traits.This paper first derives the nature of normal curvature,geodesic curvature and geodesic torsion,then lists some common relations among the three,and lastly provides the calculation formulas of normal curvature,geodesic curvature and geodesic torsion of the special types of normal curvature.

curve on surface;normal curvature;geodesic curvature;geodesic torsion

O186.1

A

1004-4329（2017）03-023-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）03-023-04

2017-06-17

安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2017A341）；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（2014zy138，2015gxk149）；阜陽(yáng)師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目（2016JYXM23，2016JYXM25）資助。

黃 瑞(1985- )，女，碩士，講師，研究方向：微分幾何。