文︳株洲市天元區(qū)栗雨小學(xué)數(shù)學(xué)組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”教學(xué)研究報告

文︳株洲市天元區(qū)栗雨小學(xué)數(shù)學(xué)組 瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是人教版數(shù)學(xué)教材四年級上冊第四單元的內(nèi)容，是在學(xué)生掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。至此，小學(xué)階段的整數(shù)乘法全部完成。長期以來，以確保計算結(jié)果的準確無誤及提高計算速度為目的的計算操練成了教學(xué)的常態(tài)，使得計算課常常陷入思維層次的水平移動甚至是從高級到低級的過程當(dāng)中。對于數(shù)運算的重要性，教師們的認識不盡相同。部分教師認為，在有了計算器之后，我們不必把計算看得過重；也有一些教師認為，數(shù)運算非常重要，原因是教材上編得多，所以應(yīng)該教得多，做得多，考得多?？傊?，教學(xué)現(xiàn)實中存在諸多問題。

一是孤立地對待教學(xué)內(nèi)容。首先，不考慮這節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與后續(xù)，盡管課堂看上去內(nèi)容豐滿、層次清晰，但深諳教材體系的教師心里總會覺得納悶：這節(jié)課到底與兩位數(shù)乘兩位數(shù)在目標上有何區(qū)別？其次，估算、口算、筆算、簡算之間是完全割裂的，學(xué)習(xí)筆算，那就只管豎式如何寫，怎樣寫方便。

二是以操練代替新授。教師在教學(xué)時通常按照教材的順序逐一呈現(xiàn)例題，然后給予一定數(shù)量的練習(xí)。這樣教學(xué)難免導(dǎo)致學(xué)生會的早會了，不會的依然如故。一些教師的補救措施往往很奏效：揪出易錯題一一過關(guān)，將易錯點集中起來以考代練。但這種做法導(dǎo)致很多學(xué)生以為數(shù)學(xué)就是算算算，枯燥乏味，令人生厭。

三是老師（教材）牽著學(xué)生走。最開始，老師讓學(xué)生算“一個七、兩個七、三個七……相加”，大部分學(xué)生學(xué)會了“7的乘法口訣”。后來，老師又要學(xué)生“幫美羊羊算一算大約有多少元”，學(xué)生們知道了一種叫“估算”的玩意兒。再后來，老師又不斷地追問學(xué)生：“還有沒有不一樣的方法，還有沒有更簡便的方法？”學(xué)生們總是能呈現(xiàn)出滿滿一黑板的算法。要學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)了，沒關(guān)系，老師直接出示一個情境，學(xué)生動筆算一算、動腦估一估、用計算器驗一驗，先學(xué)不含0的，接著學(xué)末尾有0的，再學(xué)中間有0的。學(xué)了三位數(shù)乘兩位數(shù)，還有兩位數(shù)乘三位數(shù)……但是，數(shù)運算教學(xué)除了教會學(xué)生計算之外，我們的孩子什么時候能站在“森林”中看看眼前的這棵“樹”——關(guān)于整數(shù)乘法，我們都學(xué)了哪些？還要學(xué)些什么？

具體到這節(jié)課，怎樣變孤立為整體？如何走出機械操練的怪圈，讓我們能站得更高、看得更遠？為此，我們數(shù)學(xué)組針對筆算課上如何有效溝通估算、口算、筆算、簡算之間的聯(lián)系，有效預(yù)防計算錯誤，找到這節(jié)課的生長點，發(fā)揮數(shù)運算課的育人價值進行了思考與實踐，力求站在一個更高的位置，以整體或長段的思維去引領(lǐng)學(xué)生看見“過去”和“遠方”。

二、實踐

我們數(shù)學(xué)組堅持“1233導(dǎo)探”活力課堂模式，對這節(jié)課進行了實踐性研究。

1.開放導(dǎo)入，在整體認識的基礎(chǔ)上聚焦三位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)。

活動設(shè)計：從 4、5、15、21、144 中任選兩個數(shù)寫出乘法算式，并按因數(shù)的位數(shù)分類，想想哪些是你會算的，分別怎么算。

片段呈現(xiàn)

師：請一個學(xué)生將所有的乘法算式有序列出。

生1：4×5、4×15、4×21、4×144、5×15、5×21、5×144、15×21、15×144、21×144。

師：按因數(shù)的位數(shù)來分，可以分為哪幾類？

生2：可以分為 5 類，A 類：4×5；B 類：4×15、4×21、5×15、5×21；C 類：15×21；D 類：4×144、5×144；E 類：15×144、21×144。

師：有哪些乘法是我們已經(jīng)學(xué)過的？

生：一位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘一位數(shù)，三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)，我們都學(xué)過。

師：今天我們來研究三位數(shù)乘兩位數(shù)。

……

師：大家覺得我們今后還要學(xué)四位數(shù)乘三位數(shù)……嗎？

設(shè)計意圖：回憶整數(shù)乘法的類型，為新知學(xué)習(xí)提供資源。

2.核心推進之一：基于經(jīng)驗，自主遷移，溝通聯(lián)系，探究算理結(jié)構(gòu)。

活動設(shè)計：15×144你會算嗎？能不能用以前學(xué)到的本領(lǐng)來幫助計算？

片段呈現(xiàn)

師：（學(xué)生獨立計算后）大家會算嗎？請兩個同學(xué)把你們的想法寫在黑板上。如果你的算法與他的相同，則靜心看他板演的對不對；如果不同，看能否看懂他的算法；有不一樣的算法，可以補充到黑板上。

資源呈現(xiàn)：第一種：10×144=1440，5×144=720，1440+720=2160。

第三種：15×100=1500，15×44=15×4×11=60×11=660，1500+660=2160。

師：我在巡視時還發(fā)現(xiàn)有幾個同學(xué)是這樣算的（如下所示）。這么多的算法，哪些一眼就能看出是錯的？為什么？

生3：第五種和第六種算法一看就是錯的。因為144×10=1440，可以肯定144×15的積比1000大多了。這兩個結(jié)果都小于1000，所以是錯的！

師：你能用先估后算再比較的方法估計出積的范圍，避免了低級錯誤，了不起！知道這兩種算法肯定錯了，我們能否知道他到底錯在哪兒呢？

生4：第五種豎式的第二層寫錯了。144×1其實算的是144×10，所以數(shù)位應(yīng)該向左整體移動一位。

師：你的意思和第二種算法是一樣的。大家明白了嗎？那再和同桌說說，第六種算法錯在哪兒？為什么？

生5：144中的1表示的是100，所以第三層豎式應(yīng)該算的是15×100，同樣應(yīng)該像第四種算法一樣。

師：錯了的，我們能找到錯誤的原因。那么，正確的，我們能否也來分析一下它們之間有什么聯(lián)系？

生6：第一種橫式計算和第二種豎式計算其實是一回事。（師隨著學(xué)生的匯報，補充板演，如下所示）

師：是這么回事嗎？你這么一說，溝通了橫式和豎式之間的聯(lián)系，講得真明白。第四種算法如果也對應(yīng)一種橫式的話，是怎么樣的呢？（隨著學(xué)生的匯報，補充板演，如下所示）第二種和第四種算法都是列豎式算的，你更喜歡哪一種？為什么？

生7：我更喜歡第二種，因為這種方法的豎式只有兩層，也比較容易對齊。

師：你的這種感覺相信很多同學(xué)都有。其實，乘法豎式最開始不是這樣的。古老的歐洲把豎式列成這個樣子（如右圖所示），大家能看明白嗎？

生8：能看明白，只是這樣寫層數(shù)太多，太麻煩。

師：那么第二種、第四種算法以及古代歐洲的算法有什么共同的特點呢？

生9：都是先想每一步乘的是幾個幾，再一步一步地乘，然后相加。

師：我明白你的意思了，你指的是，整數(shù)乘法計算中，都是根據(jù)乘法的意義確定該算什么，然后按一定的順序進行計算。以前學(xué)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)是這樣的嗎？這道題是這樣，如果換兩個整數(shù)相乘，還是這樣嗎？

生：也是這樣。

師：太了不起了！不但知道怎樣算，還知道為什么這樣算，知其然且知其所以然。

設(shè)計意圖：激活經(jīng)驗，促進遷移。呈現(xiàn)學(xué)生資源后（有利用乘法意義進行分拆求和的，有列豎式筆算的，還有一些錯誤的），首先有意捕捉（或設(shè)計）典型的差錯資源，制造認知沖突，鞏固“先估后算再比較”的運算習(xí)慣。接著運用比較策略，橫向比較正確的資源，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橫式和豎式之間的聯(lián)系，組織學(xué)生比較三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘三位數(shù)在計算方法上的聯(lián)系，構(gòu)建筆算模型。

3.核心推進之二：從一般到特殊，整體構(gòu)建筆算模型。

活動設(shè)計：用筆算的方法計算375×24，108×32，150×30 與 325×27，32×108，150×60。學(xué)生分成男女生兩組分別計算。

操作流程：學(xué)生獨立計算，呈現(xiàn)資源，然后選擇典型資源進行交流討論。

設(shè)計意圖：題目的設(shè)計從一般到特殊。在學(xué)生獨立完成后，首先重點呈現(xiàn)108×32和32×108這一組題的學(xué)生資源（有錯誤的，正確的有用兩位數(shù)乘三位數(shù)的，也有用三位數(shù)乘兩位數(shù)的，但都只要算兩步），溝通三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)之間的聯(lián)系，歸納乘法的筆算法則。然后呈現(xiàn)150×30和150×60這一組題的學(xué)生資源，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)積的變化規(guī)律掌握簡便的豎式算法，溝通口算和筆算。同時引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個積的特點——具有兩倍關(guān)系，滲透靈活比較的意識，讓學(xué)生增強數(shù)感，也為下一個活動提供資源。

4.核心推進之三：溝通口算、筆算、估算、簡算之間的聯(lián)系，靈活選擇算法。

活動設(shè)計：（呈現(xiàn)兩個算法資源）

150×60=150×2×30=300×30=9000；

32×108=32×（100+8）=32×100+32×8=3200+256=3456。

師：這種算法你看懂了嗎？快速反應(yīng)350×14，103×29。

操作流程：呈現(xiàn)學(xué)生資源：筆算103×29時，學(xué)生的算法有：103×20＋103×9、103×30－103、100×29＋3×29。對照這些算法，看是否能看懂，并要求學(xué)生根據(jù)數(shù)字特點選擇合適的算法計算：250×12、420×50、125×32、19×350、464×17。

設(shè)計意圖：在前一個活動的基礎(chǔ)上，設(shè)計一些更具特殊性的三位數(shù)乘兩位數(shù)，并通過讀懂兩種算法，讓學(xué)生從意義上理解和區(qū)分兩種算法，溝通口算、筆算、估算、簡算之間的聯(lián)系，靈活選擇算法進行計算。

三、討論

1.關(guān)于情境對數(shù)運算的橋梁作用。

枯燥的算理、抽象的算法、機械的訓(xùn)練，現(xiàn)實中的計算教學(xué)大都給人這樣的感覺。于是，大多數(shù)教師教學(xué)時都會賦予運算以情境中的現(xiàn)實意義。事實上，在計算39×102時，人們看到的只是一個抽象的算式，很難馬上從乘法意義的角度計算其結(jié)果，尤其是當(dāng)學(xué)生已經(jīng)接觸了一些算法，碰到未知的，往往不會退回到乘法意義的角度去思考，而是草率地認為“沒學(xué)過，不會”。如果在一個情境中，賦予這兩個數(shù)以量的意義，比如，一套書102元，買39套需要多少元？有了具體情境的橋梁作用，賦予抽象的算式以現(xiàn)實的意義，能幫助學(xué)生理解算理。而本節(jié)課并未從這個角度去設(shè)計，如何兼得？值得探索。

2.關(guān)于數(shù)運算教學(xué)長段的規(guī)劃設(shè)計。

或許有人會質(zhì)疑三位數(shù)乘兩位數(shù)這一課如何能做到如此大容量、高密度。其實，這是因為這節(jié)內(nèi)容是小學(xué)階段整數(shù)乘法運算的最后一節(jié)課，列豎式、數(shù)位對齊、簡算、橫式與豎式的溝通等都是以前的目標，本節(jié)課中只需鞏固，而豎式和豎式的溝通、中間有0的乘法與兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法間的溝通，以及靈活選擇算法才是本節(jié)課的目標。小學(xué)階段數(shù)運算教學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的遞進性顯而易見，但在每一部分里要實現(xiàn)哪些目標，必須要有一個整體的規(guī)劃，以數(shù)運算中的乘法運算為例：

“表內(nèi)乘法”的目標是：轉(zhuǎn)化連加，用規(guī)律求積，用乘法的意義分拆轉(zhuǎn)化，表內(nèi)乘除法的熟練化。

“用一位數(shù)乘”的目標是：用轉(zhuǎn)化分拆，強化橫式和豎式之間的溝通，簡算的滲透（分拆成和、差、積的簡算）。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的目標是：嘗試豎式遷移，強調(diào)數(shù)位對齊，鞏固簡算的經(jīng)驗。

“兩位數(shù)乘三位數(shù)”的目標是：豎式和豎式的溝通，中間有0的乘法與兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法間的溝通，靈活選擇算法。

筆者所在的學(xué)校目前正在進行以挖掘?qū)W科課程核心育人價值為目的的“種子課程”研究。研究中，我們發(fā)現(xiàn)，任何一門學(xué)科或者是某一門學(xué)科的一個特定內(nèi)容涵蓋的素養(yǎng)目標并不是單一的。因此，哪怕是數(shù)運算教學(xué)，除了有關(guān)運算的知識目標之外，從更高的視野看，它還是幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維的重要載體。事實上，筆算過程通常由三個步驟組成：運算順序（從哪一位算起）、分步運算結(jié)果的定位、形成最終結(jié)果。如果能在某個階段就幫助學(xué)生建立這個過程結(jié)構(gòu)，那么在后一個階段，學(xué)生應(yīng)用這個結(jié)構(gòu)去主動探究一些新的運算就變得可能。否則，所謂的探究，很多時候只是部分優(yōu)秀學(xué)生提前學(xué)習(xí)后的轉(zhuǎn)述罷了。另外，數(shù)運算教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生勤于思考、善于研究的思維習(xí)慣的啟蒙也能起到載體作用。因而，我們不能把學(xué)生當(dāng)成計算的機器，而應(yīng)努力關(guān)注數(shù)運算教學(xué)中的育人價值，發(fā)揮其培育核心素養(yǎng)的“種子”作用。特別需要強調(diào)的是，這個目標絕不能只是停留在教學(xué)目標中的一條文字，也不能想到哪里是哪里，而是需要有一個長段的規(guī)劃設(shè)計，更需要落實到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中。

現(xiàn)階段，栗雨小學(xué)也正在做基于核心素養(yǎng)的課程研究。數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家們給數(shù)學(xué)定了很多有數(shù)學(xué)味的核心素養(yǎng)，筆者認為都有道理。而要在這些核心中再找一個內(nèi)核，筆者認為是舉一反三、反三歸一。這是數(shù)運算課型不可繞過的目標，也是“種子課程”研究的起點。

【本文系湖南省教育學(xué)會“十三五”立項課題“基于核心素養(yǎng)的‘種子課程’開發(fā)與應(yīng)用研究”（編號：B-53）研究成果】

（執(zhí)筆：何畝文、徐旺、李闖）