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        化繁為簡(jiǎn)不走尋常路
        ——例談解析幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的巧用

        2017-10-20 06:48:02
        數(shù)理化解題研究 2017年22期
        關(guān)鍵詞:解題思想數(shù)學(xué)

        薛 梅

        (江蘇省如皋市第二中學(xué),江蘇 如皋 226575)

        化繁為簡(jiǎn)不走尋常路
        ——例談解析幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的巧用

        薛 梅

        (江蘇省如皋市第二中學(xué),江蘇 如皋 226575)

        解析幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn),因綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大而讓很多考生望而生畏.本文將轉(zhuǎn)化與化歸思想巧妙融入解析幾何的解題中,提出三種方法,讓學(xué)生能夠化繁為簡(jiǎn)不走尋常路,巧解題,少用時(shí),多拿分.

        轉(zhuǎn)化與化歸思想;高中數(shù)學(xué);解析幾何

        解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),是高考命題的熱點(diǎn),同時(shí)也是學(xué)生解題的難點(diǎn).筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué),總結(jié)出轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何解題中的三種常用方法,讓學(xué)生解題時(shí)能化繁為簡(jiǎn)不走尋常路.

        一、注重?cái)?shù)形變換,巧用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與化歸

        我們研究解析幾何時(shí)常用代數(shù)方法來處理,但會(huì)遇到計(jì)算繁雜、費(fèi)時(shí)耗力、容易出錯(cuò)、難得結(jié)果等情況,這時(shí)我們引入轉(zhuǎn)化與化歸思想,進(jìn)行“數(shù)”與“形”的有機(jī)轉(zhuǎn)化,巧妙地將解析幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題去處理,就能使解題變得簡(jiǎn)單上手.恰如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所講“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休”.

        例1Q為圓x2+y2=1上任意一點(diǎn),已知兩個(gè)定點(diǎn)F1(-2,0)、F2(2,0),F(xiàn)1關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)是M,線段MF1中垂線與MF2相交于P點(diǎn),求P點(diǎn)軌跡.

        解析如果假設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo),代入圓方程進(jìn)行計(jì)算則比較麻煩,如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,把問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,此題就變得容易解決.

        連接OQ,O是F1F2中點(diǎn),O是MF1中點(diǎn),所以O(shè)Q∥MF2,MF2=2即|PM-PF2|=2,因?yàn)镻為線段MF1中垂線上一點(diǎn),所以PF1=PM,所以|PF1-PF2|=2,又因?yàn)镕1,F2為兩定點(diǎn),且|F1F2|=4>2,由雙曲線定義易知P點(diǎn)軌跡是雙曲線.

        二、注重角色變換,巧用“動(dòng)點(diǎn)”與“定點(diǎn)”的轉(zhuǎn)化與化歸

        “動(dòng)靜結(jié)合”是道家研習(xí)武學(xué)的至高境界之一,而在高中數(shù)學(xué)解題中也常會(huì)用到一種與之類似的思想方法,叫做“動(dòng)定結(jié)合”,通過同一對(duì)象在動(dòng)與定角色間的不斷轉(zhuǎn)化,巧妙破解難題.就像在解析幾何中,動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)往往不是固定而是相對(duì)的,對(duì)于同一對(duì)象可根據(jù)解題需要變換動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)“角色”,特別是在處理含有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí),可先將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)視為定點(diǎn),得出相關(guān)結(jié)論后,再考慮其是動(dòng)點(diǎn)的問題,這樣通過動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化,就能使問題找到解決辦法.

        三、注重方程變換,巧用“普通方程”與“參數(shù)方程”的轉(zhuǎn)化與化歸

        近年來,求解極值和取值范圍問題是高考解析幾何中的常見題型,這類題目知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)、新穎度高、難度也較大,因能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維,一直受到命題專家的青睞.考生在處理這類題目時(shí),如果抓不住關(guān)鍵而用普通方程就題解題,便會(huì)落入復(fù)雜計(jì)算的“陷阱”不能輕易“脫身”.其實(shí),解答這類題目,我們應(yīng)采用轉(zhuǎn)化與化歸思想,對(duì)題干進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸?、改造和變化,使之變得?jiǎn)潔、明了和熟悉,將運(yùn)算復(fù)雜的普通方程轉(zhuǎn)化成便于化簡(jiǎn)的參數(shù)方程,從而省時(shí)省力事半功倍.

        (1)求m的值和橢圓方程;

        美國(guó)著名教育和心理學(xué)家布盧姆指出:數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”.因此,高中數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)中要注重滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想,有意培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸思維,著力引導(dǎo)轉(zhuǎn)化與化歸解題,讓學(xué)生通過巧妙的變換,撥云見日,化繁為簡(jiǎn)不走尋常路,找到答題的“終南捷徑”,從而使轉(zhuǎn)化與化歸思想成為解析幾何的破題之法、解題之術(shù)、拿分之招.

        [1]趙雪妍.向量在解析幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高中版·學(xué)研版),2011(05).

        [2]袁輝.運(yùn)用化歸思想,培養(yǎng)有效思維[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2011(09).

        G632

        A

        1008-0333(2017)22-0044-02

        2017-06-01

        薛梅(1981.11-),女,江蘇省南通市,大學(xué)本科,中學(xué)一級(jí),從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究.

        責(zé)任編輯:楊惠民]

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