薛 梅

(江蘇省如皋市第二中學(xué)，江蘇 如皋 226575)

化繁為簡(jiǎn)不走尋常路
——例談解析幾何中轉(zhuǎn)化與化歸思想的巧用

薛 梅

(江蘇省如皋市第二中學(xué)，江蘇 如皋 226575)

解析幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)，因綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大而讓很多考生望而生畏.本文將轉(zhuǎn)化與化歸思想巧妙融入解析幾何的解題中，提出三種方法，讓學(xué)生能夠化繁為簡(jiǎn)不走尋常路，巧解題，少用時(shí)，多拿分.

轉(zhuǎn)化與化歸思想；高中數(shù)學(xué)；解析幾何

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是高考命題的熱點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生解題的難點(diǎn).筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)，總結(jié)出轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何解題中的三種常用方法，讓學(xué)生解題時(shí)能化繁為簡(jiǎn)不走尋常路.

一、注重?cái)?shù)形變換，巧用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與化歸

我們研究解析幾何時(shí)常用代數(shù)方法來處理，但會(huì)遇到計(jì)算繁雜、費(fèi)時(shí)耗力、容易出錯(cuò)、難得結(jié)果等情況，這時(shí)我們引入轉(zhuǎn)化與化歸思想，進(jìn)行“數(shù)”與“形”的有機(jī)轉(zhuǎn)化，巧妙地將解析幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題去處理，就能使解題變得簡(jiǎn)單上手.恰如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所講“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.

例1Q為圓x2+y2=1上任意一點(diǎn)，已知兩個(gè)定點(diǎn)F1(-2,0)、F2(2，0)，F(xiàn)1關(guān)于Q的對(duì)稱點(diǎn)是M，線段MF1中垂線與MF2相交于P點(diǎn)，求P點(diǎn)軌跡.

解析如果假設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程進(jìn)行計(jì)算則比較麻煩，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，此題就變得容易解決.

連接OQ,O是F1F2中點(diǎn),O是MF1中點(diǎn),所以O(shè)Q∥MF2，MF2=2即|PM-PF2|=2,因?yàn)镻為線段MF1中垂線上一點(diǎn)，所以PF1=PM,所以|PF1-PF2|=2，又因?yàn)镕1,F2為兩定點(diǎn)，且|F1F2|=4>2,由雙曲線定義易知P點(diǎn)軌跡是雙曲線.

二、注重角色變換，巧用“動(dòng)點(diǎn)”與“定點(diǎn)”的轉(zhuǎn)化與化歸

“動(dòng)靜結(jié)合”是道家研習(xí)武學(xué)的至高境界之一，而在高中數(shù)學(xué)解題中也常會(huì)用到一種與之類似的思想方法，叫做“動(dòng)定結(jié)合”，通過同一對(duì)象在動(dòng)與定角色間的不斷轉(zhuǎn)化，巧妙破解難題.就像在解析幾何中，動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)往往不是固定而是相對(duì)的，對(duì)于同一對(duì)象可根據(jù)解題需要變換動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)“角色”，特別是在處理含有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，可先將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)視為定點(diǎn)，得出相關(guān)結(jié)論后，再考慮其是動(dòng)點(diǎn)的問題，這樣通過動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化，就能使問題找到解決辦法.

三、注重方程變換，巧用“普通方程”與“參數(shù)方程”的轉(zhuǎn)化與化歸

近年來，求解極值和取值范圍問題是高考解析幾何中的常見題型，這類題目知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)、新穎度高、難度也較大，因能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維，一直受到命題專家的青睞.考生在處理這類題目時(shí)，如果抓不住關(guān)鍵而用普通方程就題解題，便會(huì)落入復(fù)雜計(jì)算的“陷阱”不能輕易“脫身”.其實(shí)，解答這類題目，我們應(yīng)采用轉(zhuǎn)化與化歸思想，對(duì)題干進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸?、改造和變化，使之變得?jiǎn)潔、明了和熟悉，將運(yùn)算復(fù)雜的普通方程轉(zhuǎn)化成便于化簡(jiǎn)的參數(shù)方程，從而省時(shí)省力事半功倍.

(1)求m的值和橢圓方程；

美國(guó)著名教育和心理學(xué)家布盧姆指出：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”.因此，高中數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)中要注重滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，有意培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸思維，著力引導(dǎo)轉(zhuǎn)化與化歸解題，讓學(xué)生通過巧妙的變換，撥云見日，化繁為簡(jiǎn)不走尋常路，找到答題的“終南捷徑”，從而使轉(zhuǎn)化與化歸思想成為解析幾何的破題之法、解題之術(shù)、拿分之招.

[1]趙雪妍.向量在解析幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化(高中版·學(xué)研版)，2011(05).

[2]袁輝.運(yùn)用化歸思想，培養(yǎng)有效思維[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版)，2011(09).

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2017-06-01

薛梅(1981.11-)，女,江蘇省南通市，大學(xué)本科，中學(xué)一級(jí)，從事數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究.

責(zé)任編輯：楊惠民]