潘志琴

(溧陽市戴埠高級(jí)中學(xué),江蘇 常州 213300)

“分參”？“不分參”？
——導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)過程中的思考

潘志琴

(溧陽市戴埠高級(jí)中學(xué),江蘇 常州 213300)

“教無定法，學(xué)無止境”.在高中階段導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中，在參數(shù)范圍的探究過程中，對(duì)“分參”與“不分參”的選擇，教師的教與學(xué)生的學(xué)都很無奈.學(xué)生在無奈地選用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)最值過程中的苦與低效，面對(duì)這種情況，教師可以考慮引導(dǎo)學(xué)生從更多的實(shí)例中汲取經(jīng)驗(yàn).

參數(shù)分離；構(gòu)建函數(shù)；分類討論

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問題的工具，對(duì)于導(dǎo)數(shù)部分的復(fù)習(xí)主要放在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容上，特別是含參數(shù)問題是近些年來高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.此類問題通常涉及求最值和恒成立條件，要求學(xué)生在求解中重視分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)等基本思想方法的運(yùn)用.

在這些思想方法中，若能先進(jìn)行分離參數(shù)，后對(duì)函數(shù)進(jìn)行無參操作，一般則能簡(jiǎn)化運(yùn)算.例如：已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為常數(shù))，若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解法1 ?x∈[1,e],使得alnx+x2≤(a+2)x，

即?x∈[1,e],使得a(x-lnx)≥x2-2x.

易證：x∈[1,e]時(shí)，x-lnx>0.

∴φ(x)≥φ(2)=4-2ln2>0.∴φ(x)在[1,e]上均大于0,∴h′(x)在[1,e]上恒大于等于0，∴h(x)在[1,e]上單調(diào)遞增.

∴hmin=h(1)=-1，∴a≥-1.

解法2 不分參，分三類進(jìn)行討論.(過程略)

對(duì)于以上例題，還可以有兩種解法進(jìn)行比較：解法一可以避免分類討論，相比解法二比較簡(jiǎn)潔；解法二給出了求函數(shù)最值的基本方法，由于是含有參數(shù)的函數(shù)求最值，所以必須分類討論.在近些年的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，在“分參”與“不分參”的問題上，有一些問題可能根本沒有選擇方法的機(jī)會(huì)，師生必須面臨帶參數(shù)求解最值.下面我們用具體例題來體會(huì)這種“無奈”.

2017年蘇錫常一模第19題：已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)).

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析(2)(x-1)f(x)≥0恒成立

?①x=1時(shí)，易證；

②x>1時(shí)，(x+1)lnx-ax+a≥0且x∈(0,1)時(shí)，(x+1)lnx-ax+a≤0.

解∵?x>0,(x-1)f(x)≥0，

∴①x=1時(shí)，a>0時(shí)均成立.

②x>1時(shí)，(x+1)lnx-ax+a≥0.

∴g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,∴g(x)>g(1)=2.

當(dāng)a∈(0,2]時(shí)，f′(x)恒大于0，∴f(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,∴f(x)>f(1)=0.

當(dāng)a>2時(shí)，?x0∈(1,+),使得f′(x0)=0.列表：

x(1,x0)x0(x0,+￥)f'(x)-0+f(x)單調(diào)減極小值單調(diào)增

∵f(1)=0， ∴當(dāng)x∈(1,x0)時(shí)，f(x)<0.

③0

即證：?x∈(0,1),(x+1)lnx-ax+a≤0.

∴f′(x)>f′(1)=2-a>0.

∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

∴f(x)

因此，0

以上兩個(gè)例子之所以在貌似還可以進(jìn)行“分參”的情況下依然直接研究帶參數(shù)函數(shù)的最值，是因?yàn)檎嬲謪r(shí)無法進(jìn)行下去.

“分參”一般是需要條件的：①參數(shù)a可以方便地“分離”，達(dá)到用含“x”的不含參函數(shù)表示；②借助新函數(shù)的單調(diào)性可以得到所需要的最值.

在高中教學(xué)的實(shí)際過程中，筆者深切體會(huì)到學(xué)生在無奈地選用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)最值過程中的苦與低效，面對(duì)這種情況，教師可以考慮引導(dǎo)學(xué)生從更多的實(shí)例中汲取經(jīng)驗(yàn).

美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞說過：“好問題同某種蘑菇相似，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè).”作為普通的高中教師，真正有助于學(xué)生的教學(xué)應(yīng)該是基于學(xué)生，又能讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上有提升的教學(xué).讓我們做個(gè)教育的有心人，引導(dǎo)學(xué)生在這個(gè)“蘑菇”的附近去親近一堆“蘑菇”，拋開無奈，可以“分參“就分參，不可以”分參“就”“不分參.

[1]吳文前.高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接[J].教育與教學(xué)研究，2010(10).

[2]俞求是.高中新課標(biāo)函數(shù)與微積分有關(guān)內(nèi)容的處理研究[J].課程·教材·教法，2010(09).

[3]匡武俊.高中微積分教學(xué)策略[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2010(08).

G632

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1008-0333(2017)22-0002-02

2017-06-01

潘志琴(1982.10-)，女，漢族，中學(xué)一級(jí)教師，大學(xué)本科，從事高中數(shù)學(xué)解題方法與策略研究.

責(zé)任編輯：楊惠民]