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        探究一道高考三角形面積最值試題的解法

        2017-10-20 06:48:02
        數(shù)理化解題研究 2017年22期
        關(guān)鍵詞:探究分析數(shù)學(xué)

        劉 剛 趙 毅

        (北京市第十二中學(xué)高中部,北京 100071)

        探究一道高考三角形面積最值試題的解法

        劉 剛 趙 毅

        (北京市第十二中學(xué)高中部,北京 100071)

        2013年高考福建數(shù)學(xué)文科第21題考查了一道以等腰直角三角形為背景,求內(nèi)接三角形面積最值問題.試題既要立足圖形,分析圖形特征,又要借助代數(shù)運(yùn)算求解,是一道典型的數(shù)形結(jié)合的題目.試題解法靈活,使不同學(xué)生有了更多的選擇,體現(xiàn)了新課標(biāo)理念.

        高考;等腰直角三角形;面積最值

        課題項目:本文系北京市豐臺區(qū)“十三五”重點課題《新課程背景下高中數(shù)學(xué)競賽教學(xué)研究》(課題批準(zhǔn)號:2016237-J)階段成果之一.

        一、試題

        圖1

        (Ⅱ)若點N在線段MQ上,且∠MON=30°,問:當(dāng)∠POM取何值時,ΔOMN的面積最小?并求出面積的最小值.

        二、解法探究

        (Ⅰ)略.(Ⅱ) 設(shè)∠POM=α,則0°≤α≤60°.具體解法如下:

        分析1 在△OMP與△ONQ中分別利用正弦定理表示出OM,ON,然后借助兩邊及夾角的三角形面積公式表示出三角形的面積,運(yùn)用兩角和公式及二倍角公式進(jìn)行三角恒等變換,最后分析三角函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

        解法1直接表示△OMN的面積

        分析2 由于MN在等腰直角△POQ的斜邊PQ上運(yùn)動,所以過點O作PQ的垂線段OR構(gòu)造直角△RON、△ROM,利用銳角三角函數(shù)分別表示RN,RM,在此基礎(chǔ)上就可以表示出MN,然后借助基本不等式進(jìn)行求解,解題過程體現(xiàn)了分類與整合、數(shù)形結(jié)合的思想方法.

        解法2化斜為直表示MN

        過點O作OR⊥PQ于點R,則點R是PQ的中點,OR=2,設(shè)∠ROM=β.

        圖2

        (ⅰ)如圖2,當(dāng)點M,N在點R兩側(cè)時, 則0°<β<30°,所以∠NOR=30°-β.在Rt△RON中,NR=2tan(30°-β),在Rt△ROM中,MR=2tanβ,所以

        MN=2[tan(300-β)+tanβ]

        圖3

        分析3 在△OMN中先利用面積表示出兩邊OM,ON之間的關(guān)系,然后利用余弦定理表示出MN,最后借助均值不等式進(jìn)行求解.

        解法3均值不等式法

        分析4 本題是一道動態(tài)中的三角形面積最值問題,有不少學(xué)生都能直觀猜出當(dāng)∠POM=30°時△OMN的面積最小,但是為什么最小,一些學(xué)生并沒有進(jìn)行證明,造成了不必要的失分,當(dāng)然跟不會證有關(guān).實際上以∠POM=30°時的△OMN為基準(zhǔn),證明在其它位置時三角形的面積都大,即MN都長即可,證明過程中要結(jié)合正弦定理以及三角形性質(zhì)進(jìn)行說明.大膽猜想,小心求證是解決動態(tài)問題的常用方法.

        解法4先猜后證法

        猜想α=30°時,△OMN的面積有最?。鐖D4,設(shè)α=30°時的△OMN記為△OM′N′,此時OM′=ON′.

        圖4

        (ⅰ)當(dāng)0°<α<30°時,設(shè)∠MOM′=β,則∠NON′=β.

        (ⅱ)同理可得當(dāng)30°<α<60°時,MN>M′N′.

        [1]劉剛,趙毅.一道高考三角形試題的多解與多變 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2016,5.

        [2]劉剛 趙毅.一道習(xí)題的求解與拓展[J].?dāng)?shù)理天地(高中版),2016,9.

        [3]劉剛.對一道競賽三角試題的探究與變式 [J].?dāng)?shù)學(xué)通訊(上半月),2017,5.

        G632

        A

        1008-0333(2017)22-0025-02

        劉剛(1975.4-),男,大學(xué)本科,中學(xué)高級教師,從事數(shù)學(xué)教育.趙毅(1977.5-),女,大學(xué)本科,中學(xué)高級教師,從事數(shù)學(xué)教育.

        責(zé)任編輯:楊惠民]

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