孫 碩

(江蘇省射陽(yáng)縣第二中學(xué)，江蘇 鹽城 224300)

正難則反思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

孫 碩

(江蘇省射陽(yáng)縣第二中學(xué)，江蘇 鹽城 224300)

古有孫子兵法中的欲擒故縱，現(xiàn)有數(shù)學(xué)求解中的正難則反，這兩者有著異曲同工之妙.縱觀高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，正難則反思想涵蓋以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：(1)集合求解中的補(bǔ)集思想；(2)概率計(jì)算中的對(duì)立事件；(3)數(shù)學(xué)證明中的反證法思想.在本文中，我們將結(jié)合實(shí)際習(xí)題，對(duì)正難則反思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行討論.

高中數(shù)學(xué)；正難則反；數(shù)學(xué)思想

一、集合問(wèn)題中的正難則反

集合問(wèn)題考查的是學(xué)生的邏輯思維能力，需要學(xué)生對(duì)需要計(jì)算的集合模型具有清晰的思路.對(duì)于某些集合問(wèn)題，從正面求解往往極其復(fù)雜，思路不明朗，需要考慮很多影響因素，且極容易出錯(cuò).此時(shí)，我們不妨使用補(bǔ)集的思想，通過(guò)補(bǔ)集反演出欲求的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化求解的目標(biāo).

例1 已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，集合B={x|x<0}，若是A∩B≠?是假命題，試求m的取值范圍.

思路分析由A∩B≠?可知，集合A中至少有一個(gè)正根，由于存在x與m兩個(gè)未知數(shù)，若是細(xì)分較為繁瑣.此時(shí)，不妨利用正難則反的思想，利用原命題補(bǔ)集進(jìn)行求解，即是關(guān)系式A∩B=?，則集合A只有無(wú)根和有兩個(gè)非負(fù)根這兩種情況，較為容易分析.

二、對(duì)立事件中的正難則反

在事件判斷時(shí)，若事件A成立時(shí)存在多種情況，難以進(jìn)行分析計(jì)算.此時(shí)，可以嘗試?yán)闷鋵?duì)立事件進(jìn)行判斷.尤其是碰到至多、至少、唯一、無(wú)限等詞眼時(shí)，需要機(jī)智想到正難則反思想在對(duì)立事件中的運(yùn)用.如果正向判斷存在多種可能時(shí)，即可從其對(duì)立事件出發(fā)，轉(zhuǎn)換一下思維角度，從提問(wèn)或設(shè)問(wèn)的對(duì)立事件入手.值得注意的是，在給出最終結(jié)論時(shí)，必須注意將原事件與對(duì)立事件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，切忌功虧一簣.

例2 已知事件A：關(guān)于x的方程x2+4ax-4a+3=0、x2+(a-1)x+a2=0、x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，若事件A成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路分析將上述例題中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的命題視為原命題，則從原命題角度出發(fā)，上述三個(gè)方程至少存在一個(gè)方程存在實(shí)數(shù)根的情況存在多種可能性，幾乎難以一一分析.此時(shí)，我們可以利用正難則反思想，從其對(duì)立事件考慮，即上述方程均無(wú)實(shí)數(shù)根，再求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三、反證法中的正難則反

根據(jù)正難則反的原理，當(dāng)從正向求證過(guò)于困難時(shí)，或者正向求證存在多種討論情況時(shí)，我們即可從反證中尋求思路突破.反證法不僅是運(yùn)用在幾何知識(shí)中，在代數(shù)證明中也較為常見(jiàn).如能運(yùn)用得當(dāng)，對(duì)簡(jiǎn)化求解過(guò)程、提高求解準(zhǔn)確率作用顯著.

思路分析本題求證存在無(wú)窮多項(xiàng)為無(wú)理數(shù)，若是從正向求證，我們難以一一羅列出所有的無(wú)理數(shù).且就算可以描述無(wú)理數(shù)，也必然需要大量的文字描述，違背了數(shù)學(xué)訓(xùn)練的初衷.對(duì)此，我們不妨從反證法的角度，假設(shè)數(shù)列{an}的項(xiàng)都是有理數(shù)，并推出矛盾即可得證.

總之，正難則反的思想是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，是一種出奇制勝的秘密武器.在高中數(shù)學(xué)解題中，正難則反思想有著廣泛的運(yùn)用，在函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何等知識(shí)點(diǎn)中均有其身影.本文僅僅從三個(gè)極小的訓(xùn)練題對(duì)正難則反思想進(jìn)行討論，欲將其滲透到學(xué)生解題思維中，還需要一線教師更多的努力.

[1]周慶東.正難則反——談逆向思維帶來(lái)的啟迪[J].高中數(shù)理化，2017(Z2).

[2]張金華.正難則反——巧用補(bǔ)集思想解題[J].高中數(shù)理化，2007(03).

G632

A

1008-0333(2017)22-0032-02

孫碩(1976.08- )男，江蘇鹽城人，本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.

責(zé)任編輯：楊惠民]