陳琪琪

(上海市大同中學，上海 200003)

地球自轉(zhuǎn)對上海自由落體運動的影響

陳琪琪

(上海市大同中學，上海 200003)

本文通過對地球自轉(zhuǎn)基本理論的探討，用近似求解方法求解偏移量的方法，對地球自轉(zhuǎn)對上海自由落體運動的影響進行了相關(guān)探究.

地球自轉(zhuǎn)；上海；自由落體；偏移

對中學物理所涉及問題，將地球參考系視為慣性參考系是能滿足要求的.但對于跨越的時間和空間較廣、要求精度又較高的工程問題，往往需要考慮地球的自轉(zhuǎn).將地心參考系視為慣性參考系，而把地面參考系視為非慣性參考系.若考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，從上海高處自由下落的物體是否沿著鉛直線的方向運動.

一、基本理論

地球既有公轉(zhuǎn)又有自轉(zhuǎn)，所以是非慣性參考系.公轉(zhuǎn)角速度很小且所產(chǎn)生的慣性離心力幾乎與太陽引力相抵消，自轉(zhuǎn)的角速度為7.292×10-5弧度/秒.雖然也比較小，但卻產(chǎn)生了一些可以觀察到的現(xiàn)象.考慮地球繞地軸自轉(zhuǎn)時，可以認為它的角速度是沿地軸的一個恒矢量，因而只要考慮慣性離心力和科里奧利力的影響.如質(zhì)點相對于地球是靜止的，即v/=0，則只考慮慣性離心力的影響.當質(zhì)點相對于地球有相對運動時，質(zhì)點離地軸距離的變化一般都并不太大，故慣性離心力的效應(yīng)(重力的量值與引力有差別)，只要用重力替代引力就可以了.因此，在研究自由落體運動時，可以只考慮科里奧利力的效應(yīng).科氏力：Fk=2mv×ω(1-1) 圖(1)代表地球,一質(zhì)點在半球的某點M上以速度v′相對于地球運動，M點的緯度為φ.圖中豎直方向為地軸，地球自轉(zhuǎn)的角速度ω沿著該軸.單位矢量i、j、k則固著在地球表面上.且i水平向南，j水平向東，k豎直向上.令轉(zhuǎn)動坐標軸x,y,z與i，j，k重合，即x軸指向南方，y軸指向東方，z軸豎直向上，如圖所示.

根據(jù)上面討論可略去慣性離心力，即認為重力mg通過地球球心，則有：ma′=F-mgk-2mv′×ω(1-2)式中F代表重力以外的作用力.(此處a′和v′表示物理量而非對時間求導)因ω與i，k共面，ω=ω(-cosφi+sinφk).故得：

將(1-3)代入(1-2)，即得質(zhì)點M在x,y,z三個方向得運動微分方程為：

mx″=Fx+2mωy′sinφ

假定質(zhì)點M從有限的高度h自由下落，

my″=Fy-2mω(x′sinφ+z′cosφ) (1-4)

那么我們可以認為g的值不變，且重

mz″=Fz-mg+2mωy′cosφ

力以外的Fx=Fy=Fz=0.則(1-4)為：

x″= 2ωy′sinφ

運動的初試條件是：t=0時，x0=y0=0,

y″= -2ω(x′sinφ+z′cosφ) (1-5)

z0=hx0′=y0′=z0′=0

z″= -g+2ωy′cosφ

對(1-5)式積分并代入初試條件得：

x″= -4ω2sinφ[xsinφ+(z-h)cosφ]

y″= 2gtωcosφ-4ω2y(1-6)

z″= -g-4ω2cosφ[xsinφ+(z-h)cosφ]

二、用近似求解方法求解偏移量

(1-6)的落體相對運動微分方程組，要得到精確解也是超出我們能力范圍的.因此使用二種求法求近似解，并以上海金茂大廈樓頂(420.5米)物體自由落體為例計算落地偏移量.

1.略去ω2項法

(1-6)中出現(xiàn)了ω2項.但如質(zhì)點自離地面200米以上的高處自由下落，則ω2項的值不會超過10-6米/秒2；而如質(zhì)點運動速度在1米/秒的數(shù)量級時，科里奧利加速度2ωv′的數(shù)量級約為10-4，差100倍左右，略去ω2項(1-6)簡化為：

x″= 0x=0 取ω=7.292×10-5rad/s、

h=420.5m、φ=31.233°、z″=-g

計算結(jié)果得質(zhì)點只有向東的偏移：T= 9.26371s，ΔS=0.161922m.

2.逐步逼近法

注意(1-5)式方程組的三個方程等號的右側(cè)均與ω有關(guān)，又因ω是小量，于是可將該方程組的解假設(shè)為ω的冪級數(shù)形式，采用逐步逼近的方法，可獲得該方程的一次近似解和二次近似解.

則一次修正項為:ΔS1=2.83578×10-5m，ΔE=0.161922m.考慮到二次修正項為：ΔS2=2.83578×10-5+1.20918×10-9m，ΔE=0.161922m.可以看出向東的偏移明顯的與一次修正的結(jié)果一致，二次修正比一次修正更為進一步的體現(xiàn)出了自由落體落地還有向南的偏移量,但是很小.由于空氣阻力以及風力等原因，現(xiàn)場是難于測量出來的.如用二次修正則能得到更為精確的南偏值，作出圖象如圖(2)所示.

[1]王鳳黎.自由落體運動教學設(shè)計[J].中國教育技術(shù)裝備，2011(13).

[2]王立華.空氣阻力對自由落體運動的影響[J].滄州師范專科學校學報，2000(02).

G632

A

1008-0333(2017)22-0060-02

2017-06-01

陳琪琪(1982.11-)，男，上海，中學一級，從事高中物理教學.

責任編輯：閆久毅]