黃水山
(福建泉州第五中學(xué), 福建 泉州 362000)
構(gòu)造法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
黃水山
(福建泉州第五中學(xué), 福建 泉州 362000)
構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察,深入的思考,構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問(wèn)題得以解決.構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富,沒有完全固定的模式可以套用,它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ),針對(duì)具體的問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法.其基本的方法是:借用一類問(wèn)題的性質(zhì),來(lái)研究另一類問(wèn)題的思維方法.
構(gòu)造法;初等數(shù)學(xué)
在解題過(guò)程中,若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí),可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn),展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍,運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一,同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助.本文就從以下幾點(diǎn)談?wù)勗跀?shù)學(xué)解題過(guò)程中如何使用構(gòu)造法.
(tanα-tanβ)2≥(tanγ-2tanα)(2tanβ-tanγ).
證明構(gòu)造方程
(tanγ-2tanα)x2-2(tanα-tanβ)x+(2tanβ-tanγ)=0(*).
(1)tanγ-2tanα=0時(shí),
∵(tanα-tanβ)2≥0,
∴不等式成立.
(2)tanγ-2tanα≠0時(shí)
當(dāng)x=-1時(shí),
(tanγ-2tanα)+2(tanα-tanβ)+(2tanβ-tanγ)=0,
說(shuō)明形如:
B2-AC≥0(或≤0)型不等式的證明可嘗試用構(gòu)造二次方程的方法來(lái)解.
例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0求證:x,y,z成等差數(shù)列.
分析拿到題目感到無(wú)從下手,思路受阻.但我們細(xì)看,題設(shè)條件酷似一元二次方程根的判別式.這里a=x-y,b=z-x,c=y-z,于是可構(gòu)造方程(x-y)u2+(z-x)u+(y-z)=0.由已知條件可知方程有兩個(gè)相等根u1=u2.又顯然u=1是方程的根,故u1u2=1.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有即z-y=y-x,x+z=2y,∴x,y,z成等差數(shù)列.
遇到較為復(fù)雜的方程組時(shí),要指導(dǎo)學(xué)生會(huì)把難的先簡(jiǎn)單化,可以構(gòu)造出我們很熟悉的方程.
例3 設(shè)a1,a2,…,an(n≥2)都大于-1且同號(hào),求證:
(1+a1)(1+a2)…(1+an)>1+a1+a2+…+an.
證明構(gòu)造數(shù)列:xn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)-(1+a1+a2+…+an),
則xn+1-xn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)an+1-an+1
=an+1[(1+a1)(1+a2)…(1+an)-1](n≥2).
若ai>0(i=1,2,…,n+1),則易知xn+1-xn>0;
若-1 又-1 因此,對(duì)一切n≥2,有xn+1>xn.但 x2=(1+a1)(1+a2)-1-a1-a2=a1a2>0, 所以,對(duì)一切n≥2,xn>x2>0,從而原不等式成立. 說(shuō)明涉及與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明時(shí),可以用數(shù)學(xué)歸納法,但若用構(gòu)造遞增(或遞減)數(shù)列的方法,有時(shí)會(huì)更簡(jiǎn)便一些. 例4 已知銳角α,β,γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1, 證明如右圖所示,構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1,其長(zhǎng),高,寬分別為a,b,c,其一對(duì)角線B1D與棱BB1,A1B1,B1C1的夾角分別為α,β,γ, ∴cotα·cotβ·cotγ ∴cotα·cotβ·cotγ 說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的思想非常重要,在用數(shù)形結(jié)合時(shí)要記住一些常有的結(jié)論. 例2 解不等式||x-5|-|x+3||<6. 分析對(duì)于這類題目的一般解法是分區(qū)間求解,這是比較繁雜的.觀察本題條件可構(gòu)造雙曲線,求解更簡(jiǎn)捷. 解設(shè)F(-3,0),F(xiàn)(5,0),則|F1F2|=8,F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為O(1,0),又設(shè)點(diǎn)P(x,0).當(dāng)x的值滿足不等式條件時(shí),P點(diǎn)在雙曲線的外部, ∴1-3 說(shuō)明運(yùn)用構(gòu)造法就可以避免了煩雜的分類討論,使解題方便得多了,引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)運(yùn)用到解決問(wèn)題上來(lái). 例1 已知0 證明將x視為變量,y、z視為常量,將不等式左邊整理得:x(1-y-z)+z+y(1-z). 構(gòu)造函數(shù): f(x)=x(1-y-z)+z+y(1-z),x∈(0,1), 由題意知,現(xiàn)只需證:f(x)<1. ∵f(0)=z+y(1-z) f(1)=1-yz<1, ∴當(dāng)0 即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 說(shuō)明對(duì)于多變量的不等式證明,方法較難把握.這時(shí)可固定某些變量,再通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到解題的目的. 易證f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù),所以有 說(shuō)明構(gòu)造一個(gè)函數(shù),使原不等式(或經(jīng)變形后)的左右兩邊具備函數(shù)的特性(如:?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性等),再利用這些性質(zhì)就可以證明不等式. 數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體,它的各部分之間有著緊密的聯(lián)系,構(gòu)造法作為一個(gè)數(shù)學(xué)方法,需要勤于觀察,善于聯(lián)想,勇于探索,大膽設(shè)計(jì),才能在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的同時(shí),培養(yǎng)自己的創(chuàng)造能力.通過(guò)上面幾個(gè)例題,可見其在解題中的重要性,作為培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維的重要工具,在將應(yīng)試教育轉(zhuǎn)向素質(zhì)教育的今天,有著光明的發(fā)展前途. [1]于慶.淺析“構(gòu)造法”在初等數(shù)論中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(21):69. [2]肖鋒.巧用定積分構(gòu)造和證明的一系列不等式[J].青少年日記:教育教學(xué)研究,2015(11):118-119. G632 A 1008-0333(2017)22-0035-02 黃水山(1974.4-),男,福建泉州人,中學(xué)高級(jí)教師,本科,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué). 責(zé)任編輯:楊惠民]三、構(gòu)造圖形
四、構(gòu)造函數(shù)
——泉州宋船