孫智斌

(山東省臨沂第一中學(xué),山東 臨沂 276000)

研究高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用

孫智斌

(山東省臨沂第一中學(xué),山東 臨沂 276000)

數(shù)學(xué)科目是高中階段的重要學(xué)科之一，并且高中數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)復(fù)雜、難懂.所以為了能夠提高數(shù)學(xué)題解題的速度與效率，本文將針對(duì)高中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用進(jìn)行分析.

高中數(shù)學(xué)；三角形；函數(shù)；整體思想

在解答高中數(shù)學(xué)題的過程中，積極地運(yùn)用整體思想，有助于提高解題的速度與準(zhǔn)確性，改善學(xué)生自身的數(shù)學(xué)解題能力.

一、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題中整體思想的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)難點(diǎn)，很多同學(xué)在學(xué)習(xí)該部分知識(shí)的時(shí)候都會(huì)被復(fù)雜的問題所難到.不過，只要掌握了三角函數(shù)的知識(shí)要點(diǎn)，在解題中充分地運(yùn)用整體思想，所有的難題都會(huì)被迎刃而解.

例題1 求函數(shù)f(x)=sinxcosx/(1+sinx+cosx)的值域.

分析在該題的解答中，面對(duì)如此復(fù)雜的三角函數(shù)，我們首先應(yīng)該想到的就是利用整體思想進(jìn)行換元，重新構(gòu)建簡(jiǎn)單的新函數(shù)，進(jìn)行問題的處理.

又因?yàn)閟inx+cosx=t,所以sinxcosx=(t2-1)/2 ②.

將①②式代入到f(x)=sinxcosx/(1+sinx+cosx)中進(jìn)行整體換元可得：

f(x)=[(t2-1)/2]/(1+t)=(t-1)/2.

分析在該題的解答中，依舊要從整體的思想去考慮，根據(jù)該題的形式，我首先想到了奇函數(shù)與函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì).另外，由于該題屬于分式類函數(shù)，所以在解答的過程中可以對(duì)最大值與最小值進(jìn)行整體處理，從而提高解題效率與準(zhǔn)確性.

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，g(x)=f(x)-1=(x+sinx)/(2x2+cosx)是奇函數(shù).

所以g(x)min+g(x)max=0.

然后將g(x)=f(x)-1代入g(x)min+g(x)max=0中，就可得到g(x)min+g(x)max=(m-1)+(M-1).

由此可知(m-1)+(M-1)=0,等價(jià)于m+M=2

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中整體思想的應(yīng)用

例題3 在x<0時(shí)，f(x)=x+1/x2-x-1/x的最小值為多少？

分析該題在解答中可以采用整體處理方法，將“x+1/x”作為整體，進(jìn)行整體換元.

解令t=x+1/x，因?yàn)閤<0，所以t≤-2.

所以f(x)=(x+1/x)2-(x+1/x)-2=t2-t-2=(t-1/2)2-9/4.

因?yàn)閠≤-2，所以當(dāng)t=-2的時(shí)候，函數(shù)f(x)存在最小值，且f(x)min=4.

三、高中數(shù)學(xué)幾何問題中整體思想的應(yīng)用

幾何數(shù)學(xué)知識(shí)是高考必考重點(diǎn)知識(shí)，因此在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中必須重視幾何問題的解答.由于當(dāng)前數(shù)學(xué)習(xí)題多數(shù)都是由各種知識(shí)組合而成，因此要想提高幾何問題的解題準(zhǔn)確性，就必須大膽地運(yùn)用整體思想.

例題4 現(xiàn)再已知有一個(gè)點(diǎn)P(x0,y0)和一條直線Ax+By+C=0，問點(diǎn)到直線的距離是多少？

解首先，設(shè)直線l的方程為B(x-x0)-A(y-y0)=0 ①.

再把直線l的方程改寫為A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C) ②.

對(duì)①②式進(jìn)行整理，然后代入點(diǎn)到直線的公式可得

例題5 已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2=6x-4y-9，問2x-3y的最大值和最小值的和應(yīng)該是多少？

分析通過分析辨別這個(gè)方程我們可以發(fā)現(xiàn)，該方程屬于圓的方程，在解題的過程中十分適用與整體換元法進(jìn)行解題，所以可以設(shè)2x-3y=k，那么就存在2x-3y-k=0這個(gè)等式.此時(shí)可以把該等式看做是一條直線方程，那么k的最值就應(yīng)該在直線與圓相切的時(shí)候才能得到.

解x2+y2=6x-4y-9整理可得(x-3)2+(y+2)2=4 ①.

然后假設(shè)2x-3y=k②.

等價(jià)于k2-24k+92=0 ③.

此時(shí)2x-3y的最值分別是方程③式中的兩個(gè)根.

然后根據(jù)韋達(dá)定理可以得:k1+k2=24.

所以2x-3y的最值之和就是24.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)題解答的過程中積極地運(yùn)用整體思想，不僅可以降低解題的難度，還有助于提高解題的速度與準(zhǔn)確性，因此十分具有使用價(jià)值.

[1]高梓銘.試論如何提高數(shù)學(xué)解題速度[J].科學(xué)咨詢(教育科研)，2017(01).

[2]袁雙華.淺論如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)新思維[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2016(35).

[3]石有菊.提高中職學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的策略[J].科學(xué)咨詢(科技·管理)，2013(02).

G632

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1008-0333(2017)22-0013-02

2017-06-01

孫智斌(2000.2- )，男，漢族，山東省臨沂人，高中在讀.

責(zé)任編輯：楊惠民]