李晶平

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用

李晶平

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

以一元函數(shù)為例擴(kuò)展到多元函數(shù),討論多元函數(shù)的全微分,自變量由空間的直線、平面擴(kuò)展到空間球域.了解全微分后，討論偏導(dǎo)數(shù)的定義及微分和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.多元函數(shù)的隱函數(shù)是多元函數(shù)微分的重要部分,其中會用到偏導(dǎo)數(shù).由多元函數(shù)的一階泰勒公式,引出了應(yīng)用廣泛的Hessian矩陣,從而也導(dǎo)出多元函數(shù)的多階泰勒公式.

偏導(dǎo)數(shù);隱函數(shù);泰勒公式

求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法與一元函數(shù)求導(dǎo)方法相類似，只要將n個自變量中的某一個看作變量,其余n-1個看成常量然后對其進(jìn)行求導(dǎo)便可.多元函數(shù)的隱函數(shù)可通過雅克比矩陣的非奇異性給出隱函數(shù)存在性定理，再由映射知識可推出m個m+n元函數(shù)的隱函數(shù).

一、多元函數(shù)的全微分

Δy=f(X0+ΔX)-f(X0)=lX0(ΔX)+ο(‖ΔX‖).

(1)

Δy-ο(‖ΔX‖)=dy=lX0(ΔX)=A(Δx1,Δx2,…,Δxn)T=a1Δx1+…+anΔxn.

二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

有時也可記作yxi′或fxi′.求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法與一元函數(shù)求導(dǎo)方法相同,將n個自變量中的某個看作變量,其余n-1個看作常量,然后對它進(jìn)行求導(dǎo).

注：上述定理的逆定理不成立,可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在,但偏導(dǎo)數(shù)存在不能確定函數(shù)是否可微.

三、多元函數(shù)的隱函數(shù)

一元函數(shù)解析表達(dá)式有顯示和隱式兩種,設(shè)D和E為R的兩個區(qū)域,二元函數(shù)f(x,y)在D×E上有定義,若是對于任意一點(diǎn)x∈D,存在唯一一個y∈E使得f(x,y)=0,這樣我們就說方程f(x,y)=0確定了一個由D到E的隱函數(shù),或者說由f(x,y)=0,可解出y=u(x),即f(x,u(x))=0,?x∈D.同理,對多元函數(shù)來說有時也可用方程F(x1,x2,…,xn,y)=0來確定隱函數(shù).但是每個多元函數(shù)它們都存在隱函數(shù)嗎，若存在隱函數(shù)又該滿足什么條件，下面將給出隱函數(shù)存在的定理.

四、多元函數(shù)的泰勒公式

設(shè)n元函數(shù)y=f(X)=f(x1,x2,…,xn)在點(diǎn)X0可微，則在點(diǎn)X0附近的y可表示為

f(X)=f(X0)+f(X0)·ΔX+ο(‖ΔX‖)，

其中ΔX=X-X0,f(X0)=(…,

1.多元函數(shù)的一階泰勒公式

(3)

其中X=X0+ΔX,ΔX=(Δx1,Δx2,…,Δxn)T,

則(3)式稱為一階泰勒公式,H為f的Hessian矩陣.

2.多元函數(shù)的多階泰勒公式

例求f(x,y)=xy在點(diǎn)(1,4)的二階Taylor公式,并用它計(jì)算(1.08)3.96.

解fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx2(x,y)=y(x,y)xy-2,fy2(x,y)=xy(lnx)2.

將上面的式子代入泰勒公式后,xy=1+4(x-1)+6(y-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+ο(ρ2).

略去余項(xiàng)后令x=1.08,y=3.96,則有(1.08)3.96≈1+4×0.08+6×(1.08)2-0.08×0.04=1.3552.

本文探討了多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用,從多元函數(shù)的全微分開始,研究了其偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系.通過研究其偏導(dǎo)數(shù)引出多元函數(shù)的隱函數(shù),進(jìn)而將其隱函數(shù)廣泛應(yīng)用到幾何問題求解中.通過多元函數(shù)的泰勒公式,能更好地解決復(fù)雜函數(shù),更能為復(fù)雜計(jì)算提供良好方法.

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]馬富民,高文杰.數(shù)學(xué)分析(第二冊)[M].北京:高等教育出版社,2005.

G632

A

1008-0333(2017)22-0010-02

2017-06-01

李晶平(1992.9-)，女，漢族，山西忻州人，研究生在讀,助教，從事科學(xué)技術(shù)史.

責(zé)任編輯：楊惠民]