趙春琴

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

含參不等式恒成立問題的解法研究

趙春琴

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

含參不等式恒成立問題將函數(shù)、不等式、幾何等知識(shí)結(jié)合在一起．本文從含參不等式恒成立的解決思路與基本方法兩個(gè)方面做了簡(jiǎn)要闡述.求解這類問題會(huì)涉及分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

參數(shù)；不等式；函數(shù)法

含參不等式恒成立問題把函數(shù)、方程和不等式綜合起來進(jìn)行考查，并且與方程的解、參數(shù)的取值和函數(shù)的最值緊密相連，知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、解法靈活．本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)，舉例說明幾種常見的求解這類問題的方法，其中涉及分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸及轉(zhuǎn)化等思想.

一、中學(xué)中常見的解題方法

1.變換主元法

對(duì)于一次函數(shù)f(x)=kx+b，x∈[m,n]，有f(x)>0?f(m)>0且f(n)>0；f(x)<0 ?f(m)<0且f(n)<0．

例1 當(dāng)-1≤m≤1，不等式3x-2>m(x2-2)恒成立，求x的范圍．

解我們可以用變換主元的方法，將m視為主元，即將不等式化為m(x2-2)-(3x-2)<0，

評(píng)注本題看上去是一個(gè)不等式問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，就把它轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的一次函數(shù)，再利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出解集.

2.判別式法

例2 若不等式-x2-2(m+1)x-3≤0對(duì)于全部實(shí)數(shù)x恒成立，求m的范圍．

評(píng)注運(yùn)用判別式法解決含參不等式恒成立問題，定義域必須是R.求解這類問題時(shí)，要利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式，其中二次項(xiàng)系數(shù)分兩種情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)時(shí)，則可以直接求解；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

3.最值法

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x+2，如果xf′(x)≤2x2-ax-1在x>0時(shí)恒成立，求a的范圍．

評(píng)注在利用函數(shù)最值求解此類恒成立問題時(shí)，要注意區(qū)間D是開區(qū)間還是閉區(qū)間，如果是開區(qū)間，則函數(shù)可能無法取到最值，此時(shí)就只能取函數(shù)在此區(qū)間上值域的“臨界值”，但在某些問題中，原不等式不能直接求出最值，需要借助導(dǎo)數(shù).

4.分離變量法

參數(shù)分離法主要是把恒成立不等式F(x,m)≥0(或≤0)(x∈D,m為實(shí)參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來，另一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題.

解對(duì)任意x∈(-,-1]，f(x)=<0恒成立轉(zhuǎn)化為在區(qū)間(-,-1]上，3x2-6x-m>0恒成立．即m<3x2-6x恒成立．

評(píng)注利用分離變量法解含參不等式恒成立問題，前提是參數(shù)比較容易從式子中分離出來．

5.數(shù)形結(jié)合法

(1)若f(x)>g(x)，則函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方；

(2)若f(x)

例5 當(dāng)?x∈(2,3)時(shí)，不等式(x-2)2

解設(shè)f(x)=(x-2)2，g(x)=logax，則所求不等式等價(jià)于在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的下方．當(dāng)00，所以函數(shù)f(x)的圖象不可能恒在函數(shù)g(x)的圖象的下方，不合題意；當(dāng)a>1時(shí)，由函數(shù)圖象可知，在區(qū)間(2,3)上，要使不等式f(x)

評(píng)注對(duì)于不等式中的參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，就可試著運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，從圖象中可以直觀看出函數(shù)的增減性以及所求結(jié)果的對(duì)應(yīng)區(qū)間.

6.集合轉(zhuǎn)化方法

一般轉(zhuǎn)化原理是若f(x,m)>g(x,m)的解集是M，則?x∈D，使得f(x,m)>g(x,m)?D?M.

例6 已知不等式a-3x>x-1，對(duì)?x∈[1,2]恒成立，求a的范圍.

評(píng)注某些含參不等式比較容易求出解集，可以運(yùn)用逆向思維，即利用集合間相互包含的關(guān)系，推算出端點(diǎn)值的范圍.

7.根的分布法

當(dāng)含參不等式恒成立問題只是對(duì)部分區(qū)間成立時(shí)，需要研究它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與其方程的根；通過函數(shù)值的符號(hào)和根的分布位置，建立一個(gè)符合條件的不等式組.

例7 設(shè)f(x)=x2+2mx+6-m，若x∈[-1,1]，f(x)≥0恒成立，求m的范圍．

評(píng)注利用根的分布法求參數(shù)的取值范圍，要注意判別所對(duì)應(yīng)函數(shù)的形式.

三、對(duì)含參不等式恒成立問題解法的思考

本文通過典型例題的講解，歸納總結(jié)出七種解題方法．但在這些方法中，它們的共同點(diǎn)就是構(gòu)造新的函數(shù)，一般都是之前掌握的基本初等函數(shù)，再利用所構(gòu)造函數(shù)的圖象或性質(zhì)來解題．因?yàn)榉匠獭⒑瘮?shù)、不等式是三位一體的東西，從三者之間的聯(lián)系可以看出，方程或不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題有點(diǎn)困難，反過來，函數(shù)問題變?yōu)榉匠袒虿坏仁絾栴}較為容易．因?yàn)樗鶚?gòu)造的函數(shù)并不唯一，而函數(shù)形式的選擇又會(huì)直接影響到解題方法的難易程度，因此將方程或不等式問題正確地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，就需要認(rèn)真把握方程或不等式的結(jié)構(gòu)，選擇合適的函數(shù)形式才是處理這類問題的關(guān)鍵．

[1]范運(yùn)靈.不等式恒成立問題的幾種求解策略[J]理科考試研究:高中版,2012(9):14-15.

[2]吳丹丹.高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的探究[J]中學(xué)教學(xué)參考,2014(17):35-37.

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1008-0333(2017)22-0006-02

趙春琴(1992.6-)，女，漢族，山西朔州人，研究生在讀,助教，從事科學(xué)技術(shù)史.

責(zé)任編輯：楊惠民]