耿林玉,吳 楠,孟凡坤,韓佳穎

(1.解放軍信息工程大學(xué),河南 鄭州 450001;2.96669部隊(duì),北京 102208)

基于非對(duì)稱交互多模型算法的上升段彈道估計(jì)

耿林玉1，2,吳 楠1,孟凡坤1,韓佳穎2

(1.解放軍信息工程大學(xué),河南 鄭州 450001;2.96669部隊(duì),北京 102208)

彈道導(dǎo)彈上升段涵蓋助推段和自由段,動(dòng)力特征復(fù)雜,傳統(tǒng)跟蹤算法難以獲得其全程穩(wěn)定高精度的彈道估計(jì)。對(duì)此提出一種用于上升段彈道估計(jì)的自適應(yīng)非對(duì)稱交互多模型算法,模型集由三維當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型和精確動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建,并對(duì)模型狀態(tài)矢量進(jìn)行統(tǒng)一。仿真結(jié)果表明,算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)導(dǎo)彈上升段穩(wěn)定高精度跟蹤以及關(guān)機(jī)點(diǎn)的有效檢測(cè),與傳統(tǒng)CS算法相比較,自由段彈道估計(jì)精度提高68.9%,且可有效檢測(cè)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)模式切換,檢測(cè)延遲小于2s,滑行段暫態(tài)誤差降低79.5%。

機(jī)動(dòng)彈道估計(jì); 非對(duì)稱交互多模型; 機(jī)動(dòng)檢測(cè); 穩(wěn)定跟蹤

吳 楠(1984-),男,博士,講師。

孟凡坤(1963-),男,碩士,教授。

韓佳穎(1985-),女,碩士,工程師。

隨著探測(cè)技術(shù)的最新發(fā)展,各國(guó)導(dǎo)彈防御體系紛紛謀求上升段預(yù)警攔截,與此同時(shí),導(dǎo)彈上升段復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)特性給導(dǎo)彈防御體系的探測(cè)、跟蹤、落點(diǎn)預(yù)報(bào)帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)[1-4],因此開(kāi)展上升段彈道估計(jì)算法的研究,對(duì)于重構(gòu)導(dǎo)彈防御體系極為迫切。

機(jī)動(dòng)彈道估計(jì)算法也稱機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法,目前主要分為兩類(lèi):單模型算法和多模型算法[5-6](Multiple Model,MM)。彈道上升段既包含助推段,又包含一部分自由段,通過(guò)仿真[4]可知,基于單模型算法的機(jī)動(dòng)彈道估計(jì)無(wú)法兼顧機(jī)動(dòng)段與非機(jī)動(dòng)段的估計(jì)精度,因此單模型算法不適用于上升段的彈道估計(jì)。

目前針對(duì)導(dǎo)彈上升段的彈道估計(jì)研究較少,探索新的多模型算法必將是主流趨勢(shì)。多模型算法的總體思想是將機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤描述為一個(gè)混合估計(jì)問(wèn)題,其最大的特點(diǎn)就是引入了模型概率的概念:多個(gè)子模型濾波器并行工作,當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式改變時(shí),通過(guò)模型概率的變化實(shí)現(xiàn)模型權(quán)重的轉(zhuǎn)換,以多個(gè)模型的加權(quán)和作為目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。

多模型算法的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段[7]:靜態(tài)多模型,交互多模型(Interacting Multiple Model,IMM)和變結(jié)構(gòu)交互多模型。其中以基于IMM估計(jì)的應(yīng)用最為廣泛,該算法在多模型的基礎(chǔ)上,假設(shè)不同模型之間的轉(zhuǎn)移服從已知轉(zhuǎn)移概率的有限態(tài)馬爾可夫鏈,考慮多個(gè)模型間的交互作用,從而得出目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。IMM實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)跟蹤的同時(shí)兼顧了估計(jì)性能與計(jì)算效率[8-10],被認(rèn)為是最有效的混合估計(jì)方案。

本文針對(duì)彈道導(dǎo)彈上升段的復(fù)雜機(jī)動(dòng)特性,基于IMM提出一種自適應(yīng)非對(duì)稱IMM彈道估計(jì)算法,使用精確動(dòng)力學(xué)模型和三維當(dāng)前統(tǒng)計(jì)模型[6](Current Statistical Model,CS)構(gòu)成運(yùn)動(dòng)模型集,并對(duì)兩者的狀態(tài)矢量和協(xié)方差矩陣進(jìn)行維數(shù)統(tǒng)一。通過(guò)兩個(gè)子濾波器狀態(tài)估計(jì)的組合得到整體的狀態(tài)估計(jì),以此減小估計(jì)過(guò)程中因模型不確定性造成的估計(jì)誤差。

仿真表明,與基于單個(gè)CS算法的上升段彈道估計(jì)相比,自適應(yīng)非對(duì)稱IMM算法不僅實(shí)現(xiàn)了助推段的穩(wěn)定跟蹤,減小了自由段的估計(jì)誤差,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了模型的自由切換,對(duì)導(dǎo)彈滑行段進(jìn)行了有效檢測(cè),降低了滑行段暫態(tài)誤差,提高了關(guān)機(jī)點(diǎn)的估計(jì)精度。

1 非對(duì)稱交互多模型算法

1.1 模型集構(gòu)建

彈道上升段既包含助推段,又包含一部分自由段。其中助推段內(nèi)導(dǎo)彈受發(fā)動(dòng)機(jī)推力、二體引力和非球體攝動(dòng)力作用,機(jī)動(dòng)特性明顯;自由段內(nèi)導(dǎo)彈僅受地球的二體引力和非球體攝動(dòng)力作用,保持自由飛行狀態(tài),運(yùn)動(dòng)規(guī)律性強(qiáng)。

針對(duì)上升段的特性,本文選擇多模型算法進(jìn)行彈道估計(jì),助推段采用三維CS,自由段采用基于J2攝動(dòng)的精確動(dòng)力學(xué)模型,二者共同構(gòu)成IMM的模型集。這兩個(gè)模型經(jīng)常應(yīng)用于彈道估算,但因其目標(biāo)狀態(tài)矢量和協(xié)方差矩陣維數(shù)不同,鮮有文獻(xiàn)將其二者構(gòu)成模型集,因此本文著重講解如何進(jìn)行維數(shù)統(tǒng)一,兩個(gè)子模型的構(gòu)建算法不再贅述。

1.2 維數(shù)統(tǒng)一

本算法關(guān)鍵是要解決非對(duì)稱問(wèn)題:IMM最終輸出的目標(biāo)狀態(tài)矢量為九維,其中基于三維CS彈道估計(jì)的狀態(tài)矢量為九維,其協(xié)方差矩陣為9階;但基于精確動(dòng)力學(xué)模型彈道估計(jì)的狀態(tài)矢量為六維,其協(xié)方差矩陣為6階。因此,為實(shí)現(xiàn)狀態(tài)估計(jì)的交互,需將兩個(gè)子模型濾波輸出的目標(biāo)狀態(tài)矢量和協(xié)方差矩陣在交互前進(jìn)行維數(shù)統(tǒng)一。

思路有兩種:1)對(duì)基于三維CS估計(jì)的狀態(tài)矢量和協(xié)方差矩陣進(jìn)行降維;2)對(duì)基于精確動(dòng)力學(xué)模型估計(jì)的狀態(tài)矢量和協(xié)方差矩陣進(jìn)行維數(shù)擴(kuò)展。 考慮到后續(xù)需從交互后的目標(biāo)狀態(tài)矢量和協(xié)方差矩陣中提取子模型輸入,第一種方法需要經(jīng)過(guò)兩次復(fù)雜的維數(shù)變換,計(jì)算量過(guò)大。本文選擇對(duì)基于精確動(dòng)力學(xué)模型的彈道估計(jì)進(jìn)行維數(shù)擴(kuò)展,以統(tǒng)一非對(duì)稱模型的維數(shù)。對(duì)基于精確動(dòng)力學(xué)模型的機(jī)動(dòng)彈道估計(jì)算法增加變維方程:

X2(k)=g(k,X1(k))

(1)

對(duì)導(dǎo)彈在精確動(dòng)力學(xué)模型中的目標(biāo)狀態(tài)方程進(jìn)行推導(dǎo)得向量g:

(2)

其中:

(3)

計(jì)算向量g的雅各比矩陣k時(shí)刻在最近的狀態(tài)估計(jì)取值gx(k),用gx(k)對(duì)P1(k)進(jìn)行擴(kuò)展得到九維的協(xié)方差矩陣:

(4)

由此精確動(dòng)力學(xué)模型的維數(shù)得到擴(kuò)展,此時(shí)交互多模型具有九維目標(biāo)狀態(tài)矢量,所得估計(jì)結(jié)果中包含加速度估計(jì)值。

需要注意的是,在進(jìn)行EKF濾波時(shí),精確動(dòng)力學(xué)模型的目標(biāo)狀態(tài)矢量需取交互后目標(biāo)狀態(tài)矢量的前六維,協(xié)方差矩陣需取交互后狀態(tài)矢量協(xié)方差矩陣的前6×6部分。

1.3 濾波初始化

采用三維CS與精確動(dòng)力學(xué)模型作為子模型構(gòu)成多模型算法的模型集后,本文采用擴(kuò)展卡爾曼濾波[8](Extended Kalman Filtering,EKF),分別對(duì)兩者進(jìn)行濾波,繼而對(duì)所得狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行交互。

考慮EKF與三維CS濾波初始化時(shí)采用的觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不同,為實(shí)現(xiàn)子模型的并行工作,對(duì)模型的濾波初始化做出一些改變。

從k=4時(shí)刻統(tǒng)一開(kāi)始進(jìn)行兩個(gè)模型的計(jì)算和交互,用兩模型交互后的所得值作為濾波的初始化輸入數(shù)據(jù)。

1.4 算法流程

經(jīng)典IMM算法是在多模型算法的基礎(chǔ)上增加馬爾科夫轉(zhuǎn)移,考慮多個(gè)模型的交互作用根據(jù)似然函數(shù),計(jì)算每一個(gè)模型的正確概率,以多個(gè)模型的加權(quán)和作為目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。

本文算法在經(jīng)典IMM的基礎(chǔ)上,解決了子模型間維數(shù)不同的問(wèn)題,即在對(duì)子模型的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行交互前,對(duì)模型維數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)一,總體思想如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)非對(duì)稱交互多模型算法示意圖

算法從k時(shí)刻到k+1時(shí)刻遞推過(guò)程如下:

1)狀態(tài)交互

(5)

(6)

其中,

(7)

2)模型條件濾波

3)模型可能性計(jì)算

若模型i濾波殘差為vi(k+1),相應(yīng)協(xié)方差為Si(k+1),并假定服從高斯分布,使用Λ(k)表示模型可能性向量,則模型i的概率為

(8)

其中,

(9)

4)模型輸出

(10)

(11)

由算法流程可知,IMM有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)——依據(jù)模型概率可以判斷目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。分析可知,非機(jī)動(dòng)狀態(tài)下基于精確動(dòng)力學(xué)模型的彈道估計(jì)結(jié)果精確性更高,因此其概率應(yīng)明顯大于基于三維CS的機(jī)動(dòng)彈道估計(jì);同理,當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)后者的模型概率顯著增加并超過(guò)前者。

2 仿真與結(jié)果分析

2.1 參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證算法有效性,利用一條已知彈道數(shù)據(jù)的7000km射程彈道導(dǎo)彈彈道進(jìn)行仿真。根據(jù)采樣點(diǎn),用樣條擬合法估計(jì)出采樣值之間的航跡,得到地固系中上升段三維彈道曲線如圖2,求速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得x,y,z三軸方向上的加速度——時(shí)間曲線如圖2。

根據(jù)彈道軌跡,將地基雷達(dá)設(shè)置在L=5°,B=3°,H=0,觀測(cè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σR=100m,σA=0.01deg,σE=0.01deg,觀測(cè)間隔T=0.1s。根據(jù)地基雷達(dá)與彈道的幾何關(guān)系及雷達(dá)探測(cè)模型獲得雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)的真值如圖3、4所示。

圖2 導(dǎo)彈上升段三維彈道曲線

由圖3可知,導(dǎo)彈在X軸方向平均加速度最小,機(jī)動(dòng)性較弱,在Z軸方向上最大加速度達(dá)到96m/s2,機(jī)動(dòng)性最強(qiáng)。

由圖4可知,該雷達(dá)可完整跟蹤上升段彈道,探測(cè)過(guò)程中,斜距先變小再變大,同時(shí)俯仰角先變大再變小,說(shuō)明彈頭相對(duì)于雷達(dá)先接近再遠(yuǎn)離,兩者斜距最小為295.1km,最大為3320.8km。

圖3 上升段axayaz隨時(shí)間變化的曲線

圖4 雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)真值

為方便計(jì)算,截取100s～400s上升段數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真。在這300s內(nèi),124s時(shí)二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī),經(jīng)歷2s滑行段后,126s時(shí)三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī),179s時(shí)三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī),至此,助推段結(jié)束,自由段開(kāi)始。

針對(duì)上述場(chǎng)景,分別采用單個(gè)傳統(tǒng)CS算法和本文算法進(jìn)行彈道估計(jì),以驗(yàn)證算法有效性。兩種算法參數(shù)設(shè)置如下:

1)傳統(tǒng)CS算法參數(shù)設(shè)置

機(jī)動(dòng)頻率0.01,最大加速度200m/s2。

2)非對(duì)稱IMM算法參數(shù)設(shè)置

模型轉(zhuǎn)移概率

模型初始概率

μ0=[0.5 0.5]

其中CS模型的機(jī)動(dòng)頻率為0.01,最大加速度為200m/s2,與用單個(gè)CS算法仿真時(shí)參數(shù)設(shè)置相一致,保證兩次仿真的可比性。

2.2 結(jié)果分析

根據(jù)所設(shè)條件,利用上述兩種算法進(jìn)行估計(jì),Monte Carlo仿真1000次,獲得兩種算法的位置、速度、加速度均方根誤差(RMSE)如圖5至7所示,圖中,實(shí)線代表本文算法結(jié)果,虛線代表三維CS算法結(jié)果。圖8為本文算法中兩個(gè)子模型的平均概率曲線。

圖5 位置估計(jì)RMSE

圖6 速度估計(jì)RMSE

圖7 加速度估計(jì)RMSE

圖8 模型平均概率

圖5給出了兩種算法的位置估計(jì)RMSE。由圖可知,經(jīng)2s濾波穩(wěn)定后,在助推段,本文算法在X軸、Y軸上的位置估計(jì)誤差與三維CS算法相當(dāng),其中Z軸方向上因?qū)棛C(jī)動(dòng)性強(qiáng),加速度較大,本文算法中精確動(dòng)力學(xué)模型的影響增大,導(dǎo)致其估計(jì)誤差略大于三維CS算法;在自由段,本文算法的估計(jì)誤差明顯小于三維CS算法,截至觀測(cè)結(jié)束,本文算法的位置估計(jì)誤差較三維CS算法,在X、Y、Z方向上分別下降了35.80%、34.85%、34.69%。

圖6給出了兩種算法的速度估計(jì)RMSE?？煽闯?本文算法在速度估計(jì)上的優(yōu)勢(shì)更明顯:經(jīng)2s濾波穩(wěn)定后,助推段內(nèi),本文算法在X、Y方向上的速度估計(jì)誤差與三維CS算法相當(dāng),同樣,Z軸方向上因?qū)棛C(jī)動(dòng)性強(qiáng),精確動(dòng)力型模型的影響增大,導(dǎo)致助推段本文算法Z軸上的速度估計(jì)誤差略大于三維CS算法;而在自由段,本文算法的優(yōu)勢(shì)明顯,估計(jì)誤差在X、Y、Z軸上分別下降了70.07%、67.64%、67.66%。

圖7給出了兩種算法的加速度估計(jì)RMSE?？煽闯?本文算法在加速度估計(jì)上效果最好,經(jīng)2s濾波穩(wěn)定后,助推段內(nèi),本文算法在X軸方向上的加速度估計(jì)誤差與三維CS算法相當(dāng),Y軸、Z軸上因?qū)棛C(jī)動(dòng)性強(qiáng),本文算法中精確動(dòng)力學(xué)模型的影響增大,誤差略大于三維CS算法;進(jìn)入自由段后,本文算法的加速度估計(jì)誤差明顯下降,截至觀測(cè)結(jié)束,較CS算法,在X、Y、Z軸上分別下降了84.01%、82.69%、82.10%。

同時(shí)由圖5至7可看出,由于采用多模型決策,本文算法的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于三維CS算法。在124s二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)、176s三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)的這兩個(gè)時(shí)刻,CS算法均產(chǎn)生較大的暫態(tài)誤差,而本文算法平穩(wěn)性明顯較好,比如速度估計(jì)誤差分別下降了34.7%、79.5%。

圖8為本文算法中,兩個(gè)子模型的平均概率曲線。由圖可知,助推段內(nèi)CS模型的平均概率高達(dá)0.8,明顯大于精確動(dòng)力學(xué)模型,自由段內(nèi)精確動(dòng)力學(xué)模型的平均概率高達(dá)0.8,明顯大于CS模型。該結(jié)果與實(shí)際相符:助推內(nèi),CS模型更契合導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)特性,因此CS模型對(duì)估計(jì)結(jié)果起主要作用;自由段內(nèi),精確動(dòng)力學(xué)模型更契合導(dǎo)彈的非機(jī)動(dòng)特性,因此其對(duì)估計(jì)結(jié)果起主要作用。由此說(shuō)明,本文算法不僅能全程跟蹤上升段彈道,更能通過(guò)概率曲線判斷導(dǎo)彈的飛行狀態(tài),為進(jìn)一步研究提供更多參數(shù)。

圖8中126s-128s時(shí),模型概率發(fā)生快速轉(zhuǎn)變:CS模型的概率快速下降至0.3,EKF模型的概率快速上升至0.7。該轉(zhuǎn)變表明算法檢測(cè)出了124s-126s導(dǎo)彈短暫的滑行段,且模型切換延遲控制在了2s內(nèi),此時(shí)二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī),三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)還未開(kāi)啟,子模型概率的快速切換與導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)特性相符。由此可得,本文算法的快速響應(yīng)能力較好。

綜上,基于非對(duì)稱IMM算法的機(jī)動(dòng)彈道估計(jì)不僅實(shí)現(xiàn)了彈道導(dǎo)彈整個(gè)上升段的穩(wěn)定跟蹤,且與傳統(tǒng)的三維CS算法相比,自由段彈道估計(jì)精度提高了68.9%,且可有效檢測(cè)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)模式切換,檢測(cè)延遲小于2s,實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)彈滑行段的精確檢測(cè),滑行段暫態(tài)誤差降低79.5%。

3 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)彈道導(dǎo)彈的上升段彈道估計(jì)中,基于單個(gè)模型無(wú)法實(shí)現(xiàn)彈道導(dǎo)彈上升段全過(guò)程穩(wěn)定跟蹤的問(wèn)題,本文提出了一種基于非對(duì)稱IMM的機(jī)動(dòng)彈道估計(jì)算法。該方法具有以下優(yōu)勢(shì):

1)實(shí)現(xiàn)了彈道導(dǎo)彈上升段的穩(wěn)定跟蹤,且較三維CS算法,自由段估計(jì)精度較提高了68.9%,二三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)時(shí)刻的暫態(tài)誤差分別下降34.7%、79.5%,算法穩(wěn)定性較好。

2)能有效檢測(cè)導(dǎo)彈的飛行狀態(tài),并通過(guò)概率曲線直觀反映,切換延遲控制在2s,快速響應(yīng)特征較好。

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Ascent Trajectory Estimation Based on Asymmetric Interacting Multiple Model Algorithm

GENG Lin-yu1,2,WU Nan1,MENG Fan-kun1,HAN Jia-ying2

(1.Information Engineering University,Zhengzhou 450001;2.the Unit 96669 of PLA,Beijing 102208,China)

The ballistic missile rising section includes both the boost and the free segment,its complex dynamic characteristic is difficult for single model to achieve precise and stable tracking.This paper presents an adaptive asymmetric multiple model algorithm for the estimation of the ascent trajectory,unifies the model state vector,the model set is constructed by three-dimensional current statistical model and accurate dynamic model.Simulation results show that,the algorithm realizes the high precision tracking of the rising segment of the missile and the effective detection of the shutdown point,compared with the traditional CS algorithm,the estimation accuracy of the free trajectory is improved by 68.9%,and can effectively detect the missile motion mode,the detection delay is less than 2S,the sliding section the transient error is reduced by 79.5%.

maneuver trajectory estimation; asymmetric interacting multiple model; maneuver detection; stably tracking

TJ761.；E927.13

A

10.3969/j.issn.1673-3819.2017.05.025

1673-3819(2017)05-0120-06

2017-01-09

2017-03-29

耿林玉(1989-),女,江蘇鹽城人,碩士,助理工程師,研究方向?yàn)榭仗炷繕?biāo)預(yù)警信息處理。