周 碩，白 媛

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

一類二次特征值反問題及其最佳逼近

周 碩，白 媛

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林 132012)

討論實(shí)雙反對稱矩陣和實(shí)雙對稱矩陣的二次特征值反問題及其最佳逼近問題，利用矩陣的奇異值分解，建立了二次特征值反問題解的充要條件，并給出了其解集的一般表達(dá)式。進(jìn)而考慮了其最佳逼近問題的存在性與唯一性，得到了最佳逼近解的表達(dá)式。

二次特征值反問題；雙對稱矩陣；雙反對稱矩陣；最佳逼近；奇異值分解

二次特征值反問題是近年來工程技術(shù)領(lǐng)域中研究和討論的重要課題之一。目前，二次特征值反問題的理論已被應(yīng)用到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[1]、阻尼系統(tǒng)的有限元模型修正[2-3]、阻尼振動系統(tǒng)的反問題[4-7]等領(lǐng)域中。

定義1 若A=(aij)∈Rn×n滿足aij=-aji，aij=-an-j+1，n-i+1，i， j=1，2，…，n，則稱A為雙反對稱矩陣，所有雙反對稱矩陣的全體構(gòu)成的集合記為ABSRn×n。

定義2 若A=(aij)∈Rn×n滿足aij=aji，aij=an-j+1，n-i+1，i，j=1，2，…，n，則稱A為雙對稱矩陣，所有雙對稱矩陣的全體構(gòu)成的集合記為BSRn×n。

本文主要討論如下問題：

(1)

令

(2)

X=[x1R，x1I，…，xlR，xlI，x2l+1，…，x2m]∈Cn×2m，

(3)

則問題1等價于

XΛ2+NXΛ+KX=0.

(4)

(5)

1 問題1的求解

引理1[8]已知Λ∈R2m×2m如公式(2)，則存在實(shí)反對稱矩陣H，使得HΛ=ΛTHT，并且H可表示為

(6)

引理2[9]已知G∈SRn×n，Λ∈Rn×n，存在反對稱矩陣NR∈ASRn×n，使GΛ2+NRΛ對稱當(dāng)且僅當(dāng)存在反對稱矩陣H，滿足HΛ=-ΛTH，使NR=ΛTG-GΛ+H。其中，H如公式(6)所示。

對矩陣X進(jìn)行奇異值分解

(7)

其中：

Q=(Q1，Q2)∈R2m×2m，Q1=(q1，q2，…，qr)∈R2m×r，Q2=(qr+1，qr+2，…，q2m)∈R2m×(2m-r).

令qj=(q1j，q2j，…，q2mj)T∈R2m，gj=GΛqj，j=r+1，r+2，…，2m；

(8)

(9)

(10)

證明 將矩陣X的奇異值分解公式(7)代入公式(4)，得

(11)

記

(12)

由矩陣對稱性及引理2，可將問題轉(zhuǎn)化為

(13)

(14)

公式(13)和公式(14)分別存在反對稱解和對稱解當(dāng)且僅當(dāng)存在反對稱矩陣H，使

Hqj=GΛqj，j=r+1，r+2，…，2m，

上式等價于

(15)

(16)

(17)

經(jīng)計(jì)算可得

(18)

其中：

U(1)∈OR(n-k)×(n-k)，U(2)∈ORk×k，ri=rank(Xi)，Σ1=diag(μ1，μ2，…，μri)>0，

令

應(yīng)用上述引理和定理1及矩陣的奇異值分解，可得問題1有解的條件及解的形式。

(19)

其中：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Σ1=diag{μ1，μ2，…，μr1}>0，Σ2=diag{υ1，υ2，…，υr2}>0，

2 最佳逼近解

引理3[10]設(shè)D1，D2，F(xiàn)1，F(xiàn)2∈Rm×n，Λ=diag{λ1，λ2，…，λm}∈Rm×m，則使得

成立的最佳逼近解為

記

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Abstract：The paper concerns the quadratic inverse eigenvalue problem of real double symmetric matrix and real double antisymmetric matrix and it’s optimal approximation problem.A necessary and sufficient condition for the solution of the quadratic inverse eigenvalue problem is constructed by singular value decomposition of matrix.the general expression of the solution to the problem is provided.Then the existence and uniqueness of the optimal approximation problem is discussed and the expression is provided for the optimal approximation problem.

Keywords：Inverse quadratic eigenvalue problem；Real symmetric matrix；Real anti-symmetric matrix；Optimal approximation；Singular value decomposition

AClassofInverseMonicQuadraticEigenvalueProblem

ZhouShuo，BaiYuan

(Science College，Northeast Electric Power University，Jilin Jilin 132012)

O241.6

A

2016-12-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11072085)；吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(201115180)

周 碩(1968-)，男，博士，教授，主要研究方向:科學(xué)與工程計(jì)算.

電子郵箱：：zhou-shuo@163.com(周碩)；1366039009@qq.com(白媛)

1005-2992(2017)05-0096-06