鄭興榮，宋小永，鄭燕飛，王 琪，姜 蓉

(隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

基于MATLAB的光傳播特性的數(shù)值計(jì)算

鄭興榮，宋小永，鄭燕飛，王 琪，姜 蓉

(隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000)

基于物理光學(xué)理論和麥克斯韋電磁理論，通過(guò)對(duì)波動(dòng)方程和菲涅耳公式的推導(dǎo)，研究了電矢量在介質(zhì)表面的光傳播特性。運(yùn)用Matlab軟件對(duì)光傳播特性進(jìn)行了數(shù)據(jù)計(jì)算和仿真模擬。結(jié)果表明：光在介質(zhì)面?zhèn)鞑r(shí)會(huì)引起反射和折射，光的反射和折射特性主要取決于電矢量的振動(dòng)；影響介質(zhì)面反射、折射特性的因素主要有三個(gè)，分別是入射角、介質(zhì)折射率和入射光的波動(dòng)特性；利用MATLAB得到了光在介質(zhì)面上傳播的各種特性曲線；光以不同入射角穿過(guò)兩介質(zhì)面時(shí)，反射光與折射光的相位、振幅以及能流等都會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。通過(guò)特性曲線可以看出：光以布儒斯特角入射時(shí)會(huì)發(fā)生全偏振現(xiàn)象；以大于臨界角入射時(shí)發(fā)生全反射現(xiàn)象，發(fā)生全反射時(shí)能流透射率為0；隨著入射角變化，反射光與透射光各分量相位發(fā)生突變或漸變，并因此造成半波段或整波段的損失。

光傳播特性；數(shù)值計(jì)算；仿真模擬；Matlab軟件

Abstract： Based on physical optics theory and maxwell’s electromagnetic theory,the propagation characteristics of light from the dielectric surface are studied by deducing wave equation and Fresnel formula.By using Matlab software,we calculated and simulated the propagation characteristics of light.These conclusions can be drawn that the propagation of light from dielectric surface can cause the optical reflection and refraction which mainly depends on the vibration of the electric vector.The factors which influence the optical reflection and refraction are incident angle,refractive index and the wave characteristics of incident light.By using MATLAB software,we obtained the various characteristic curve of light travel.When the light go through the two dielectric surfaces under different incidence angle,the reflected light and the phase,amplitude and energy flow of the refracted light will accordingly change.We found that only when the incidence zenith angle is equal to Brewster angle,the polarization phenomenon is occurred.The transmissivity of energy flow is 0 when total reflection phenomenon occurs,and the change of incident angle causes the loss of half or the whole wave band.

Keywords： propagation characteristics of light;numerical calculation;simulation;MATLAB software

光特性的研究在生產(chǎn)生活中具有十分重要的意義。在工業(yè)上,它廣泛應(yīng)用于通訊業(yè),計(jì)算機(jī)業(yè),制造業(yè)及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)等的產(chǎn)品中。對(duì)于與之相關(guān)的物理現(xiàn)象，光作為一種電磁波,其在介質(zhì)中的傳播,可以用Maxwell方程組來(lái)刻畫。對(duì)于不同類型的材料,可以體現(xiàn)在方程本身的參數(shù)中,也可以體現(xiàn)在其方程所滿足的邊界上。我們希望可以不用實(shí)際物理實(shí)驗(yàn)就能對(duì)光在介質(zhì)中的傳播給出一些判斷,比如說(shuō),光起作用的介質(zhì)是什么形狀的？為什么光和物質(zhì)作用中主要是電磁波中的電矢量起作用？光與電磁波到底有什么關(guān)系？這些問(wèn)題都可以通過(guò)求解所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型給出結(jié)論,我們關(guān)心的就是這類具有實(shí)際物理意義的特征值問(wèn)題[1]。總之，所有的探討或是爭(zhēng)論都是有意義的，它們推動(dòng)了光學(xué)的發(fā)展，加深了人們對(duì)光本質(zhì)的認(rèn)知?，F(xiàn)在普遍認(rèn)為光具有波粒二相性[2]，而人們對(duì)光的認(rèn)識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有結(jié)束。隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，許多計(jì)算軟件運(yùn)用在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，正是在這種趨勢(shì)下MATLAB軟件也被運(yùn)用在光學(xué)的各方面研究之中。MATLAB是Matrix Laboratory(矩陣實(shí)驗(yàn)室)的簡(jiǎn)稱，它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中的數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLAB軟件可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語(yǔ)言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域,是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)值計(jì)算以及數(shù)據(jù)可視化的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言[3]。

本文運(yùn)用MATLAB軟件的數(shù)值計(jì)算和仿真模擬功能，光的電磁理論推導(dǎo)反射、折射定律以及菲涅耳公式[4-9]，分析光在介質(zhì)內(nèi)傳播特性的影響因子有入射角、介質(zhì)折射率和入射光的波動(dòng)特性；利用Matlab的強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算與仿真功能[4]，計(jì)算模擬了光以不同入射角入射時(shí)的相關(guān)特性，得到了相關(guān)的特性曲線，并通過(guò)求解方程得到了振幅、相位和能流相對(duì)強(qiáng)度的變量函數(shù)關(guān)系，即電矢量的振動(dòng)函數(shù)；最后分析計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)論的符合程度[10-13]。

1 理論模型

光是橫波，光射在兩種介質(zhì)的界面上時(shí)將發(fā)生反射和折射。能流的分配與入射角有關(guān)，還存在相位的躍變和偏振態(tài)的變化[5]。因此，根據(jù)平面波的橫波特性，電矢量在垂直傳播方向的平面內(nèi)任意方向振動(dòng)?？梢苑纸獬纱怪庇谌肷湔駝?dòng)面和平行于入射振動(dòng)面的分量。把垂直于入射振動(dòng)面的分量稱為s分量，把平行于入射振動(dòng)面的分量稱為p分量,如圖1所示：

圖1 s分量和p分量及其正反向規(guī)定

根據(jù)矢量點(diǎn)積運(yùn)算性質(zhì)，入射波、反射波和折射波的電場(chǎng)表達(dá)式，可得：

(1)

其中，m=s，p分別表示s分量和p分量，k1=2πn1/λ、k2=2πn2/λ。以下討論s分量。

由反射定律得θi=θr，由折射定律得n1·sinθi=n2·sinθt，則：

k1·sinθi=k1·sinθr=k2·sinθt.

(2)

對(duì)光波振幅進(jìn)行歸一化處理，并令振幅反射系數(shù)rp=E0rp/E0ip，rs=E0rs/E0is，振幅透射系數(shù)tp=E0tp/E0ip，ts=E0ts/E0is。

利用式(2)，介質(zhì)面邊界條件可化為：

(3)

(4)

(5)

(6)

式(3)、(4)、(5)、(6)就是平面光波電矢量平行入射和垂直入射的菲涅耳公式[6]。其中式(3)、(4)是反射公式，式(5)、(6)是折射公式，各光波分量代表瞬時(shí)值。菲涅耳公式表明，反射、折射光波里的p分量只與入射光波里的p分量有關(guān)，s分量只與入射光波里的s分量有關(guān)。

由菲涅耳公式可以得到入射光、反射光和折射光的振幅關(guān)系與相位關(guān)系，現(xiàn)在進(jìn)一步探討三者之間的能流關(guān)系。假定光在傳播過(guò)程中無(wú)吸收和散射無(wú)損耗，即總能量是保持不變的，以一束強(qiáng)度為Ii的平面光波入射到介質(zhì)面上為例，當(dāng)入射角為θi時(shí)，單位面積每秒的入射能量為：

(7)

式中ε1為介質(zhì)1的介電常數(shù)，μ0為真空磁導(dǎo)率，θi為入射角。同理可得到相應(yīng)的反射光和折射光的能量[1]：

(8)

(9)

對(duì)光波的能流也進(jìn)行歸一化處理，定義p分量和s分量的能流反射率分別為Rp=Wrp/Wip，Rs=Wrs/Wis，能流透射率分別為Tp=Wtp/Wip，Ts=Wts/Wis。根據(jù)能量守恒定律有Wrs+Wts=Wis，Wrp+Wtp=Wip?；?jiǎn)各分量反射與透射的關(guān)系式得：

(10)

綜合以上探究可知：光的反射和折射特性主要取決于電矢量的振動(dòng)情況，光在介質(zhì)面的反射和折射特性主要由三個(gè)因素確定，分別是入射光的偏振態(tài)、介質(zhì)折射率和入射角；以不同入射角入射時(shí)反射光和折射光的相位、振幅以及能流等特性發(fā)生相應(yīng)變化。

2 數(shù)值計(jì)算與仿真模擬

2.1光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)的模擬計(jì)算

當(dāng)光由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)時(shí)，隨著入射角的變化，反射光的振幅反射率、反射系數(shù)、強(qiáng)度以及透射光的振幅反射率、反射系數(shù)、強(qiáng)度均會(huì)發(fā)生變化。

2.1.1 振幅隨入射角的變化特性

對(duì)于光由光疏介質(zhì)傳播到光密介質(zhì)的情況，本文以入射介質(zhì)折射率為1，透射介質(zhì)折射率為1.45(如光由空氣入射到石英玻璃)為例，根據(jù)介質(zhì)面的邊界條件，運(yùn)用Matlab的數(shù)值計(jì)算和仿真模擬，得到了光由光疏介質(zhì)傳播到光密介質(zhì)的振幅特性曲線，如圖2所示：

圖2 光由光疏介質(zhì)傳播到光密介質(zhì)的振幅特性曲線

由圖2可以看出：當(dāng)掠入射時(shí)，即入射角θi=90°時(shí)，rp=rs=1，tp=ts=0，表明此時(shí)沒(méi)有折射光波，入射光全部被反射；當(dāng)垂直入射即入射角度θi=0°時(shí)，rp，rs，tp，ts都不等于0，表明此時(shí)反射波和折射波同時(shí)存在。從圖中還可以看出：|rs|隨著入射角θi的增大而增大，|rp|隨著入射角θi的增大而減小，當(dāng)入射角θi達(dá)到一個(gè)特定值θB=55.4°時(shí)，|rp|=0，表明此時(shí)的反射光波中只有s分量而沒(méi)有p分量，也就是產(chǎn)生全偏振現(xiàn)象，這個(gè)特殊角θB就是布儒斯特角，之后其隨著入射角的增大不斷增大，直到等于1；tp、ts隨著入射角的增大而減小直到幾乎為0。

2.1.2 相位特性

光由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)時(shí)，由于n1

圖3 光由光疏介質(zhì)傳播到光密介質(zhì)的相位特性曲線

2.1.3 能流隨入射角的變化特性

運(yùn)用能流反射率、透射率公式(8)和(9)，計(jì)算了不同入射角度下的能流反射率和透射率，利用Matlab對(duì)反射光和透射光能流變化進(jìn)行仿真模擬，結(jié)果如圖4所示：

圖4 光由光疏介質(zhì)傳播到光密介質(zhì)的能流特性曲線

從圖中可以看出：當(dāng)垂直入射即入射角度θi=0°的情況下反射率和透射率Ts、Tp都不等于0，表明反射波和折射波同時(shí)存在；當(dāng)掠入射即入射角度θi=90°的情況下，Rp=Rs=-1,Ts=Tp=0,表明此時(shí)沒(méi)有透射光波，也就是發(fā)生了全反射現(xiàn)象。在圖中還可以看出，隨著入射角θi增大，Rs不斷增加，Rp先減小直到入射角達(dá)到一特殊角θB時(shí)變?yōu)?，這個(gè)特殊角也即是布儒斯特角θB，而后又隨著入射角的增大而增大。在整個(gè)過(guò)程中Ts和Rs變化相反，Tp和Rp變化也相反，始終有等式Ts+Rs=1、Tp+Rp=1恒成立。

2.2光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)的模擬計(jì)算

當(dāng)光由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)，隨著入射角的變化，反射光的振幅反射率、反射系數(shù)、強(qiáng)度以及透射光的振幅反射率、反射系數(shù)、強(qiáng)度同樣會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，但可以預(yù)見由于全反射的存在，與3.1所探討的光波由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)的情況有所不同。

2.2.1 振幅隨入射角的變化特性

根據(jù)介質(zhì)面邊界條件，運(yùn)用Matlab的數(shù)值計(jì)算和仿真模擬，得到了光由光密介質(zhì)傳播到光疏介質(zhì)的振幅特性曲線，如圖5所示：

圖5 光由光密介質(zhì)傳播到光疏介質(zhì)的振幅特性曲線

由圖可以看出：當(dāng)垂直入射，即入射角θi=0°時(shí)各分量都不為0，表明反射波和折射波同時(shí)存在；對(duì)于反射光波中的p分量，|rp|隨著入射角θi的增大而減小,直到入射角達(dá)到一特殊角時(shí)減為0，后又不斷增大，直到入射角又達(dá)到一特殊角θC時(shí)變?yōu)?，這一特定角度即為全反射臨界角。由圖還可以看出：當(dāng)入射角超過(guò)全反射臨界角之后，rp、rs又不斷減小，tp、ts也同樣是減小，即透射與反射強(qiáng)度均減弱。但是由實(shí)驗(yàn)可知當(dāng)入射角大于全反射臨界角時(shí)，依舊發(fā)生全反射現(xiàn)象并不減弱[8]。

通過(guò)仿真計(jì)算可知：當(dāng)入射角小于43.6°時(shí)rp、rs都是實(shí)數(shù)，當(dāng)入射角為43.7°時(shí)開始出現(xiàn)虛數(shù)[9]。在Matlab中調(diào)用plot函數(shù)作圖時(shí)對(duì)虛數(shù)只取實(shí)部，因此造成與實(shí)際情況不符。因此在入射角大于全反射臨界角時(shí)，|rs|保持為1，rs不斷減小直到-1。

2.2.2 相位特性

光由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)，當(dāng)大于等于全反射臨界角時(shí)發(fā)生全反射。為探討區(qū)間的相位變化特性，利用菲涅耳公式計(jì)算得到的rp、rs在此區(qū)間為復(fù)數(shù)，再結(jié)合Matlab求復(fù)數(shù)輻角函數(shù)angle()，分別求出rp、rs和tp、ts，并得到了相位特性曲線，如圖6所示[8]：

圖6 光由光密介質(zhì)傳播到光疏介質(zhì)的相位特性曲線

由圖中可以看出：rp的相位在入射角小于θB=34.6°時(shí)為π，在θB到θC=43.6°保持為0,在發(fā)生全反射之后逐漸減為-π；rs、tp和ts的相位在發(fā)生全反射前保持為0，在全反射區(qū)間rs逐漸減為-π,tp和ts則逐漸減為-π/2。

2.2.3 能流隨入射角的變化特性

根據(jù)2.1.3，同理可得到光由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)在界面上的能流變化情況，如圖7所示：

圖7 光由光密介質(zhì)傳播到光疏介質(zhì)的能流特性曲線

由圖中可以看出：當(dāng)入射光垂直入射即入射角θi=0°時(shí)，Rs、Rp和Ts、Tp均不為0，表明反射光波和透射光波同時(shí)存在；隨著入射角的增加，Rs同時(shí)增加且增加速度愈來(lái)愈大，Rp則先減小到0(此時(shí)入射角為一特定角)，隨后又迅速上升到1；在此之后Rs、Rp始終保持為1。結(jié)合菲涅耳公式可知在全反射區(qū)間能流反射率保持為1，所有光波皆被反射回光密介質(zhì)，在界面上無(wú)能量損失。

3 結(jié)論

基于MATLAB數(shù)值計(jì)算，物理光學(xué)理論和麥克斯韋電磁理論，運(yùn)用理論推導(dǎo)的方法分別對(duì)不同邊界條件下的波動(dòng)方程、光的反射、折射定理和平面光波電矢量平行入射和垂直入射的菲涅耳公式等電矢量在介質(zhì)表面的光傳播特性做了研究。最后運(yùn)用Matlab數(shù)據(jù)分析和作圖功能，分別探究了光由光疏介質(zhì)進(jìn)入光密介質(zhì)和由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)兩種情況下的光傳播特性，并作出相應(yīng)的光傳播特性曲線。結(jié)果表明：光在介質(zhì)面?zhèn)鞑r(shí)會(huì)引起反射和折射現(xiàn)象，光的反射和折射特性主要取決于電矢量的振動(dòng)；影響介質(zhì)面反射、折射特性的因素主要是入射角、介質(zhì)折射率和入射光的波動(dòng)特性；光傳播特性曲線能夠直觀簡(jiǎn)潔地展示光在介質(zhì)面上傳播的各種特性；光以不同入射角穿過(guò)兩介質(zhì)面時(shí)，反射光與折射光的相位、振幅以及能流等都會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。通過(guò)特性曲線還可直觀地看出：光以布儒斯特角入射時(shí)發(fā)生全偏振現(xiàn)象；以大于臨界角入射時(shí)發(fā)生全反射現(xiàn)象，發(fā)生全反射時(shí)能流透射率為0；隨著入射角變化，反射光與透射光各分量相位發(fā)生突變或漸變，并因此造成半波段或整波段的損失。

[1]楊菁.物理光學(xué)模型中特征值問(wèn)題的分析、計(jì)算及優(yōu)化[D].杭州：浙江大學(xué),2016:28-29.

[2]石順祥.物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)[M].第2版.西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2008:56-57.

[3]華初一.Matlab在光學(xué)教學(xué)及實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué),2013:17-20.

[4]歐攀,林志立,江潔.MATLAB數(shù)值計(jì)算在光學(xué)仿真和教學(xué)中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2012(33):80-81.

[5]姚啟鈞.光學(xué)教程[M].第4版.北京：高等教育出版社,2008:43-48.

[6]蒲利春,姜毅.電磁矢量的菲涅耳公式[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005(2):126-129.

[7]魏仁懷,朱孟正.平面電磁波在運(yùn)動(dòng)介質(zhì)界面上折射行為的研中[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,69(4):10-12.

[8]徐詩(shī)池.電磁波“半波損失”的全面分析[J].上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,29(3):49-52.

[9]劉燕.電磁波在運(yùn)動(dòng)媒質(zhì)表面的反射和折射[J].云南教育學(xué)院學(xué)報(bào),1998,14(2):34-38.

[10]魏振博,王占山.光在非均勻介質(zhì)中傳播規(guī)律的演示[J].物理與工程,2014,24(3):34-36.

[11]高田桂.相對(duì)論與光在高速運(yùn)動(dòng)界面上的反射和折射[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999,4(3):219-221.

[12]蔡新華.電磁波在運(yùn)動(dòng)媒質(zhì)表面反射和折射時(shí)的多普勒頻移[J].大學(xué)物理,1994,13(4):20-21.

[13]鄭其明.基于折射定律的漸變介質(zhì)中光傳播路徑研究及其應(yīng)用[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,38(3):245-249.

【責(zé)任編輯答會(huì)明】

NumericalCalculationonthePropagationCharacteristicsofLightBasedonMATLAB

ZHENG Xing-rong,SONG Xiao-yong,ZHENG Yan-fei,WANG Qi,JIANG Rong

(CollegeofElectricalEngineering,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu)

O436.1；TP391.72

A

1674-1730(2017)05-0036-05

2016-12-16

隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目《輕惰性元素零點(diǎn)振動(dòng)能的量子化學(xué)計(jì)算》(XYZK1501)

鄭興榮(1986—)，男，甘肅天水人，講師，碩士，主要從事凝聚態(tài)理論物理與材料計(jì)算研究。