☉山東省鄒平縣黃山中學(xué) 陳秀群

一道高考題的解法賞析及拓展延伸

☉山東省鄒平縣黃山中學(xué) 陳秀群

一年一度的高考剛剛落下帷幕，賞析高考題成為了筆者多年的習(xí)慣，尤其欣賞那些可以從多個(gè)視角進(jìn)行問題解決的考題，這樣的考題不是“孤題”，可以讓懂原理、會(huì)方法的學(xué)生將自己的能力展示出來，更可以作為典型性例題拿到數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)（尤其是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）中來，通過一道題可以有效復(fù)習(xí)到多個(gè)知識(shí)和方法，甚至還可以以此為母題向外拓展延伸，本文以2017年的一道高考題為例進(jìn)行簡單的分析與探討.

一、考題呈現(xiàn)

考題 （2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16B.14C.12D.10

二、多維度探尋考題解法

筆者運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識(shí)、方法對(duì)該題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該題的解法至少有如下幾種：

解法1：（設(shè)直線解決）由題意得焦點(diǎn)為F（1，0），l1，l2與坐標(biāo)軸不平行，設(shè)l1：y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y）1，B（x2，y2），將y=k（x-1）代入y2=4x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，故x1+.由弦AB是焦點(diǎn)弦且p=2，故|AB|=x1+x2+p=4.由l⊥l，則l的斜率為代替k得|DE|=4k2+4，122所以|AB|+|DE|=4k2++8≥16，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，取得最小值16.

這種解法是常規(guī)方法，也是通法，運(yùn)用的基本原則是已知直線過定點(diǎn)，那就設(shè)出斜率解決.

解法2：（設(shè)出傾斜角）由題意得焦點(diǎn)為F（1，0），l1，l2與坐標(biāo)軸不平行，不妨設(shè)直線l的傾斜角為α（ 0＜α＜），設(shè)

1|FA|=r1，|FB|=r2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（r1cosα+1，r1sinα）.由點(diǎn)A在拋物線C上，得sin2α=4（rcosα+1），即（sin2α-（4cosα）r-114=0，由求根公式得r=（其中r=＜0舍去）.11由點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的角為π+α，用π+α代替α得r=2，故|AB|=r+r=，同理得|DE|=12.所以|AB|+|DE|=≥16，當(dāng)且僅當(dāng)α=時(shí)，取得最小值16.

這種解法用的是三角函數(shù)定義及點(diǎn)在曲線上的思想，求解焦半徑的長，同時(shí)用拋物線的定義、性質(zhì)解決.

解法3：（利用參數(shù)方程）由題意得焦點(diǎn)為F（1，0），l1，l2與坐標(biāo)軸不平行，不妨設(shè)直線l1的傾斜角為α （ 0＜α＜），則l的參數(shù)方程為1交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，t，將，代入y2=4x，得12（sin2α）t2-（4cosα）t-4=0，故t1+t2=，故.由l1⊥l2，得l2的傾斜角為+α，用+α代替α得|DE|=，所以|AB|+|DE|==≥16，當(dāng)且僅當(dāng)α=時(shí)，取得最小值16.

這種解法用的是直線參數(shù)方程，也是求弦長問題的有效方法.

圖1

解法4：（利用拋物線的定義）由題意知焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，不妨設(shè)直線l的傾斜角為α （ 0＜α＜），1如圖1，作AA′垂直于準(zhǔn)線，垂足為A′，則|AF|=|AA′|=|AF|cosα+|KF|=|AF|cosα+2，故|AF|=，同理|BF|=，所以|AB|==.由l⊥1l，得l的傾斜角為+α，用+α代替α得|DE|=22，所以|AB|+|DE|===16，當(dāng)且僅當(dāng)α=時(shí)，取得最小值16.

這種解法是利用拋物線的定義，體現(xiàn)了解析幾何的幾何屬性，運(yùn)用幾何性質(zhì)解題.

解法5：（利用極坐標(biāo)）由題意得p=2，則以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，開口向右的拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)點(diǎn)A的極角為α，則點(diǎn)B的極角為π+α，故，ρ=B，所以|AB|=，同理|DE|=，以下同解法2或解法3.

這種解法用的是極坐標(biāo)方程，避免了直線與拋物線方程的聯(lián)立，大大減少了計(jì)算量.

解法6：（利用極坐標(biāo)和基本不等式解決）前面解法求得弦長|AB|，|DE|后，可以發(fā)現(xiàn)，則|AB|+）（|AB|+|DE|）=4（ 1+1）≥）=16，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|DE|=8時(shí)，取得最小值16.

這種解法體現(xiàn)了極坐標(biāo)與基本不等式的綜合應(yīng)用，起點(diǎn)高，落點(diǎn)低.

三、基于考題的拓展性研究

結(jié)論1：過拋物線E：y2=2px的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與E交于C，D兩點(diǎn)，則

我們知道，拋物線、橢圓、雙曲線都是圓錐曲線，其性質(zhì)都可以類比得到，上述結(jié)論也可以推導(dǎo)到圓錐曲線中.

推論1：過橢圓E：=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與E交于C，D兩點(diǎn)，則

推論2：過雙曲線E：=1的一個(gè)焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與E交于C，D兩點(diǎn)，不妨設(shè)直線l1的斜率為k，當(dāng)（b2-a2k2）（b2k2-a2）＞0時(shí)，則；當(dāng)（b2-a2k2）（b2k2-a2）＜0時(shí)，則 （.限于篇幅，此處兩個(gè)推論的證明過程略）

四、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)啟示

1.練好基礎(chǔ)，提升能力

沒有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能力也只是空中樓閣.因此我們要注重扎實(shí)基礎(chǔ)，練就“硬功夫”.若對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解不到位、掌握不牢固、運(yùn)用不靈活，就無法果斷選擇解題方向，無法順利推進(jìn)解題思路，更難以靈光閃現(xiàn)生成數(shù)學(xué)直覺、產(chǎn)生解題頓悟.本題的六種解法，綜合了所學(xué)的基本知識(shí)，處處體現(xiàn)了學(xué)生的基本能力.所以，扎實(shí)的基礎(chǔ)是攻克難題、萌生靈感的前提，是養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣的關(guān)鍵，也是戰(zhàn)勝高考的后盾.在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，要指導(dǎo)學(xué)生練好基礎(chǔ).

2.培養(yǎng)核心素養(yǎng)，發(fā)展數(shù)學(xué)品格

章建躍博士指出：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.”復(fù)習(xí)教學(xué)中，不宜篤信題海戰(zhàn)術(shù)從量上追求“練過”，而應(yīng)著眼于發(fā)展核心素養(yǎng)從質(zhì)上追求“練透”.若邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)沒跟上，即使年年歲歲考題相似，還是歲歲年年熟而不會(huì).高考對(duì)圓錐曲線的考查重點(diǎn)比較綜合，試題構(gòu)成元素主要是圓錐曲線和直線，但是元素的復(fù)合形式、設(shè)問角度及參數(shù)調(diào)控多種多樣，掌握以不變應(yīng)萬變的的良方，唯有發(fā)展良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.在圓錐曲線問題的解決中，必備的“關(guān)鍵能力”主要是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).例如，本題的幾種解法中，要幫助學(xué)生理清思路、開闊思維；讓學(xué)生領(lǐng)悟解題路徑及思路要領(lǐng)，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則、清晰選擇運(yùn)算方法.

1.張艷玉.是“亮點(diǎn)”，還是“敗筆”——由一道“一題多解”數(shù)學(xué)題教學(xué)引發(fā)的思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2011（15）.

2.陳曉明.關(guān)注新問題的生成，反思試卷講評(píng)課的有效性——以一道直線方程試題為例［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（11）.

3.趙煒.“教”讓道于“悟”——一道調(diào)研測(cè)試題的講評(píng)教學(xué)實(shí)錄及反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（9）.