☉福建省廈門雙十中學(xué) 彭小陽(yáng)

精彩演繹 動(dòng)態(tài)生成
——一節(jié)專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)錄與分析

☉福建省廈門雙十中學(xué) 彭小陽(yáng)

采用何種方式上好一節(jié)復(fù)習(xí)課，是困擾廣大數(shù)學(xué)老師的問題.筆者認(rèn)為，有必要把“探究性復(fù)習(xí)”引入數(shù)學(xué)課堂，即教師提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料或設(shè)置與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)的情境，讓學(xué)生先探后講，不探不講，即“探在講評(píng)前，講在關(guān)鍵處”.通過一題多變、一題多解等方式激活學(xué)生思維，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地思考、探索，做學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、促進(jìn)者，使得教學(xué)過程成為學(xué)生自主“動(dòng)態(tài)生成”知識(shí)的過程.筆者以一節(jié)放縮法專題復(fù)習(xí)課為例詳細(xì)探討，以期拋磚引玉.

一、提出問題，引發(fā)思考

師：放縮法證明數(shù)列不等式是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，通常作為試卷的壓軸題，對(duì)這樣的題目，請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí).

生：感覺技巧性太強(qiáng)，就像天上掉餡餅?。ㄟ@時(shí)課堂上笑聲四起，很多同學(xué)頻頻點(diǎn)頭，說(shuō)明這位同學(xué)道出了大部分同學(xué)的心聲，也充分說(shuō)明對(duì)放縮法進(jìn)行專題研究是非常有必要的）

師：確實(shí)如這位同學(xué)所說(shuō)，由于其靈活多變，許多學(xué)生覺得沒有規(guī)律，無(wú)從著手，基于此，這節(jié)課就專門研究放縮法，請(qǐng)同學(xué)們首先證明下面的題目.

二、自主學(xué)習(xí)，獨(dú)立探究

本節(jié)課，留出10分鐘時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立探究，在學(xué)生自主探究中課堂非常安靜，老師只是進(jìn)行巡視，及時(shí)了解探究的情況，掌握反饋信息，個(gè)別詢問，對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo).

師：如果證不出，要考慮自己的思維障礙所在.能證出，要思考是怎么想出來(lái)的？還有無(wú)其他想法.

三、交流合作，探究解法

師：請(qǐng)大家談?wù)勛约旱慕夥?

師：很好！通過觀察其結(jié)構(gòu)特征可直接求和，再放縮，這是最基本的放縮方法之一.第（2）問呢？

生A：第（2）問左邊的和我沒有求出來(lái).

師：對(duì)，應(yīng)該向可求和模型進(jìn)行放縮，你是以哪個(gè)模型為目標(biāo)放縮的？

師：在放縮過程中難免出現(xiàn)放過頭的現(xiàn)象，遇到這種情況如果就此放棄，回頭再尋找別的突破口，那就前功盡棄，能否對(duì)這個(gè)思路進(jìn)行改善呢？（此言一出，使得學(xué)生重新審視這個(gè)思路）

（生C帶著興奮和激動(dòng)的心情說(shuō)出了自己的想法，全班頓時(shí)爆發(fā)出熱烈的掌聲，同學(xué)們對(duì)生C都投出了贊許的目光）

師：太好了！生C使這個(gè)思路變廢為寶了！他提供了處理“放縮過頭”疑難的一般解決方案——保留部分項(xiàng)不作處理，只對(duì)其他部分進(jìn)行放縮.這種方法不妨就稱之為“生C”法吧（用生C的名字命名），希望同學(xué)們將來(lái)遇到類似的困難時(shí)能利用“生C”法加以解決.

師：剛才生B與生C兩位同學(xué)給出了一個(gè)很好的解法.大家想一想，對(duì)進(jìn)行放大，難道只有以上這種方法嗎？有沒有別的方法？

師：還有別的想法嗎？不一定是非常成熟的想法，有想法就大膽地表達(dá)出來(lái).

師：生F給我們指明了解題方向，尋找表示的幾何模型，哪個(gè)幾何模型與n項(xiàng)和有關(guān)？

生G：我覺得好像與定積分有關(guān)，在定積分定義中出現(xiàn)過n項(xiàng)和……但定積分的幾何意義與n個(gè)矩形面積的和有關(guān)，這里應(yīng)看成什么樣的n個(gè)矩形面積的和呢？（學(xué)生的思維已達(dá)到解決問題的邊緣）

生H：構(gòu)造出來(lái)了，n個(gè)矩形面積的和我找到了?。ㄉ鶫像發(fā)現(xiàn)新大陸似地叫了起來(lái)）

圖1

師：三種方法都是從代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，或變更形式或數(shù)形結(jié)合.對(duì)比發(fā)現(xiàn)，第三種方法創(chuàng)造性較強(qiáng)，前兩種方法都是向能求和的數(shù)列模型轉(zhuǎn)化.請(qǐng)回顧一下可求和的數(shù)列模型有哪些？

生齊答：有等差（比）模型、裂項(xiàng)相消模型、錯(cuò)位相減模型、倒序相加模型、二項(xiàng)式模型等.

師：如果萬(wàn)一出現(xiàn)放縮過頭的情況，如何解決呢？

生齊答：可以利用“生C”法加以解決.

師：數(shù)列求和的幾何意義應(yīng)該往哪個(gè)方向聯(lián)想？

生齊答：定積分.

四、變更原題，拓展空間

此時(shí)通過第（2）問解法探究，可謂收獲頗豐.

（事實(shí)上，這個(gè)題目開始從“通項(xiàng)”角度思考無(wú)可厚非，也是合理的，但最后卻做不出！這道題筆者本不想講這個(gè)“做不出來(lái)的解法”，但是面對(duì)生I很合理的想法，臨時(shí)決定讓學(xué)生研究此解法）

師：很好，說(shuō)說(shuō)你下一步的想法.

（當(dāng)發(fā)現(xiàn)自己的解法不能奏效時(shí)，生I有些尷尬，其他同學(xué)都流露出失望的表情）

師：生I的這個(gè)解法對(duì)這個(gè)題目雖然不適用，但其價(jià)值卻非常大！兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和如果不易直接比較大小，就轉(zhuǎn)而去考慮兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的大小，這種解法實(shí)質(zhì)上是一種從整體到局部的思想方法.請(qǐng)大家用這種思路來(lái)做下面這道題目：

師：同學(xué)們非常了不起，又研究出了證明不等式的一種策略——通項(xiàng)法.

評(píng)注：沒有任何一種解法“包解百題”，但任何一種解法都有其解題價(jià)值，即使是某種想法.

五、總結(jié)歸納，提煉升華

師：好！剛才同學(xué)們通過一道例題對(duì)放縮法做了深入的研究，研究出來(lái)不少成果，下面請(qǐng)同學(xué)們按班級(jí)分組討論總結(jié)一下面臨數(shù)列不等式如何進(jìn)行合理放縮？一會(huì)兒請(qǐng)各組代表闡明自己的觀點(diǎn).

組1：能求和的先求和，特別是遇到一些我們熟悉的求和模型.

組2：不能求和的向能求和的方向放縮，萬(wàn)一放縮過頭也不怕，可以用“生C”法進(jìn)行調(diào)整.

組3：有的不能放縮為可求和模型，說(shuō)明整體從求和角度考慮失敗，可以轉(zhuǎn)而從通項(xiàng)角度來(lái)考慮，還可以考慮數(shù)列不等式的幾何特征，借助定積分來(lái)輔助思考.

本案例從兩個(gè)數(shù)列不等式的證明出發(fā)，以問題為指引，以學(xué)生發(fā)展為中心，以課堂生成為目標(biāo)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生時(shí)而安靜，時(shí)而活躍，時(shí)而遇到困難陷入沉思，時(shí)而探索成功雀躍激動(dòng)，課堂跌宕起伏，新的生成不斷涌現(xiàn).仔細(xì)品味這節(jié)課，猶如陳年老酒，讓人回味無(wú)窮.