☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 李俊彥

高中函數(shù)概念的比較研究
——以人教A版與北師大版必修1為例

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院 李俊彥

一、問(wèn)題提出

近年來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)教材與課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較研究的論文層出不窮，有進(jìn)行不同年代教材比較的，如呂世虎所寫的中國(guó)當(dāng)代中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展的歷程及其啟示；［1］也有進(jìn)行中國(guó)和外國(guó)教材之間比較的，如王建磐和鮑建生從例題的背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理、知識(shí)綜合五個(gè)因素進(jìn)行其水平分析，得出中國(guó)、美國(guó)、法國(guó)、俄羅斯、澳大利亞的六套高中數(shù)學(xué)教材在例題上的難度特征.［2］

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容，也是高中階段的起始課程，其概念及其思想方法貫穿了整個(gè)高中教材.高中第一節(jié)學(xué)習(xí)集合就是為了將集合作為一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義函數(shù)概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)后續(xù)的各種函數(shù)，函數(shù)與實(shí)際生活有著密不可分的聯(lián)系，函數(shù)模型對(duì)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題至關(guān)重要.函數(shù)概念也是高中教學(xué)的重要部分，但因其自身的抽象性，學(xué)生難以理解.調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，普通高中學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解不夠深刻.［3］為了使教師更好地教學(xué)，本文就人教版和北師大版必修1函數(shù)的概念進(jìn)行比較研究，力求比較出兩版本教材這一課時(shí)的異同點(diǎn)，以便于讀者更好地熟悉和選擇教材.

二、研究設(shè)計(jì)

本文主要基于人教版與北師大版課本的文本資料，采用了文本分析法與比較研究法，并進(jìn)一步參考其他文獻(xiàn)資料，進(jìn)行定性分析和定量研究.

文本分析法主要是分析課程文本的一種實(shí)證研究方法,在課程研究中普遍使用，本文通過(guò)對(duì)兩版本教材函數(shù)概念部分進(jìn)行反復(fù)研讀，先歸納出兩版本教材的編排順序與結(jié)構(gòu)體系，再對(duì)其呈現(xiàn)方式以及本節(jié)例習(xí)題進(jìn)行進(jìn)一步分析；比較法則需要根據(jù)一套確定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)文本進(jìn)行比較研究，找出文本之間的異同.文章的研究結(jié)果分為四個(gè)個(gè)部分，分別是對(duì)函數(shù)概念編排順序的比較、函數(shù)概念結(jié)構(gòu)體系的比較、函數(shù)概念內(nèi)容呈現(xiàn)方式的比較以及例習(xí)題的比較.編排順序、結(jié)構(gòu)體系以及內(nèi)容呈現(xiàn)方式是定性分析，編排順序主要是比較整本教材的知識(shí)點(diǎn)布局，這部分將用表格的形式進(jìn)行呈現(xiàn)；結(jié)構(gòu)體系則是對(duì)函數(shù)概念一節(jié)課程教學(xué)的呈現(xiàn)方式進(jìn)行研究，這部分采用框架圖的形式進(jìn)行呈現(xiàn)；例習(xí)題則是定量研究，引入鮑建生的綜合難度模型，從五個(gè)部分比較兩版本教材函數(shù)概念的例習(xí)題.

三、研究結(jié)果與分析

五個(gè)版本的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材中，人教版和北師大版的教材使用最廣，最具代表性，下面筆者將從教材編排、課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系、課程內(nèi)容呈現(xiàn)方式和例習(xí)題四個(gè)方面比較分析人教版和北師大版必修1——函數(shù)的概念的異同.

1.函數(shù)概念編排順序的比較

知識(shí)點(diǎn)的選取和編排都是教材知識(shí)系統(tǒng)中的重要的因素，教材知識(shí)點(diǎn)的編排順序很大程度上影響學(xué)生按照什么樣的順序?qū)W習(xí).我們來(lái)看一下人教版和北師大版教材的編寫順序：

圖2 北師大版函數(shù)概念的編排順序

從圖1、圖2我們可以看出，北師大版和人教版都是將函數(shù)的概念緊放在集合的知識(shí)之后的，不同的是，人教版將集合與函數(shù)放到了同一章，而北師大版是將函數(shù)概念及其性質(zhì)單獨(dú)成章.

2.函數(shù)概念結(jié)構(gòu)體系的比較

根據(jù)學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)最佳的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)順序以及選取合理的數(shù)學(xué)知識(shí)是編寫數(shù)學(xué)教材的主要任務(wù).［4］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出：高中數(shù)學(xué)教材的編寫，要根據(jù)《課標(biāo)》精神，貫徹高中數(shù)學(xué)課程的基本理念與要求，教材應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)中的模塊為單位編寫.課程標(biāo)準(zhǔn)提倡教材編寫的多樣化，對(duì)于各模塊所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容的編排順序可以做適調(diào)整，不同的教材可以有自己的風(fēng)格和特點(diǎn).［5］下面看一下兩版本具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)的比較.

圖4 人教版教材函數(shù)概念結(jié)構(gòu)示意圖

從圖3和圖4中可以看到，兩版本教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)大致相同，主線大致是：引入、函數(shù)概念、區(qū)間、例題、思考交流、習(xí)題.兩版本都在本節(jié)出現(xiàn)了函數(shù)的三種表達(dá)方式，人教版出現(xiàn)在引入部分，北師大版則出現(xiàn)在概念鞏固部分.

3.函數(shù)概念內(nèi)容呈現(xiàn)方式的比較

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯的起點(diǎn)，不僅是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，還是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要的地位，［6］數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)最基本知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)原理教學(xué)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的基礎(chǔ).［7］函數(shù)概念的教學(xué)大致可以歸納為以下四個(gè)步驟：提供實(shí)例、圖式積累、函數(shù)概念的準(zhǔn)備；同化順應(yīng)、抽象概括、數(shù)學(xué)概念的引入；提供變式、抽象本質(zhì)、數(shù)學(xué)概念的形成；概念再同化、數(shù)學(xué)概念的深化及應(yīng)用.［8］下面筆者將進(jìn)一步分析兩版本教材在這個(gè)步驟方面的異同.

表1各版本教材函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式

兩版本在此小節(jié)的教學(xué)內(nèi)容基本相同，其概念呈現(xiàn)基本上都是按照概念教學(xué)的四個(gè)步驟進(jìn)行的，但是在各個(gè)步驟的處理上，仍有差別：

（1）同化順應(yīng)、抽象概括——函數(shù)概念的引入.

人教版在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前給出了三個(gè)生活中的現(xiàn)實(shí)模型，分別用函數(shù)的三種表示方法（解析式法、圖像法和表格法）呈現(xiàn)在學(xué)生面前，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生歸納三種函數(shù)的共同特點(diǎn)，借用上一節(jié)學(xué)習(xí)的集合定義，引出函數(shù)的概念；北師大版在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前給出了初中所學(xué)的函數(shù)概念，在對(duì)初中概念分析的基礎(chǔ)上借用上一章所學(xué)集合的知識(shí)引出高中函數(shù)概念的定義.

（2）提供變式、抽象本質(zhì)——數(shù)學(xué)概念的形成.

在函數(shù)概念定義的呈現(xiàn)上人教版較之北師大版更加有邏輯性，并在定義的最后提出：值域是集合B的子集.人教版在給出函數(shù)概念及函數(shù)三要素之后，緊接著給出了學(xué)生所熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)的一般形式，并且給出了一次函數(shù)和二次函數(shù)一般在形式下的定義域和值域，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系；北師大版則是借用了初中物理中出現(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，指出了函數(shù)的定義域和值域，并在此借用三個(gè)初中物理函數(shù)引出了函數(shù)的三種表示方法.

（3）概念再同化——數(shù)學(xué)概念的深化及運(yùn)用.

人教版與北師大版的例習(xí)題都注重對(duì)函數(shù)三要素的考察，不同的是，人教版的例題中由函數(shù)概念引申出了一個(gè)新知識(shí)“判定函數(shù)的相等”；北師大版例習(xí)題則更注重講函數(shù)概念與實(shí)際生活相聯(lián)系，用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

4.例題及課后習(xí)題的比較

對(duì)例習(xí)題的比較主要在于對(duì)兩版本教材例習(xí)題難度的分析比較，根據(jù)王建磐和鮑建生所著的《高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國(guó)際比較》中所用的知識(shí)，筆者從背景、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理和知識(shí)綜合五個(gè)方面對(duì)例、習(xí)題進(jìn)行對(duì)比分析.［9］

表2人教版和北師大版例習(xí)題難度因素與水平比較

圖5 人教版和北師大版例習(xí)題總體水平比較

由圖5可以看到，人教版和北師大版函數(shù)概念的例習(xí)題部分總體水平上有著各自鮮明的特點(diǎn)，兩者之間存在著很大的差異.

就各自折線來(lái)看，人教版的例習(xí)題對(duì)運(yùn)算的要求是最高的，加權(quán)平均值達(dá)到了2.80，其次是數(shù)學(xué)認(rèn)知，加權(quán)平均值2.40，而其他三個(gè)方面則基本持平，加權(quán)平均保持在1.00左右；北師大版在數(shù)學(xué)認(rèn)知上要求較高，其加權(quán)平均值高達(dá)3.33，在其他四個(gè)方面則基本持平，保持在2.00左右.相對(duì)比而言，北師大版除在運(yùn)算方面加權(quán)平均低于人教版（低于40%）外，其余四個(gè)方面加權(quán)平均均高于人教版.

數(shù)據(jù)內(nèi)容反映了人教版數(shù)學(xué)教材例習(xí)題在運(yùn)算及數(shù)學(xué)認(rèn)知方面對(duì)學(xué)生的要求較高，但在背景、推理及知識(shí)綜合方面還有些欠缺；北師大版教材例習(xí)題更注重與實(shí)際生活的聯(lián)系，考查學(xué)生的認(rèn)知水平，各個(gè)方面考慮的更加到位.

四、研究結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

1.兩版本教材編排順序和結(jié)構(gòu)體系大體相似，但在細(xì)節(jié)處理上仍有差異

人教版和北師大版在教材編寫順序上大體相似，內(nèi)容結(jié)構(gòu)也大致相同，在內(nèi)容的設(shè)置上都遵循了《課標(biāo)》的要求，通過(guò)豐富的實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要模型.只是兩版本教材實(shí)例出現(xiàn)的位置略有不同，人教版的生活模型出現(xiàn)在函數(shù)概念引入部分，而北師大版的生活模型則出現(xiàn)在函數(shù)概念給出之后，相比而言，人教版教材更滿足課標(biāo)中描述的“在實(shí)例的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)”.

2.內(nèi)容呈現(xiàn)方式上人教版重本節(jié)知識(shí)，北師大版強(qiáng)調(diào)整體知識(shí)聯(lián)系

兩版本內(nèi)容呈現(xiàn)方式各異，人教版注重新知識(shí)本身的呈現(xiàn)，函數(shù)的概念整節(jié)很少涉及此節(jié)之外的其他知識(shí)；而北師大版則更注重將新知識(shí)與學(xué)生以前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)相聯(lián)系起來(lái)，除本節(jié)知識(shí)之外較多涉及其他知識(shí)點(diǎn).另外，在函數(shù)概念定義的呈現(xiàn)上，人教版更加具有邏輯性，更適合學(xué)生理解，在定義最后人教版寫到：值域是集合B的子集，能夠引發(fā)學(xué)生思考，同時(shí)，在概念升華階段，人教版引入了函數(shù)相等的概念，從而使學(xué)生感悟函數(shù)的本質(zhì)是對(duì)應(yīng)關(guān)系.

3.例習(xí)題方面人教版偏重?cái)?shù)學(xué)化，北師大版則偏重生活化

兩版本例習(xí)題有各自的側(cè)重性，人教版?zhèn)戎赜趯?duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重復(fù)考查，過(guò)于強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查知識(shí)點(diǎn)比較單一；北師大版則結(jié)合了更多的物理知識(shí)與實(shí)際背景，能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題，考查知識(shí)點(diǎn)較多.總體來(lái)說(shuō)，北師大版例習(xí)題難度大于人教版例習(xí)題難度.

（二）建議

1.概念引入可加入數(shù)學(xué)史的知識(shí)

在引入方面，筆者認(rèn)為可以在教學(xué)中加入數(shù)學(xué)史的成分.函數(shù)的概念作為高中數(shù)學(xué)的重要概念，其發(fā)展是漫長(zhǎng)而又曲折的，歷史上，函數(shù)的概念經(jīng)歷了8次擴(kuò)充，函數(shù)概念的每一次擴(kuò)展都是對(duì)概念的不斷完善的過(guò)程.高中生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的時(shí)候或多或少也會(huì)出現(xiàn)像前人一樣的困惑，若把歷史放在他們的面前讓學(xué)生了解函數(shù)概念的來(lái)龍去脈，不僅能引起學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的興趣、還能幫助學(xué)習(xí)理解函數(shù)的概念，同時(shí)可以增加學(xué)生的數(shù)學(xué)文化價(jià)值.

2.讓學(xué)生把握函數(shù)概念的本質(zhì)特征

兩版本教材都明確的說(shuō)明了函數(shù)概念的定義，但要讓學(xué)生深刻理解函數(shù)概念的本質(zhì)，還應(yīng)加入以下兩點(diǎn)內(nèi)容：①說(shuō)清值域與集合B的關(guān)系.首先讓學(xué)生明確值域的定義：與x值對(duì)應(yīng)的y叫做函數(shù)值，值域是函數(shù)值的集合，并且，任意x∈A有唯一y∈B與之對(duì)應(yīng).下面我們用框圖（圖6）表示其關(guān)系：

圖6 函數(shù)y=x+1對(duì)應(yīng)框圖

圖 中A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，4，5｝， 值 域=｛2，3，4，5｝，值域是集合B的子集得到說(shuō)明.

②解釋清楚函數(shù)“一對(duì)一”與“多對(duì)一”的關(guān)系，并明確提出為什么不能“一對(duì)多”.要明確任意x都有唯一y與之對(duì)應(yīng)，即是說(shuō)：對(duì)于同一自變量x只有一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，或者是多個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)y值.教師應(yīng)讓學(xué)生做對(duì)應(yīng)訓(xùn)練，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念的理解.

例如：判斷下例題目中y是否為x的函數(shù).

3.例習(xí)題的選擇要兼顧數(shù)學(xué)化和生活化

北師大版教材與實(shí)際生活聯(lián)系的較為緊密，例題與習(xí)題當(dāng)中均為學(xué)生提出了生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而訓(xùn)練了學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型的能力，同時(shí)也讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用，可以解決不少生活中的實(shí)際問(wèn)題，但這樣會(huì)使得學(xué)生誤認(rèn)為函數(shù)知識(shí)只能解決生活問(wèn)題，而不是處理數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題；人教版的例習(xí)題“數(shù)學(xué)味”又太濃，應(yīng)該加入一些日常生活中的函數(shù)模型.所以在列習(xí)題的選擇上既要有實(shí)際生活問(wèn)題又要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決純數(shù)學(xué)問(wèn)題，二者兼顧才能更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).同時(shí)，在例習(xí)題的設(shè)計(jì)上要注意多方面知識(shí)點(diǎn)的考查，不應(yīng)該使一道題目的知識(shí)點(diǎn)過(guò)于單一.

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