曹鵬飛，孫 俞，賀波勇，李海陽(yáng)

地月L2點(diǎn)Halo軌道支持的登月軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)

曹鵬飛，孫 俞，賀波勇，李海陽(yáng)?

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410073）

針對(duì)低成本月球探測(cè)任務(wù)軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題，基于不變流形提出了地月L2點(diǎn)Halo軌道支持的登月方案，并研究了軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。建立了3脈沖從近地停泊軌道（LEO）到環(huán)月軌道（LLO）的不變流形轉(zhuǎn)移軌道數(shù)學(xué)模型；設(shè)計(jì)了全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并采用圓型限制性三體模型（CR3BP）優(yōu)化了一條從LEO出發(fā)，通過(guò)穩(wěn)定流形軌道、地月L2點(diǎn)Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，最終抵達(dá)LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道；給出了仿真實(shí)例，仿真結(jié)果驗(yàn)證了文章所述方法的正確性。研究結(jié)論可為未來(lái)低成本地月轉(zhuǎn)移或Halo軌道空間站支持的登月方案提供參考。

地月轉(zhuǎn)移軌道；地月L2點(diǎn)；Halo軌道；不變流形；優(yōu)化設(shè)計(jì)

Abstract：The derived invariant manifold of Halo orbits near the collinear liberation points is known for the low energy consumption in deep space exploration missions.In this paper，a lunar landing scheme based on Halo orbit near L2 point of Earth-Moon system was proposed and the design optimization was discussed.Firstly，a mathematical model of trans-lunar trajectory based on invariant manifold from low earth orbit（LEO） to low lunar orbit（LLO） with 3 impulses was established.Then，a serial optimization method including the global traversal initial value search and the local gradient optimization was designed.A trans-lunar trajectory with the advantage of optimal fuel consumption departure from LEO through the stable manifold， Halo orbit near L2 of Earth-Moon， unstable manifold，and final arrival to LLO was obtained by optimization with the application of CR3BP.The reliability of the method was verified by the simulation data.The conclusions can serve as a reference for the design of the low-cost trans-lunar trajectory and the lunar landing based on the space station parking in Halo orbit near L2 of Earth-Moon in the future.

Key words：trans-lunar trajectory； Earth-Moon L2 point； Halo orbit； invariant manifold； trajectory optimization

1 引言

圓型限制性三體問(wèn)題模型（Circle Restricted 3 Body Problem，CR3BP）中平動(dòng)點(diǎn)Halo軌道及其衍生的不變流形軌道因其低能耗特性在月球及深空探測(cè)任務(wù)中備受青睞［1］。早在1972年，F(xiàn)arquhar就提出了地月L2點(diǎn)Halo軌道上航天器對(duì)月球探測(cè)的重要支持作用［2］。 Lo［3-4］、龔勝平［5］等研究發(fā)現(xiàn)了由Halo軌道衍生的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形拼接的空間轉(zhuǎn)移軌道幾乎不消耗任何能量。 Gomez［6］、Howell［7-8］等利用不變流形理論設(shè)計(jì)了近地停泊軌道（Low Earth Orbit，LEO）出發(fā)到日地系統(tǒng)L1、L2點(diǎn)Halo軌道的轉(zhuǎn)移軌道。2011年，我國(guó)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星成功抵達(dá)日地L2點(diǎn)附近，進(jìn)行了平動(dòng)點(diǎn)軌道技術(shù)初步驗(yàn)證，引發(fā)了國(guó)內(nèi)不變流形軌道研究熱潮。 龔勝平［5］、李明濤［9］、喬棟［10］、侯 錫 云［11］、 張 躍 東［12］、 連 一 君［13］、 錢 霙婧［14］、張景瑞［15］等分別從不同角度研究了平動(dòng)點(diǎn)附近軌道及其特性。

上世紀(jì)60年代，美國(guó)Apollo載人登月工程利用Saturn-V火箭進(jìn)行地月快速直接轉(zhuǎn)移，耗資高、安全性低［16］。 隨著月球南極水冰的發(fā)現(xiàn)［17-19］，各航天大國(guó)開(kāi)始了新一輪低成本月球探測(cè)熱潮。我國(guó)玉兔號(hào)探測(cè)器成功對(duì)月球虹灣地區(qū)進(jìn)行了為期3個(gè)月探測(cè)，嫦娥五號(hào)試驗(yàn)飛行自由返回繞月軌道，并高速半彈道跳躍式再入返回、高精度定點(diǎn)著陸，為探月“繞、落、回”三步走最后一步采樣返回奠定良好技術(shù)基礎(chǔ)［20］。

針對(duì)低成本月球探測(cè)任務(wù)軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題，本文基于不變流形提出一種地月L2點(diǎn)Halo軌道支持的登月方案，以期比直接快速轉(zhuǎn)移方案［23］更低能耗優(yōu)勢(shì)，同時(shí)比基于月球借力的Halo軌道轉(zhuǎn)移方案［9-15］更安全和普適。具體是采用全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化方法，利用Halo軌道衍生穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形設(shè)計(jì)，從LEO出發(fā)到達(dá)LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。并通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證方法的合理性與正確性。

2 動(dòng)力學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系及動(dòng)力學(xué)方程

本文所選用的動(dòng)力學(xué)模型為圓型限制性三體模型，即在一個(gè)三體系統(tǒng)中，假設(shè)質(zhì)量分別為M1和M2的大天體P1和P2繞其公共質(zhì)心O做角速度為ω勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m的小天體P在P1和P2的引力下的運(yùn)動(dòng)，三個(gè)天體的質(zhì)量關(guān)系為m遠(yuǎn)小于M1和M2，且M1＞M2，即P對(duì)P1和P2的運(yùn)動(dòng)影響可忽略不計(jì)。

在圓型限制性三體模型中，常用的坐標(biāo)系為質(zhì)心旋轉(zhuǎn)會(huì)合坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于兩大天體P1和P2的公共質(zhì)心O，x軸由大天體P1指向次天體P2，z軸指向系統(tǒng)的角動(dòng)量方向，y軸與x和z成右手坐標(biāo)系。

引入歸一化單位，令長(zhǎng)度單位為P1和P2質(zhì)心間的距離，質(zhì)量單位為M1、M2之和，P1和P2相對(duì)運(yùn)動(dòng)周期為2π?？紤]歸一化單位時(shí)，萬(wàn)有引力常數(shù)G和角速度ω的值為1。引入質(zhì)量比μ如式（1）：

在歸一化單位下，第三小天體P在會(huì)合坐標(biāo)系中動(dòng)力學(xué)方程為式（2）：

其中，U為與位置相關(guān)的偽勢(shì)能函數(shù)，如式（3）：

式中：2

2.2 Halo軌道及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

共線平動(dòng)點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)具有不穩(wěn)定性，但存在周期軌道—Halo軌道或稱暈軌道，為平動(dòng)點(diǎn)附近航天器最常用的軌道［1］。Richardson利用Lindstedt-Poincare攝動(dòng)分析法給出了Halo軌道的三階近似解析解［21］，但以此為初值積分得到的軌道很快就發(fā)散。對(duì)于高精度任務(wù)，為了得到完整的Halo軌道，需對(duì)三階近似解析解進(jìn)行微分修正［22］。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ（t，t0）用于反映狀態(tài)的發(fā)散程度，描述初始小擾動(dòng)隨時(shí)間的傳播變化，如式（6）。

式（6）中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的初值為單位陣。CR3BP模型中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足式（7）所示微分方程。

式中： Φ（t，t0） ＝ I6，A（t） 為非線性系統(tǒng)的雅可比矩陣，滿足式（8）。

式中Uij是U關(guān)于坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，聯(lián)立求解式（7）和（8）可確定任意時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

2.3 不變流形的計(jì)算

把Halo軌道離散為不動(dòng)點(diǎn)［24］，求解不動(dòng)點(diǎn)處的單值矩陣Φ（T，0），即一個(gè)Halo軌道周期后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。每一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)處的Φ（T，0）存在三對(duì)乘積為1的特征值：λu＞1為不穩(wěn)定特征值，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定特征向量Vu；λs＜1為穩(wěn)定特征值，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定特征向量Vs；一對(duì)互為共軛的復(fù)數(shù)特征值和一對(duì)值為1的特征值。在不動(dòng)點(diǎn)處施加一個(gè)小擾動(dòng)可得不變流形的積分初值，代入原方程積分即可得到不變流形。

對(duì)不穩(wěn)定流形有式（9）：

對(duì)穩(wěn)定流形有式（10）：

式中：X0為不動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)量；d為擾動(dòng)變量。對(duì)于地月系統(tǒng)，為了滿足方程線性d一般取30～70 km。

3 地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

3.1 基于L2點(diǎn)不變流形的地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

基于不變流形理論和三脈沖變軌策略（還有兩次變軌沖量非常小，予以忽略），用優(yōu)化算法設(shè)計(jì)一條從LEO出發(fā)，通過(guò)穩(wěn)定流形軌道、地月L2點(diǎn)Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，最終抵達(dá)LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道，如圖1所示。其中編號(hào)的位置為變軌點(diǎn)，1為L(zhǎng)EO逃逸點(diǎn)，2為穩(wěn)定流形軌道入軌點(diǎn)，3為Halo軌道入軌點(diǎn)，4為Halo軌道逃逸點(diǎn)，5為L(zhǎng)LO捕獲點(diǎn)。

航天器從Halo軌道出發(fā)，沿不穩(wěn)定流形奔向LLO的過(guò)程幾乎不消耗任何燃料，應(yīng)重點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)LEO出發(fā)到達(dá)Halo軌道的轉(zhuǎn)移軌道。文獻(xiàn)［9］和［15］針對(duì)LEO出發(fā)到達(dá)小幅值Halo軌道的轉(zhuǎn)移問(wèn)題，基于不變流形提出了月球借力轉(zhuǎn)移方案，相比圖1所示方案，節(jié)省了一定燃料。然而，對(duì)于大幅值Halo軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題，由于穩(wěn)定流形軌道近月點(diǎn)處的軌道面與白道面夾角較大，月球借力效果不再明顯，而本文所述方案仍可適用。

圖1 完整的地月轉(zhuǎn)移軌道Fig.1 The integrated transfer trajectory from parking orbit of Earth to parking orbit of Moon

3.2 LEO到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)

地月系統(tǒng)L2點(diǎn)Halo軌道不變流形距離地球遠(yuǎn)，增加了LEO到穩(wěn)定流形轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)難度。本文基于逆向積分方法，提出一種全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，詳細(xì)流程如圖2所示。

圖2 串行優(yōu)化算法流程圖Fig.2 Flow chart of serial optimization algorithm

第一步：尋找目標(biāo)穩(wěn)定流形。找出可逆推到地球一側(cè)的穩(wěn)定流形族，如圖3所示，以與地球質(zhì)心距離最短為約束條件，選出最佳的作為目標(biāo)流形。

第二步：全局遍歷搜索初值。遍歷目標(biāo)流形，并對(duì)每一點(diǎn)進(jìn)行速度沖量尋優(yōu)。設(shè)計(jì)變量為ΔV的三個(gè)分量，目標(biāo)函數(shù)為最小，約束條件為施加脈沖逆推得到的軌道能達(dá)到近地附近。仿真中發(fā)現(xiàn)，結(jié)果對(duì)分量ΔVy很敏感而對(duì)ΔVx和ΔVz不敏感。為了提高計(jì)算效率，將ΔVx和ΔVz設(shè)為0，只保留ΔVy一個(gè)優(yōu)化變量，得到的最佳變軌位置Xsubopt和最佳速度沖量 ΔVsubopt為全局次優(yōu)解。

第三步，對(duì)變軌位置與速度沖量局部尋最優(yōu)。遍歷時(shí)，由全局縮小為Xsubopt附近，優(yōu)化變量為ΔV的三個(gè)分量，初值設(shè)為ΔVsubopt，約束條件不變。得到的最佳變軌位置Xopt和最佳速度沖量ΔVopt為全局最優(yōu)解。

圖3 可抵達(dá)地球一側(cè)地月L2點(diǎn)Halo軌道穩(wěn)定流形族Fig.3 The stable manifold of L2 Halo orbit which can get to the Earth

3.3 不穩(wěn)定流形到LLO的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

地月系統(tǒng)中，L2點(diǎn)Halo軌道不穩(wěn)定流形能直接抵達(dá)近月附近，如圖4所示。當(dāng)LLO高度給定時(shí)，遍歷Halo軌道不動(dòng)點(diǎn)衍生出的不穩(wěn)定流形，總能找到一條從Halo軌道出發(fā)與給定高度的LLO相交的不穩(wěn)定流形軌道，依此可以實(shí)現(xiàn)Halo軌道到LLO的轉(zhuǎn)移。

4 算例驗(yàn)證

給出算例，參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)［23］：Halo軌道法向幅值為10 000 km；LEO高度為185 km；LLO高度為200 km；歸一化單位：長(zhǎng)度單位為1 DU＝384 400 km，速度單位為1 VU＝1.024 458 156 km／s。采用本文所述優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)一條從LEO出發(fā)，通過(guò)穩(wěn)定流形軌道、地月L2點(diǎn)Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，最終抵達(dá)LLO的燃料最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道。

圖4 地月L2點(diǎn)可到達(dá)近月的Halo軌道不穩(wěn)定流形族Fig.4 The unstable manifold of L2 Halo orbit which can get to the Moon

4.1 LEO到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移

從圖3所示穩(wěn)定流形族中，選出目標(biāo)流形，其對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)位置信息為X0＝［1.116 581 81-0.000 518 70 0.022 614 24］T。全局遍歷單變量尋優(yōu)，得到的次優(yōu)變軌位置為Xsubopt＝［0．900 878 70-0．010 845 52-0．017 299 91］T，相 應(yīng) 次 優(yōu) 速 度 沖 量 為 ΔVsubopt＝［0-0．547 557 98 0］T。

此時(shí) ΔVsubopt＝0．547 557 98， LEO 到穩(wěn)定流形的次優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道如圖5所示，圓圈標(biāo)注位置距離地球表面185 km，為逃逸點(diǎn)。

圖5 LEO到穩(wěn)定流形的次優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道Fig.5 The suboptimal transfer trajectory from parking orbit of the Earth to the stable manifold

在上一步的基礎(chǔ)上進(jìn)行局部遍歷三變量尋優(yōu)。如圖6所示，為尋優(yōu)過(guò)程中不同變軌位置時(shí)的最優(yōu)速度沖量曲線，橫坐標(biāo)表示變軌位置，縱坐標(biāo)表示最優(yōu)速度沖量的模。

圖6 不同變軌位置時(shí)的速度增量曲線Fig.6 Speed increment curve for different points where the speed impulse is applied

由于逆推時(shí)間相同，對(duì)比圖7與圖5可知：最優(yōu)轉(zhuǎn)移方案有節(jié)省燃料、轉(zhuǎn)移時(shí)間較短的優(yōu)勢(shì)。

圖7 LEO到穩(wěn)定流形的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道Fig.7 The optimal transfer trajectory from parking orbit of the Earth to the stable manifold

4.2 完整地月轉(zhuǎn)移軌道

采用遍歷搜索得到L2點(diǎn)Halo軌道衍生的能達(dá)到近月200 km的不穩(wěn)定流形軌道。拼接LEO到目標(biāo)穩(wěn)定流形最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道、穩(wěn)定流形軌道、Halo軌道、不穩(wěn)定流形軌道，可得到完整的地月轉(zhuǎn)移軌道，如上文圖1所示。各變軌點(diǎn)位置、速度沖量以及各階段運(yùn)行時(shí)間信息如表1所示。

表1 變軌點(diǎn)信息Table 1 Information of the maneuvering points

整個(gè)地月轉(zhuǎn)移過(guò)程中，總的速度沖量消耗為4.298 530 73 km／s，轉(zhuǎn)移時(shí)間為 46.6 800 d。 其中，LEO到L2點(diǎn)Halo軌道的轉(zhuǎn)移過(guò)程中，速度沖量消耗為 3.672 005 07 km／s，轉(zhuǎn)移時(shí)間為21.4 453 d。與文獻(xiàn)［23］中直接快速轉(zhuǎn)移到L2點(diǎn)Halo軌道方案相對(duì)比，本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案節(jié)省了約500 m／s的速度沖量，相應(yīng)的轉(zhuǎn)移時(shí)間增加了約15 d。

5 結(jié)論

本文提出了地月L2點(diǎn)Halo軌道支持的低能耗地月轉(zhuǎn)移方案，采用了全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化方法，利用Halo軌道衍生穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形設(shè)計(jì)了從LEO到LLO的最小能耗轉(zhuǎn)移軌道。

1）LEO到穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移過(guò)程，能耗約占總能耗85%，為軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要階段，采用全局遍歷初值搜索和局部梯度優(yōu)化的串行優(yōu)化方法，能同時(shí)避免陷入局部最優(yōu)和提高運(yùn)算效率。

2）基于不變流形設(shè)計(jì)的地月轉(zhuǎn)移軌道具有省能量、耗時(shí)長(zhǎng)的特點(diǎn)，可用作一些載荷大和對(duì)時(shí)間要求不高的任務(wù)。

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（責(zé)任編輯：龍晉偉）

Trans-lunar Trajectory Optimization Based on Earth-Moon L2 Halo Orbits

CAO Pengfei， SUN Yu， HE Boyong， LI Haiyang?
（College of Aerospace Science and Engineering， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China）

V412.4

A

1674-5825（2017）05-0602-06

2016-08-05；

2017-07-25

國(guó)家自然科學(xué)基金（11372345）

曹鵬飛，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樵虑蚣吧羁仗綔y(cè)技術(shù)。E-mail：caopengfei_nudt＠163.com

?通訊作者：李海陽(yáng)，男，博士，教授，研究方向?yàn)檩d人航天系統(tǒng)分析與仿真。E-mail：lihaiyang＠nudt.edu.cn