黃蓮花

（廈門市梧村小學(xué)，福建 廈門 361000）

思維 習(xí)慣 方法 創(chuàng)新
——例談小學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)核心要素

黃蓮花

（廈門市梧村小學(xué)，福建 廈門 361000）

小學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)需要一個長期的培養(yǎng)、積累的過程，在這一過程中需要學(xué)生思維的參與，良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，貫穿每一節(jié)課的有效方法，具備敢于質(zhì)疑的創(chuàng)新意識和能力。

思維；習(xí)慣；方法；創(chuàng)新；小學(xué)數(shù)學(xué)；建模思想；培養(yǎng)

把現(xiàn)實世界中有待解決或未解決的問題，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，并綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與技能求得解決的一種數(shù)學(xué)思想，就是我們所要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模思想。思想是抽象的，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。但思想是可以培養(yǎng)的，借助知識載體，積累學(xué)習(xí)方法，通過體驗感悟，最終升華認(rèn)識為思想。當(dāng)然，思想的培養(yǎng)，不是一時半會就能見效的，建模思想的培養(yǎng)也是如此，需要經(jīng)歷一個從量變到質(zhì)變的長期的過程，經(jīng)歷一個不斷積累經(jīng)驗的過程。建立模型和運用模型解決問題的過程就是經(jīng)驗積累的過程，這個過程需要學(xué)生思維的參與、良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成、貫穿每一節(jié)課的有效方法，同時還必須有敢于質(zhì)疑的創(chuàng)新意識和能力，這些是學(xué)生建模思想得以培養(yǎng)的核心要素。

一、以情感激活思維是前提

情緒心理學(xué)認(rèn)為：個體的情感對認(rèn)知活動具有動力功能。動力功能是指情感對認(rèn)知活動的增力或減力的效能，即健康的、積極的情感對認(rèn)知活動起積極的發(fā)動和促進作用，消極的、不健康的情緒對認(rèn)知活動起阻礙和抑制作用。因此，教學(xué)時要發(fā)揮情感對認(rèn)知活動的增力效能，減少或避免減力效能。

（一）創(chuàng)設(shè)輕松愉悅的學(xué)習(xí)情境

教師是課堂的組織者、參與者、引導(dǎo)者，教師的情緒對學(xué)生起著至關(guān)重要的作用。教師面帶微笑，情緒高漲，傳遞的是一種積極向上的感染力，容易促進學(xué)生積極的、健康的情感體驗，使學(xué)習(xí)活動成為學(xué)生主動進行的、快樂的事情，直接提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。反之，教師面無表情，情緒低落，有氣無力，學(xué)生可能會覺得壓抑，肯定會影響學(xué)習(xí)的積極性和主動性。實踐表明：歡快活潑的課堂氣氛是取得優(yōu)良教學(xué)效果的重要條件，學(xué)生情感高漲和歡欣鼓舞之時往往是知識內(nèi)化和深化之時。

（二）保持學(xué)生思維的活躍狀態(tài)

海曼在《如何培養(yǎng)建模思想更有效地滲透在應(yīng)用取向的教學(xué)》中認(rèn)為：要讓自己活躍起來，并積極主動地親身體驗建模過程。這樣就能保證，擁有不同智力能力的學(xué)生，有機會體驗各種變化。這里的活躍就是思維的活躍。教師不僅要用積極的情感拉近師生間距離，更重要的是讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中始終處于積極思維的狀態(tài)。

1.在新知生長點處激活。在創(chuàng)設(shè)問題情境中，從生活問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程，其實是一個舊知向新知轉(zhuǎn)化的過程。學(xué)生運用已有的生活經(jīng)驗或知識基礎(chǔ)理解生活問題，但是轉(zhuǎn)化提煉為數(shù)學(xué)問題的過程需要學(xué)生將問題與所學(xué)知識進行溝通聯(lián)系的主動思維。使新舊知識在生長點處自然銜接，教師有效的問題引領(lǐng)是關(guān)鍵。

如教學(xué)《長、正方形周長的計算》一課，并非直接出示圖形提問如何計算周長，而是提供一些學(xué)生經(jīng)常會碰到的現(xiàn)象，并提出問題。諸如“給長方形的相框鑲上漂亮的花邊，至少需要多長的彩帶？”“班級聯(lián)歡會，布置教室時將長方形的黑板圍上五顏六色的彩條，至少需要多長？”“教室里常用的長方形記錄框邊壞了，需要重新鑲框，至少需要鑲多長？”等生活中的實際問題，進而用問題啟發(fā)思考：“你知道這些問題都是在求什么嗎？”這一提問將生活問題直接指向“長方形或正方形的周長是多少？”這一數(shù)學(xué)問題。在解答“為什么是求長、正方形周長”的算理理解中進一步明確了周長的概念，又自然而然引入長、正方形周長如何計算的新知學(xué)習(xí)中。

2.在模型建立關(guān)鍵處激活。每一個數(shù)學(xué)模型都有其外在的表現(xiàn)形式，但是背后卻有內(nèi)涵的東西。教師如果不能夠領(lǐng)悟其內(nèi)涵及思想，教學(xué)時就可能停留在外在知識的獲取，而難以引領(lǐng)學(xué)生向縱橫方向深入思維，所學(xué)知識就難以納入已有或后續(xù)所學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)并形成體系，更無法靈活運用模型解決實際問題。因此，挖掘模型建立過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生主動思維，往往效果甚佳。

以《長、正方形周長的計算》一課為例，很多教師在上述情境引入，揭示課題后，就從以下三個方面展開建模的教學(xué)過程。一是嘗試：出示一個長方形圖（標(biāo)有長、寬的長度），要求學(xué)生獨立嘗試計算這個長方形的周長；二是說理：說說你這樣算的理由？并對其中的難點之處如長加寬的和乘2的算式進行直觀演示幫助學(xué)生理解算理，并引出方法的優(yōu)化。三是抽象方法，建立模型：現(xiàn)在，你能說說長方形周長如何計算？邊引導(dǎo)邊出示：長方形的周長=長+寬+長+寬，或=長×2+寬×2，或=（長+寬）×2，然后比較一下你更喜歡哪個公式？為什么？回顧這三個過程不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生還是有思維參與的：在嘗試、說理的過程學(xué)生要思考問題與信息之間的關(guān)系，要檢索已有經(jīng)驗和問題間的關(guān)聯(lián)，還要思考如何解釋道理，真正知其然而知其所以然；建模階段是對前面的回顧總結(jié)提煉，是一個由具體到抽象的過程，去除現(xiàn)象是本質(zhì)的過程。

模型的建立一定是學(xué)生自主建構(gòu)的過程，所謂自主建構(gòu)，就是從一開始就要清楚要學(xué)習(xí)什么、弄清楚為什么、并在經(jīng)歷體驗后感悟內(nèi)化。從上面三個步驟的教學(xué)中，學(xué)生對長、正方形周長的計算公式是不難理解的，但是隱藏在其背后的內(nèi)涵：“其周長與什么有關(guān)？”學(xué)生能否都能明白。教師一開始就要讓學(xué)生帶著問題思考，直至最后自己感悟并表達(dá)出來。比如，在嘗試計算前先問：“我們要計算長方形的周長，你覺得它的大小會與什么有關(guān)？”等學(xué)生猜測到與長、寬的長度有關(guān)時再給出它們的長度，這樣要求長方形的周長需要知道長、寬的長度，就不是教師直接給予而是學(xué)生根據(jù)猜測證實得到的，那么學(xué)生解決問題的主動性就更強了，思維自然更加活躍了。同時，在說理環(huán)節(jié)后加上“類推”一步：出示兩個圖形（一個長方形，一個正方形，分別給出長、寬的長度），分別求出這兩個圖形的周長。不僅積累更多的長方形計算方法的經(jīng)驗，而且由此遷移內(nèi)化對正方形周長計算方法的理解，更重要的是為后面回顧、抽象、提煉、表達(dá)自己所理解的數(shù)學(xué)模型提供體驗和感悟的豐富材料以及經(jīng)驗。這樣學(xué)生不僅理解掌握長正方形周長的計算公式，更能內(nèi)化周長概念的內(nèi)涵，即長方形四條邊長度的累加，而累加過程的優(yōu)化就得到了長方形周長的計算公式。學(xué)生明白了線段長度屬于一維空間，為后面學(xué)習(xí)面積與體積這樣二維與三維空間知識奠定了堅實的基礎(chǔ)。

3.運用模型拓展延伸激活。模型要在運用于實際問題的解決中得到鞏固深化，但是僅僅是簡單的套用公式，可能導(dǎo)致學(xué)生思維的定勢與思維的惰性，也會使模型之間的關(guān)系被割裂開，無法建構(gòu)模型之間的聯(lián)系，使得不能靈活運用模型解決實際問題。因此，運用模型解決實際問題中，除了基本運用建構(gòu)不同情境但同一本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題解決外，還要拓展延伸，將所學(xué)模型與不同模型間或同一模型但形式不同的實際問題對比，促使學(xué)生進一步思考，以考察學(xué)生靈活運用模型解決問題的能力。

如長方形周長計算一課，最后可設(shè)計的兩個問題：1.制作學(xué)校這個足球門的鐵條需要多長？2.把一個長5分米、寬3分米的長方形架子拆掉并圍成一個正方形，這個正方形架子的邊長是多少分米？最后在學(xué)生解答完后引導(dǎo)思考：回顧解決這些問題的過程，有什么想法、經(jīng)驗和大家分享下？這樣學(xué)生在自己獨立思維的基礎(chǔ)上因有碰撞、接納，思維始終處于活躍狀態(tài)并得到有效提升。

二、讓嘗試成為習(xí)慣是目標(biāo)

建立模型是解決問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心。數(shù)學(xué)應(yīng)用或解決現(xiàn)實中的實際問題很多時候不是也不可能生搬硬套模型就能解決的。而是需要對實際問題進行分析、提煉、檢索，建構(gòu)和模型之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而進行篩選重組，加工處理，甚至要多次變換不同角度思考問題直至最終解決問題。從這個角度上看，學(xué)生對模型的建立過程中經(jīng)歷多少，投入怎樣，對模型的理解掌握程度等等，將直接影響其運用和問題的解決。因為，學(xué)生基本上是將新模型建立過程中所學(xué)到的知識、方法作為自己的思維習(xí)慣，并運用到問題解決中。習(xí)慣一旦養(yǎng)成，很難改變，因此，良好習(xí)慣的養(yǎng)成很重要。

接受式的思維方式可能導(dǎo)致學(xué)生生搬硬套，即使短期有效益，但絕對無法培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)力。要讓學(xué)生主動思考，勤于思考，大膽思考，碰到困難不退縮，有辦法，并使之成為習(xí)慣，自主嘗試是一個不錯的途徑。嘗試的開始就是學(xué)生啟動獨立思考，進行分析、比較、抽象、推理等思維之旅的過程，是建構(gòu)與已有經(jīng)驗間聯(lián)系并進行分析取舍的過程，也是學(xué)生對模型能夠真正內(nèi)化為自己的理解并表達(dá)的前提，更是教師根據(jù)學(xué)情及時調(diào)整教學(xué)進程、提供良好學(xué)習(xí)方式的有效載體。自主嘗試成為一種習(xí)慣后，學(xué)生的思維方式就轉(zhuǎn)變?yōu)椋悍彩伦约合认?，敢于挑?zhàn)，尋找解答過程不容易受剛學(xué)過的數(shù)學(xué)技巧的限定，能夠調(diào)整思維的角度，想盡各種方法，最終使問題得以解決。有利于培養(yǎng)學(xué)生運用的意識，以及創(chuàng)新意識的形成，更有助于學(xué)生積累建模的經(jīng)驗，形成建模的思想。

如教學(xué)雞兔同籠一課時，許多教師在出示例題后就引導(dǎo)學(xué)生找出顯現(xiàn)的和隱藏的信息，課堂就成了教師的一言堂了，學(xué)生沒有思維參與的空間，教師也無視學(xué)生的想法，導(dǎo)致模型建立后教師還得不停引導(dǎo)，這樣的教學(xué)無法培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，并綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與技能求得解決的能力，更談不上培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思想了。教學(xué)其實是可以這樣進行的：讓學(xué)生理解信息后，直接問：你想怎么解決這個問題？學(xué)生思考后直接動手嘗試解決，學(xué)生各自運用的方法是不同的，有的嘗試。列舉法（就算是列舉法的也還有所區(qū)別），有的用假設(shè)法，有的則嘗試用方程，還有的嘗試畫圖。當(dāng)然，也會有一部分學(xué)生想不出思路。只有充分地放手，才能真正地發(fā)現(xiàn)和調(diào)整，發(fā)現(xiàn)學(xué)生已有知識基礎(chǔ)或經(jīng)驗被激活的情況如何，學(xué)生自己獨立解答問題的能力如何，學(xué)生思維活躍或?qū)哟畏从城闆r如何，這時教師才能真正把時間放在重點處、難點處，關(guān)注學(xué)生對各種解法的理解，因此，教師對展示各種解法的過程中，可以在學(xué)生易錯易混淆的地方放慢腳步，多一些“這一步什么意思？你看得懂嗎？還有什么疑問沒？”等問題引領(lǐng)，然后適時地運用直觀手段幫助理解，使學(xué)生能夠感受到對算理理解的必要性。同時，通過對多種方法的比較，使學(xué)生領(lǐng)悟并選擇適合自己思維層次的算法解決問題。此時，學(xué)生的參與就不僅是聽，更多的是思和悟了：“呵呵，我做對了”“哦，我剛才怎么沒有想到這種方法？”“嗯，這個方法好像更好”。做足體驗和感悟是升華思想的必要途徑。

問題解決不是一成不變，而是靈活多變的，需要學(xué)生具備獨立解決問題的能力和善于思考的習(xí)慣。碰到一個新的問題，不是期待得到幫助，而是先主動嘗試解題，分析問題與信息之間的關(guān)系，與原有的認(rèn)知基礎(chǔ)或經(jīng)驗進行關(guān)聯(lián)，尋找解決問題的突破口。只有在學(xué)生真正經(jīng)歷思考后還無法解決時伸出援手的幫助，才能使學(xué)生真正從情感上接受，并付出精力去獲取，這樣，獲得的知識才會牢固，體驗才會深刻，能力才能得到培養(yǎng)，思想才能升華。

三、把反思當(dāng)作方法是策略

從元認(rèn)知角度來考慮，學(xué)習(xí)并不僅僅是對所學(xué)材料的識別、加工和理解的認(rèn)知過程，它同時也是對認(rèn)知過程進行積極的監(jiān)控和調(diào)節(jié)的元認(rèn)知過程。元認(rèn)知過程實際上就是指導(dǎo)、調(diào)節(jié)認(rèn)知過程，選擇有效認(rèn)知策略的控制執(zhí)行過程。其實質(zhì)是人對認(rèn)知活動的自我意識和自我控制。元認(rèn)知的過程恰恰是學(xué)生將模型內(nèi)化并積累經(jīng)驗的一個不可缺少的環(huán)節(jié)。及時反思可以指導(dǎo)學(xué)生有效監(jiān)控學(xué)習(xí)過程，借助反思促進思考，讓反思成為進一步學(xué)習(xí)的有效策略。反思不僅應(yīng)該從知識的獲得入手，更重要的是在方法策略、意識和觀念層面上的自我監(jiān)控。通常，在每一環(huán)節(jié)結(jié)束進入下一環(huán)節(jié)時，要引導(dǎo)反思，達(dá)到承上啟下的作用。在建模過程中，更需要對方法、策略運用及失敗和喜好原因等進行反思，勾連新舊知識間的聯(lián)系，及時調(diào)整、修正策略，使模型認(rèn)識更深刻，使學(xué)習(xí)方法更有效，從中感受數(shù)學(xué)思想方法的魅力和作用，并能在潛移默化中靈活運用解決問題。

以三角形的面積計算為例，本課教學(xué)一開始通過創(chuàng)設(shè)情境抽象“這個直角三角形的面積如何計算？”這一數(shù)學(xué)問題后，學(xué)生嘗試解決，并解釋算理：將直角三角形轉(zhuǎn)化為長方形，發(fā)現(xiàn)他們面積之間存在2倍的關(guān)系，經(jīng)過推導(dǎo)得到了直角三角形面積等于底乘高除以2這一結(jié)論后。許多教師直接提問：那么銳角三角形、鈍角三角形的面積又該如何計算呢？能不能也運用轉(zhuǎn)化的方法試試看？就引入了下一環(huán)節(jié)的探索。其實，建模過程所運用的策略為接下來的繼續(xù)探究以及今后碰到的實際問題的解決將起至關(guān)重要的作用，應(yīng)該讓每個學(xué)生都清楚和明白，而自我反思恰恰是必不可少的環(huán)節(jié)?？赏ㄟ^問題激發(fā)學(xué)生思考：你們想過為什么要把直角三角形轉(zhuǎn)化為長方形？轉(zhuǎn)化為其他圖形可以嗎？你們又是怎么轉(zhuǎn)化的？通過反思，能夠明白未知轉(zhuǎn)化為已知是問題得以解決的常用的、有效的策略；通過反思，真正尋找到“兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形”是新知識與舊知識之間的聯(lián)結(jié)點。通過反思，明白直角三角形不但可以拼成長方形，還可以拼成平行四邊形，轉(zhuǎn)化為長方形時不僅可以用拼的方法，還可以直接把這個直角三角形進行剪拼（如上圖所示）。更重要的是為后面的銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形的探索掃清障礙，為順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)打下堅實的基礎(chǔ)。

盡管教學(xué)不一定要把所有的方法都讓學(xué)生掌握，但是，通過反思還能夠想到教學(xué)以外的更多的方法，恰恰說明學(xué)生思維的廣度和深度被充分挖掘。如果，長期堅持養(yǎng)成自我反思的習(xí)慣，讓學(xué)生自主把未知問題歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去時，將不會受到所學(xué)知識和方法的限制，能夠更加靈活地選擇有效的方法，使問題最終得以解決。

四、將質(zhì)疑進行到底是精神

學(xué)習(xí)的過程是自主建構(gòu)對新知識的理解和體驗、感悟的過程。學(xué)生帶著自己的認(rèn)知基礎(chǔ)或生活經(jīng)驗的主動參與，但是基礎(chǔ)不同，經(jīng)驗不同，每個人的理解和能力也各不相同，因此，大班教學(xué)要確保學(xué)生對所學(xué)知識達(dá)到知其然而知其所以然的目標(biāo)，就要在課堂學(xué)習(xí)中形成一種人人敢于問“為什么”的質(zhì)疑精神，敢于說出“我認(rèn)為這樣的方法更好”的自信。

暑假聽了劉松教學(xué)的《倍的認(rèn)識》，他在借助三朵黃花和三朵紅花比較，通過引導(dǎo)學(xué)生說出黃花和紅花同樣多的基礎(chǔ)上，直接告知在數(shù)學(xué)上除了可以說成同樣多外，還可以有另一種關(guān)系。這樣引導(dǎo)出紅花是黃花的一倍，進而一倍多1個，多2個，一倍多3個也是2倍，再到3倍之后，就話鋒一轉(zhuǎn)：“剛才要你們說的，都說得真好?，F(xiàn)在你們自己還有什么想說的嗎？”此時很多學(xué)生不知如何表達(dá)。最后還是劉松老師引導(dǎo)，“你們說是1倍，說是2倍，可為什么是1倍、2倍呢？也就是說你們知道這個結(jié)果，可為什么是這樣的？你們明白嗎？有這樣問過自己嗎？”這是非常重要的問題，學(xué)習(xí)不但要知道是什么，更要知道是為什么。

整堂課下來，印象最深的就是教師一直在鼓勵學(xué)生要敢于問為什么，凡事要弄清楚為什么，教師說這就是他的教學(xué)理念。教師直接問為什么？學(xué)生只是在回答一個問題而已。但是如果問學(xué)生有什么問題要問嗎，或者有什么想法要表達(dá)嗎，這就要求學(xué)生自己思考要提什么問題，提什么才是有價值的問題，每每作出這樣的思考時，學(xué)生質(zhì)疑習(xí)慣才能養(yǎng)成，獨立思考的能力才會增強。這就是我們所需要培養(yǎng)的發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的能力。而營造這樣有著“質(zhì)疑習(xí)慣”的肥沃土壤，需要靠教師持之以恒，堅持不懈的培育和澆灌。

教師力求培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題時，能夠用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，運用數(shù)學(xué)模型靈活解決問題，碰到困難不退縮，不放棄。但在平常的教學(xué)中，學(xué)生沒有獲得足夠的信心、養(yǎng)成良好的習(xí)慣、掌握必要的技能，以及缺乏應(yīng)變的思維能力的支撐，是難以達(dá)成這一目標(biāo)的。因此，持之以恒、堅持不懈地把建模思想所必備的核心要素貫穿于每一堂課始終，就成了教師必須共同努力的方向。

［1］張海燕.數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代教育,2015(10).

［2］鄭毓信.數(shù)學(xué)教師基本功之二［J］.人民教育，2008（9）.

（責(zé)任編輯：陳志華）