胡克偉+徐秀波+齊曉輝

摘 要：對比了漸開線圓柱齒輪常用的齒厚測量方法，對各測量方法的適用場合和優(yōu)、缺點進(jìn)行了總結(jié)；針對直齒外嚙合圓柱齒輪、直齒內(nèi)嚙合圓柱齒輪建立了跨棒距測量分度圓弧齒厚的數(shù)學(xué)模型，給出其理論計算的過程，為齒輪計算軟件的二次開發(fā)奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：齒輪加工 漸開線圓柱齒輪 齒厚測量 跨棒距計算

1 齒厚測量方法

漸開線圓柱齒輪在加工過程中，齒厚是一個重要的參數(shù)，它決定著齒輪的側(cè)隙。側(cè)隙過小，會引起齒輪副在工作過程中“咬齒”，而側(cè)隙過大，則會造成齒輪副工作中產(chǎn)生較大的噪聲。齒厚如果達(dá)不到設(shè)計要求，會造成側(cè)隙不合格，嚴(yán)重影響齒輪傳動。

常用的齒厚測量方法主要有：分度圓弦齒厚、固定弦齒厚、公法線長度和量柱（球）測量跨距（即跨棒距）。對于漸開線圓柱齒輪，齒輪加工過程中常用公法線長度和跨棒距測量齒厚。采用跨棒距進(jìn)行測量時不需以齒頂圓作為定位基準(zhǔn)，方法簡單，測量結(jié)果較準(zhǔn)確，而對于齒厚變化，其較公法線更為敏感，一般為兩倍以上，測量精度相對較高，在短齒（如漸開線花鍵齒）和寬度較窄的齒，測量公法線極不方便，對于內(nèi)齒，則無法用公法線測量，因此跨棒距測量已成為齒輪加工過程中齒厚測量方法的首選。

2 跨棒距測量的幾何原理

1）直齒外嚙合圓柱齒輪的跨棒距數(shù)學(xué)原理

圖1為一直齒外嚙合圓柱齒輪的部分輪齒示意圖（僅畫出齒廓與基圓相交部分）。圖中圓O為基圓，量棒的圓心為M，量棒與齒廓上的漸開線接觸于P點，過P點做基圓O的切線，交圓O于K點，根據(jù)漸開線的性質(zhì)，可知P、K、M三點共線。設(shè)跨棒距為M，設(shè)量棒直徑為dp，量棒中心至基圓中心的距離為RM。若求出圖中的RM，則可求出跨棒距，根據(jù)齒輪齒數(shù)的不同，可分為以下兩種情況：

偶數(shù)齒 （1），

奇數(shù)齒 （2）。

在△MOK中，可解得 （3），

（4），

（5）， （6），

（7），

將式（5）、（6）、（7）代入式（4）中，可得： （8）。

由圖1可知， （9），θP為漸開線上P點的展角，αP為P點的壓力角，δ為齒槽寬中點與基圓圓心的連線和漸開線在基圓上的起點與基圓圓心的連線之間的夾角。

由漸開線的性質(zhì)可知： （10）。

為了求δ，需要將角度轉(zhuǎn)換到分度圓上。在圖2中，點劃線表示齒輪輪齒的分度圓，分度圓與漸開線交于Q，過Q做基圓的切線，相交于R，α為Q點的壓力角，設(shè)齒距為p，分度圓弧齒厚為s，分度圓齒槽寬為e，則

（11）。

由漸開線的性質(zhì)可知： （12），

（13），

（14）。

由式（11）、（12）、（13）、（14）得 （15）。將式（15）與（9）、（11）聯(lián)立，可得

（16）， （17）。將式（16）與（8）、（17）聯(lián)立，可得

（18），欲求跨棒距，只需將式（1）、（2）、（3）、（18）聯(lián)立即可。

2）直齒內(nèi)嚙合圓柱齒輪的跨棒距數(shù)學(xué)原理

直齒內(nèi)嚙合圓柱齒輪的跨棒距公式推導(dǎo)與直齒外嚙合圓柱齒輪類似，見圖3、圖4，其中偶數(shù)齒 （19），奇數(shù)齒

（20）。式（4）變?yōu)?（21），式（8）變?yōu)?/p>

（22），式（9）變?yōu)?（23），式（11）變?yōu)?（24），式（15）變?yōu)?（25），式（18）變?yōu)?/p>

（26）。

而對于內(nèi)嚙合齒輪，齒輪參數(shù)表上通常給出的是分度圓齒槽寬，因此，式（26）也可寫作： （27）。

圖1 外齒輪跨棒距的推算 圖2 外齒輪角度的轉(zhuǎn)換

圖3 內(nèi)齒輪跨棒距的推算 圖4 內(nèi)齒輪角度的轉(zhuǎn)換

通過以上的數(shù)學(xué)模型，可建立相應(yīng)軟件，將跨棒距的測量值反算為分度圓弧齒厚，對齒輪齒厚情況進(jìn)行衡量。

3 結(jié)束語

1）漸開線圓柱齒輪齒厚的常用測量方法中，跨棒距大小對分度圓齒厚變化最為敏感，且適合測量公法線不宜測量的內(nèi)嚙合圓柱齒輪，是一種直接、有效、方便的齒厚測量方法；

2）在應(yīng)用跨棒距測量斜齒輪時需注意當(dāng)齒數(shù)為奇數(shù)齒，且螺旋角在45°附近時，無法采用雙量柱（球）測量，需改用三量柱（球）測量；

3）在給定分度圓弧齒厚后，可根據(jù)相應(yīng)計算公式推出跨棒距值，反之，也可根據(jù)跨棒距的數(shù)值推出分度圓弧齒厚；

4）齒輪參數(shù)中如果已知變位系數(shù)，而分度圓弧齒厚未知時，也可通過分度圓弧齒厚與齒輪變位系數(shù)之間的關(guān)系公式進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，從而求出跨棒距。

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