華逢彬，王艷平

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雙極值模糊軟集運(yùn)算的研究及應(yīng)用

華逢彬，王艷平

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

從參數(shù)集的信息角度將雙極值軟集與模糊集相結(jié)合，首先提出了雙極值模糊軟集的概念，然后定義了雙極值模糊軟集的交、并、補(bǔ)、且、或運(yùn)算，并證明了其運(yùn)算性質(zhì)。最后基于雙極值模糊軟集給出一種決策算法，用來(lái)解決投資過(guò)程中基金選擇的問(wèn)題。

軟集；雙極值軟集；雙極值模糊集；雙極值模糊軟集

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，不確定性問(wèn)題的研究變得日益復(fù)雜，單一的模糊集理論[1]、粗糙集理論[2]以及軟集理論[3-4]都無(wú)法解決這些不確定性問(wèn)題，因此幾種理論的融合成為研究的熱點(diǎn)。近年來(lái)許多專(zhuān)家學(xué)者將模糊集理論、直覺(jué)模糊集理論、區(qū)間值模糊集理論融合到軟集理論當(dāng)中，從而產(chǎn)生了模糊軟集理論[5]、直覺(jué)模糊軟集理論[6]、區(qū)間值模糊軟集理論[7]、區(qū)間直覺(jué)模糊軟集理論[8],并且成功應(yīng)用到數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、決策等領(lǐng)域。兩極性是事物的固有屬性，它的平衡在一切系統(tǒng)的正常運(yùn)行中起到關(guān)鍵作用。在大數(shù)據(jù)時(shí)代，信息的兩極性特點(diǎn)尤為突出，單一的模糊集理論在處理兩極性的不確定信息時(shí)顯得力不從心，因此在1994年Zhang[9]提出雙極值模糊集理論。Lee[10-11]對(duì)雙極值模糊集的概念進(jìn)行了補(bǔ)充，從語(yǔ)義上對(duì)雙極值模糊集進(jìn)行了闡釋。Abdullah等[12]及楊文華等[13]將雙極值模糊集融合到軟集理論中，提出了雙極值模糊軟集理論。Maji等[14]從參數(shù)集信息的角度定義了“非參數(shù)集”，即參數(shù)集的否定形式組成的集合，考慮參數(shù)集本身的特點(diǎn)，參數(shù)集與非參數(shù)集并不是完全對(duì)稱(chēng)的信息，參數(shù)集合中就存在灰色區(qū)域。為了能夠更好地處理這樣的問(wèn)題，可以從參數(shù)集本身的信息特征出發(fā)，考慮事物的兩極性。文獻(xiàn)[15]將兩極性理論融合到軟集理論中，從參數(shù)集出發(fā)提出了雙極值軟集的概念，并定義了新的雙極值軟集運(yùn)算。本文將這一思想推廣到雙極值模糊軟集的構(gòu)造，即從參數(shù)集本身的信息特征出發(fā)構(gòu)造雙極值模糊軟集，從而給出不同于已有文獻(xiàn)的新的雙極值模糊軟集，并定義了普通交、普通并、嚴(yán)格交、嚴(yán)格并、補(bǔ)集及“且”、“或”運(yùn)算，討論了它們的運(yùn)算性質(zhì)，最后給出一種基于雙極值模糊軟集的決策算法來(lái)解決投資過(guò)程中基金的選擇問(wèn)題。

1 預(yù)備知識(shí)

首先復(fù)習(xí)一下有關(guān)軟集、雙極值軟集的基本知識(shí)。

定義1[3]設(shè)為初始論域，為參數(shù)集，且。稱(chēng)序?qū)樯系囊粋€(gè)軟集，其中是到的冪集的一個(gè)映射，。上的一個(gè)軟集就是的子集的屬性族，對(duì)任意的，被認(rèn)為是中的—近似元素組成的集合。

定義2[15]設(shè)為初始論域，為參數(shù)集，且。稱(chēng)三元組為論域上的雙極值軟集，其中、為映射：，，且滿(mǎn)足，。

定義3[15]設(shè)和為上的兩個(gè)雙極值軟集，如果滿(mǎn)足(1)(2),，，則稱(chēng)為的雙極值軟子集，記為。

定義4[15]設(shè)和為上的兩個(gè)雙極值軟集，如果且，則稱(chēng)和為雙極值軟相等，記為。

定義5[15]設(shè)為上的一個(gè)雙極值軟集，對(duì)于，，，則稱(chēng)為上的空雙極值軟集，記為。

定義6[15]設(shè)為上的一個(gè)雙極值軟集，對(duì)于，，，則稱(chēng)為上的滿(mǎn)雙極值軟集，記為。

文獻(xiàn)[13]中提出的擴(kuò)展交、擴(kuò)展并、嚴(yán)格交、嚴(yán)格并及“且”、“或”運(yùn)算如下。

定義7[15]同一論域上的兩個(gè)雙極值軟集和的擴(kuò)展并定義為，其中，對(duì)于都有：

定義8[15]同一論域上的2個(gè)雙極值軟集和的擴(kuò)展交定義為，其中，對(duì)于都有：

定義9[15]同一論域上的2個(gè)雙極值軟集和的嚴(yán)格并定義為，其中，對(duì)于，，,記為。

定義10[15]同一論域上的2個(gè)雙極值軟集和的嚴(yán)格交定義為，其中，對(duì)于，，，記為。

定義11[15]設(shè)和為上的2個(gè)雙極值軟集，則定義且為，其中，對(duì)于，，，記為。

定義12[15]設(shè)和為上的兩個(gè)雙極值軟集，則定義或?yàn)?，其中，?duì)于，，，記為。

2 雙極值模糊軟集的運(yùn)算及性質(zhì)

下面把上述雙極值軟集的定義推廣到模糊集，給出新的雙極值模糊軟集定義。

依據(jù)雙極值軟集的擴(kuò)展交、擴(kuò)展并以及嚴(yán)格交、嚴(yán)格并的運(yùn)算，給出雙極值模糊軟集的擴(kuò)展交、擴(kuò)展并、嚴(yán)格交、嚴(yán)格并的運(yùn)算如下。

在文獻(xiàn)[14]中引入表格的形式來(lái)簡(jiǎn)單地描述一個(gè)軟集，本文利用這種形式來(lái)簡(jiǎn)潔地表示雙極值模糊軟集。

定義24 對(duì)于一個(gè)雙極值模糊軟集，可以簡(jiǎn)單地表示為：

，，，

，，，

用表格的形式可以表示為表1和表2。

表1 雙極值模糊軟集(F,G,A)

表2 雙極值模糊軟集(F1,G1,B)

,,

,,,,,

其他計(jì)算依定義可得。

從性質(zhì)(7)、(8)中可知，擴(kuò)展并與嚴(yán)格交滿(mǎn)足包含關(guān)系，但是擴(kuò)展交與嚴(yán)格并不滿(mǎn)足包含關(guān)系。其余性質(zhì)由定義直接可得或類(lèi)似可證，下面就性質(zhì)(9)給出證明。

3 雙極值模糊軟集在決策中的應(yīng)用

在專(zhuān)業(yè)科學(xué)領(lǐng)域，專(zhuān)家應(yīng)用專(zhuān)業(yè)知識(shí)做出精準(zhǔn)的判斷是決策過(guò)程中的一項(xiàng)重要因素。本文利用可用信息集合提出一個(gè)基于雙極值模糊軟集的決策算法來(lái)解決投資過(guò)程中最優(yōu)基金選擇的問(wèn)題。

定義24[2]令為一族等價(jià)關(guān)系，，如果不可區(qū)分關(guān)系，則稱(chēng)為中不必要的；否則稱(chēng)為中必要的。中所有的必要關(guān)系組成的集合稱(chēng)為的核，記作。

下面定義一個(gè)算法來(lái)解決遇到的雙極值模糊軟集的決策問(wèn)題。算法：

(4)依據(jù)決策屬性值的大小重新對(duì)可以選擇的對(duì)象從大到小的順序進(jìn)行排列，具有相同值的對(duì)象按照順序排列。

(5)按照定義24計(jì)算參數(shù)集的核。

(6)如果核為參數(shù)集則執(zhí)行下一步，若不為參數(shù)集則依據(jù)核的屬性值重新計(jì)算的值并進(jìn)行排序。

(7)找到?jīng)Q策屬性值的最大值對(duì)應(yīng)的選擇對(duì)象，則該對(duì)象為最佳對(duì)象。

例2 隨著現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，投資基金越來(lái)越受到投資者的青睞，選擇一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)小、收益高的基金是所有投資者的向往。取為8支可供選擇的基金，參數(shù)集合為基金的評(píng)價(jià)因素組成，表示為，其中~分別表示風(fēng)險(xiǎn)性小、收益性高、基金規(guī)模大、投資組合比較穩(wěn)定、投資選擇時(shí)機(jī)合適、基金經(jīng)理投資水平高、基金費(fèi)用低、流動(dòng)性高、混合型投資基金。參數(shù)集的否定集合為，其中至分別表示安全性低、收益性低、基金規(guī)模小、投資組合不穩(wěn)定、投資選擇時(shí)機(jī)性差、基金經(jīng)理投資水平低、基金費(fèi)用高、流動(dòng)性低、股票型投資基金。

下面按照所提供的算法來(lái)選擇一支最佳的基金來(lái)進(jìn)行投資。

(4)根據(jù)核的定義，依據(jù)表4可得：

表3 雙極值模糊軟集(F,G,A)

表4 雙極值模糊軟集(F,G,A)生成的屬性表

表5 雙極值模糊軟集(F,G,A)生成新的屬性表

(6)可以得出結(jié)論：在可供選擇的8支基金當(dāng)中第1支與第6支是投資者進(jìn)行投資的最優(yōu)選擇。

4 結(jié)束語(yǔ)

從參數(shù)集的角度將雙極值軟集與模糊集相結(jié)合，提出雙極值模糊軟集的概念，這是對(duì)軟集進(jìn)一步的推廣。在新的定義下給出擴(kuò)展交、擴(kuò)展并、嚴(yán)格交、嚴(yán)格并、補(bǔ)集、且、或的運(yùn)算以及運(yùn)算性質(zhì)，并證明了De Morgan律成立。最后針對(duì)金融行業(yè)的實(shí)際問(wèn)題提出一種決策算法來(lái)解決投資過(guò)程中的基金選擇的雙極值模糊軟集問(wèn)題，從而為不確定性問(wèn)題提供了一種決策方法。

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責(zé)任編校：孫 林

Research on Operation of Bipolar Fuzzy Soft Set and Its Application

HUA Feng-Bin, WANG Yan-ping

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

From the view of parameter set information, this paper introduces the concept of bipolar fuzzy soft set by integrating the bipolar soft set and fuzzy set firstly. Then the union intersection complement ‘a(chǎn)nd’ ‘or’ operations are defined, and its operation properties are proved. Finally, based on the bipolar fuzzy soft set, a decision algorithm is proposed to solve the problem of fund selection in the process of investment.

soft sets; bipolar soft sets; bipolar fuzzy sets; bipolar fuzzy soft sets

10.15916/j.issn1674-3261.2017.04.002

TP301；O236

A

1674-3261(2017)04-0215-06

2016-12-08

華逢彬(1990-)，男，山東臨沂，碩士生。王艷平(1966-)，女，遼寧錦州人，教授，碩士。