吳國林，張懷亮

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電弧仿真收斂性研究

吳國林1，張懷亮2

(1. 中國人民解放軍91003部隊(duì)，海南三亞572000; 2. 海軍裝備部裝備采購中心，北京170001）

電弧仿真的研究，對(duì)于電器開關(guān)的發(fā)展改進(jìn)有著重要意義。本文以穩(wěn)態(tài)空氣電弧為研究對(duì)象，對(duì)其中心軸附近近極區(qū)域建立了二維軸對(duì)稱模型，利用MATLAB軟件編程，采用局部細(xì)化網(wǎng)格的電弧仿真方法，對(duì)電弧近極的電位場進(jìn)行了仿真，給出了一種解決電弧仿真過程中發(fā)散問題的新思路。

電弧仿真 收斂性 MATLAB

0 引言

隨著電網(wǎng)中故障短路電流水平的不斷提高[1-3]，大容量分?jǐn)嘣O(shè)備的應(yīng)用也越來越廣泛。分?jǐn)嘣O(shè)備在分?jǐn)喽搪冯娏鲿r(shí)，會(huì)在分?jǐn)嗟耐髦w之間產(chǎn)生電弧[4]，大容量分段設(shè)備的廣泛應(yīng)用也使得電弧的研究越來越重要。電弧近極區(qū)溫度的劇變使得近極區(qū)電弧物性參數(shù)變化劇烈，對(duì)該區(qū)域進(jìn)行仿真時(shí)，若采用常規(guī)的網(wǎng)格劃分方法，則極易使得計(jì)算發(fā)散。目前為避免發(fā)散問題的出現(xiàn)，大都將整個(gè)模型或該區(qū)域的網(wǎng)格劃分得十分密集[5-7]，使得電弧的仿真計(jì)算動(dòng)輒數(shù)十小時(shí)，造成很大的資源浪費(fèi)。

本文以穩(wěn)態(tài)空氣電弧為研究對(duì)象，對(duì)其中心軸附近近極區(qū)域建立了二維軸對(duì)稱模型，利用MATLAB軟件編程，給出了一種局部細(xì)化網(wǎng)格的方法，使得仿真計(jì)算大幅簡化。

1 模型建立

1.1 物理模型

如圖1所示，給出了電弧模型示意圖，電弧為陽極與陰極之間的虛線部分，目前普遍將電弧作為圓柱體仿真。本文為簡化模型，將電弧轉(zhuǎn)化為二維模型，又由于本章的目的主要是解決電弧近極部分由于物性參數(shù)劇變帶來的發(fā)散問題，從而僅取電弧中心軸附近區(qū)域進(jìn)行仿真，即圖1中斜線區(qū)域，并且仿真區(qū)域軸向長度為電弧軸向長度1/2。如圖2所示，給出近極電弧模型的尺寸及邊界條件，由于模型選取自電弧中心軸處，可認(rèn)為電弧模型與電弧其他部分沒有熱量交換，模型熱量只能由電極傳出。

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1 電場方程

式(1)中，及分別為圓柱坐標(biāo)徑向及軸向分量；表示電位，單位；表示電導(dǎo)率，單位1/s。

圖1 電弧模型示意圖

圖2 模型邊界

1.2.2 導(dǎo)熱微分方程

式(2)中，表示溫度，單位為K；表示單位體積單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量，單位J；表示熱導(dǎo)率，單位W/m?K[8]。

1.3 離散方法

本文采用有限差分法對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散。首先對(duì)仿真區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分。用(i,j)表示點(diǎn)(i,j)的溫度，用(i,j)表示點(diǎn)(i,j)的電位，如圖3所示。

圖3 網(wǎng)格剖分

進(jìn)行網(wǎng)格劃分后，任一內(nèi)部節(jié)點(diǎn)(i,j)在方向上的偏導(dǎo)可以由其四周的點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行描述，從而得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)(i,j)的離散公式（以電位的離散公式為例）：

2 收斂條件

由文獻(xiàn)[9-11]可知，對(duì)于式（3）所示線性方程組，若系數(shù)矩陣中的每一行中不在主對(duì)角線上的所有元素的絕對(duì)值之和小于同一行中主對(duì)角線元素之絕對(duì)值，即：

則稱(3)為系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，并且對(duì)于該方程組，簡單迭代法及Seidel迭代法都收斂。

（3）

3 MATLAB程序設(shè)計(jì)

3.1 MATLAB程序設(shè)計(jì)

如圖4及圖5所示，給出了近極電弧仿真計(jì)算的MATLAB程序框圖，包括主程序及子程序兩部分，主程序?qū)崿F(xiàn)大網(wǎng)格劃分模型的仿真計(jì)算，并實(shí)現(xiàn)對(duì)各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)收斂性的實(shí)時(shí)監(jiān)測。一旦發(fā)現(xiàn)不滿足嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的點(diǎn)，即調(diào)用子程序，將該點(diǎn)坐標(biāo)輸入給子程序，子程序?qū)⒉环€(wěn)定點(diǎn)處以密集網(wǎng)格劃分，并以迭代法求解不穩(wěn)定點(diǎn)的溫度值及電位值，并將計(jì)算結(jié)果返回給主程序，主程序再進(jìn)行后續(xù)的迭代計(jì)算。

圖4 主程序

3.2 局部密集網(wǎng)格劃分方法

如圖6所示，為局部密集網(wǎng)格細(xì)化方法示意圖，下面以電位的處理為例，介紹實(shí)現(xiàn)方法。當(dāng)主程序以迭代法解方程組時(shí)，檢測到點(diǎn)(0,0)不滿足按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí)，即調(diào)用子程序，并將1,,3,12,3輸入給子程序。若子程序中將網(wǎng)格尺寸大小變?yōu)樵瓉淼?/n，則a, b, c, d四點(diǎn)電位分別為（以n=3為例）：

圖6 局部網(wǎng)格細(xì)化

同理，紅色虛線框上其他點(diǎn)的電位均以此方法給出，紅色虛線框上點(diǎn)的電位值實(shí)際上相當(dāng)于局部小網(wǎng)格區(qū)域的第一類邊界條件。紅色虛線框內(nèi)部點(diǎn)的電位值也以這種方法給出，這就相當(dāng)于給所有點(diǎn)賦初值。局部小網(wǎng)格區(qū)域?qū)嶋H上相當(dāng)于一個(gè)新的模型，滿足電位微分方程及導(dǎo)熱微分方程，其邊界條件均為第一類邊界條件，同樣用迭代法求解該方程組，可得點(diǎn)()的電位值及溫度值，子程序?qū)Ⅻc(diǎn)()的電位值及溫度值返回給主程序，主程序即得到了滿足按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)求解得到的收斂值。

4 近極電弧仿真結(jié)果

如圖7所示，給出了模型電位的軸向分布，即圖2中電弧模型軸AB上的電位分布。仿真中將電弧在軸向上劃分為101個(gè)大網(wǎng)格，網(wǎng)格0對(duì)應(yīng)電弧的中心點(diǎn)A，網(wǎng)格101對(duì)應(yīng)于點(diǎn)B。圖7中，縱軸表示電位值，橫軸表示網(wǎng)格。由電位分布可以看出，近極電弧遠(yuǎn)離觸頭表面的大部分區(qū)域的電位梯度都很小，而在靠近觸頭表面的小距離內(nèi)發(fā)生了巨大的躍升。

圖7 電位分布

文獻(xiàn)[12]中給出了普遍認(rèn)為的電弧電位的軸向分布，如圖8所示。電弧由三部分組成：陰極區(qū)、陽極區(qū)以及等離子區(qū)。陰極區(qū)緊鄰陰極表面，并且厚度很小，但是大部分電弧電壓都施加在這一個(gè)狹小的區(qū)域，這使得陰極區(qū)具有很高的電場強(qiáng)度。當(dāng)電流足夠大時(shí)，會(huì)在靠近陽極表面的位置出現(xiàn)陽極區(qū)，陽極區(qū)也分擔(dān)一部分電弧電壓。等離子區(qū)是位于陰極區(qū)和陽極區(qū)之間的廣大區(qū)域，等離子區(qū)中充滿著等離子體，等離子區(qū)中的正、負(fù)粒子都具有很高的密度，使得等離子區(qū)的導(dǎo)電性非常好，從而等離子區(qū)電位梯度較小。

圖8 電弧電位軸向分布

1-陰極區(qū) 2-等離子區(qū) 3-陽極區(qū)

5 結(jié)論

本文以MATLAB軟件自編程，提出了一種仿真模型局部采用密集網(wǎng)格劃分的方法，可以有效避免電弧仿真易發(fā)散問題，給出了一種電弧仿真的新思路。

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Research on the Convergence of Arc Simulation

Wu Guolin1, Zhang Huailiang2

(1. Unit 91003 of PLA, Shanya 572000, Hainan, China; 2. Armaments Procurement Agency, Naval Equipment Ministry, Beijing 100071, China)

TM5 TP391.9

A

1003-4862（2017）06-0006-03

2017-03-13

吳國林(1990-)，男，碩士。專業(yè)方向：電氣工程。E-mail: wuguolin1990@163.com