謝祥云，楊蕙滎

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論代數(shù)公理化體系與中小學數(shù)學教學

謝祥云，楊蕙滎

（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

數(shù)學公理化方法是研究數(shù)學的重要方法，代數(shù)公理體系是數(shù)學公理體系中的子系統(tǒng). 代數(shù)系統(tǒng)是集合連同滿足某個公理體系的運算合稱. 中小學數(shù)學中處處體現(xiàn)公理化思想，因此在中小學數(shù)學教學中講授代數(shù)公理化體系必要且可行. 本文從公理化方法、代數(shù)公理體系、中小學代數(shù)教育及代數(shù)公理化在中小學教學中的作用幾個方面來闡述.

代數(shù)公理化體系；公理化方法；中學數(shù)學

日本數(shù)學家米山國藏曾說：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”[1]. 就是說學生可能會忘卻了數(shù)學知識，但對數(shù)學中的核心成分─數(shù)學思想方法留有深刻印象. 無論對科學工作者、技術(shù)人員，還是數(shù)學教育工作者，首要的是數(shù)學精神、思想和方法，而數(shù)學知識次之. 在數(shù)學的思想和方法中公理化思想又是數(shù)學的重要思想方法之一. 所謂公理化方法是指從盡可能少的、不加定義的原始概念和一組不加證明的初始命題、基本公理出發(fā)，運用嚴格的邏輯推理，推導出科學系統(tǒng)中的其他命題（定理），從而使某一科學分支成為演繹系統(tǒng)的方法. 應(yīng)用公理化方法建立演繹體系的關(guān)鍵是引進基本概念、設(shè)置一組公理、用它們定義新的概念，推導新的命題. 所有這些基本概念、公理、定義、定理則組成了公理化方法的主要內(nèi)容. 對于數(shù)學科學而言，它是總結(jié)和表述以往數(shù)學知識的科學方法，能促進和推動新的數(shù)學理論的創(chuàng)立，不僅是研究數(shù)學的重要方法，而且是研究其他自然科學的重要方法[2].

受公理化方法的影響，20世紀三十年代后期，數(shù)學界出現(xiàn)了尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）學派[3]，該學派的數(shù)學成果和數(shù)學思想不但引起了數(shù)學界的強烈震動，而且引發(fā)了教育界的共鳴. 布爾巴基學派的核心是提出了數(shù)學理論的結(jié)構(gòu)化思想，即將數(shù)學按照不同結(jié)構(gòu)進行分類，而數(shù)學結(jié)構(gòu)又由公理化方法抽象得出. 布爾巴基學派認為，在當今的數(shù)學中，建立在抽象集合上的基本結(jié)構(gòu)有3種: 序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)，它們統(tǒng)稱為“母結(jié)構(gòu)”. 每個母結(jié)構(gòu)還可以像搭積木一樣由子結(jié)構(gòu)搭建而成，這些大大小小的結(jié)構(gòu)當然必須依附在某些集合上，這些集合起著對應(yīng)結(jié)構(gòu)理論中個體元素域的作用. 這些給予了結(jié)構(gòu)的集合構(gòu)成一系列系統(tǒng)，這些系統(tǒng)我們稱之為數(shù)學系統(tǒng)，它們有著不同的名稱，例如代數(shù)系統(tǒng)以及代數(shù)系統(tǒng)的子系統(tǒng)─群、環(huán)和域. 數(shù)學家們的工作中很重要的一部分就是找出各個數(shù)學系統(tǒng)之間的結(jié)構(gòu)差異. 數(shù)學的發(fā)展，就是各種數(shù)學結(jié)構(gòu)的建成和發(fā)展. 由此可見，結(jié)構(gòu)化方法本質(zhì)上可以看成近代形式公理化方法的一個發(fā)展與應(yīng)用. 在該思想推動下的中學數(shù)學教育的改革運動對中學數(shù)學教育產(chǎn)生了很大影響，20世紀七十年代由美國興起的中學教學新數(shù)學運動就是一個很好的案例，該運動對我國的中小學數(shù)學教育也產(chǎn)生了深遠的影響.

公理化方法屬于演繹思維的范疇，它為人類提供了一種嚴格推理的模式，但不是人類思維惟一的方式，因為它也存在局限性，例如笛卡兒就曾深刻地批判了傳統(tǒng)的公理化方法. 他從方法論角度入手，通過建立坐標系，給空間和平面的每個幾何對象賦值，從而能夠?qū)崿F(xiàn)用代數(shù)的方法解決幾何學問題，這就是現(xiàn)今的解析幾何思想. 顯然，這不是演繹思維和公理化方法的產(chǎn)物[4].

關(guān)于歐式幾何學公理化方法教學的文獻很多[5-7]，本文主要討論公理化體系中的代數(shù)公理化體系，擬對這些問題在中學數(shù)學教學中的應(yīng)用進行比較詳細的論述. 文中沒有標注的基本概念參見任何一本《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》和《近世代數(shù)》教材及文獻[6-10].

1 代數(shù)公理化體系

顯然，算術(shù)和代數(shù)學在代數(shù)公理化體系中是寵兒，它們給近代數(shù)學家們提供了非常廣泛的想象空間. 如果我們簡單地概述一下幾千年來代數(shù)的發(fā)展歷程，可以基本歸結(jié)為4個階段，即文字記述階段、簡化文字階段、符號代數(shù)階段、結(jié)構(gòu)代數(shù)階段. 在整個代數(shù)體系中，公理化的歷程最主要的有兩個體系：數(shù)系的公理化體系、抽象代數(shù)的公理化體系.

1.1 數(shù)系公理化體系

算術(shù)可以看作是現(xiàn)代代數(shù)學的雛形，它處理的對象是數(shù)，是文字記述階段、簡化文字階段和符號代數(shù)階段之間伴生的一種代數(shù)學形態(tài). 在簡化文字階段之前，也就是數(shù)的符號表示還沒有成型之前，中國古代數(shù)學家就完成了《九章算術(shù)》這部不朽的著作，該著作解決的都是來自于生產(chǎn)勞動過程中產(chǎn)生的實際數(shù)學問題，這些問題怎么樣更好地解決，就是以數(shù)為對象的“計算技術(shù)”了. 現(xiàn)在一般所說的“算術(shù)”，是現(xiàn)代小學數(shù)學課程的主要內(nèi)容，主要講的是自然數(shù)、有理數(shù)以及它們的四則運算，方法是按照算術(shù)發(fā)展的時間軸，倒回來再用現(xiàn)代的語言與符號并引入一些最簡單的應(yīng)用題加以鞏固. 直到19世紀中葉，格拉斯曼挑選出一個基本公理體系來定義加法與乘法運算，由此算術(shù)的其他結(jié)論可以從這一體系中運用嚴格的邏輯推理推導出來. 后來，皮亞諾進一步完善了格拉斯曼的公理體系，建立了自然數(shù)公理體系，這為數(shù)系的公理體系的確立打下了堅實的基礎(chǔ). 數(shù)學家們認為現(xiàn)代數(shù)學中的自然數(shù)是建立在皮亞諾公理上的，整數(shù)是建立在自然數(shù)之上的，有理數(shù)是建立在整數(shù)集之上，實數(shù)集建立在有理數(shù)集之上，復(fù)數(shù)集建立在實數(shù)集之上. 具體地，為了確定自然數(shù)我們首先需要如下公理.

認同皮亞諾公理后，我們有了1，從而就有了全體自然數(shù). 現(xiàn)在我們可以在上引入四則運算. 例如在上定義加法運算：

.

.

；.

在我們知道了數(shù)系的發(fā)展歷程之后，我們自然要問這個歷程結(jié)束了嗎？在教學中怎么和中學生交代呢？

1.2 代數(shù)公理化體系

在代數(shù)發(fā)展的4個階段里交叉孕育了算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、抽象代數(shù). 抽象代數(shù)是結(jié)構(gòu)代數(shù)階段的產(chǎn)物. 這一階段的標志性工作是伽羅華（1811—1932）在求解不低于五次方程遇到困難時在阿貝爾工作的基礎(chǔ)上，給出了群的概念，即是第一套抽象代數(shù)公理，在這公理系統(tǒng)的觀點下，給出代數(shù)定義.

定義1[6]51對指定對象的一個集合，在其上定義一個或幾個運算，以及這些運算所滿足的若干公理，集合連同滿足某個公理體系的運算合稱代數(shù)系統(tǒng)或代數(shù).

可以說，代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為一門關(guān)于形式運算的一般學說了，是研究一般代數(shù)系統(tǒng)的一門科學.

定義2[4]31設(shè)是一個非空集合，“”是上的二元運算，如果該運算滿足：1）結(jié)合律；2）對任意的，方程均有解，稱為群.

有了群的公理化定義之后，人們通過增加（或減少）新的公理條款，或增加新的一個、多個甚至無限多個的代數(shù)運算，從而產(chǎn)生很多新的代數(shù)系統(tǒng)，如：群、環(huán)、域、格論、模、代數(shù)、泛代數(shù)等. 另一方面，我們可以通過另一個代數(shù)系統(tǒng)在原有代數(shù)系統(tǒng)上的作用而產(chǎn)生新的代數(shù)分支，例如線性代數(shù)、向量空間等；也可以通過與數(shù)學其他分支相結(jié)合產(chǎn)生代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓撲、拓撲群等新的數(shù)學學科. 群論及其相關(guān)代數(shù)知識對于物理、化學的發(fā)展，甚至對于20世紀結(jié)構(gòu)主義哲學的產(chǎn)生和發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響. 人們在多個運算的代數(shù)系統(tǒng)中，為了表述這些運算的相容性，給出了很多公理條款，例如交換律、分配律、結(jié)合律等等. 1843年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)—四元數(shù)代數(shù)；1844年，Grassmann推演出更有一般性的幾類代數(shù)；1857年，Cayley設(shè)計出另一種不可交換的代數(shù)—矩陣代數(shù). 實際上，人們通過減弱或刪去普通代數(shù)的某些假定，或用別的假定取代某些假定且這假定與其余假定是兼容的，就能發(fā)展構(gòu)造出許多種代數(shù)體系. 這方面的工作我們不得不記住一位杰出女數(shù)學家，被譽為代數(shù)女皇的德國數(shù)學家諾特，她把表示理論、理想理論及模理論統(tǒng)一在所謂“超復(fù)系”的基礎(chǔ)上. 人們跟隨諾特研究過200多種這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括著名的諾讓德代數(shù)和李代數(shù)，它們均是非結(jié)合代數(shù)的例子. 20世紀，抽象化的思想在現(xiàn)代數(shù)學中得到了充分的反映.

2 中小學代數(shù)公理化教育

2.1 中小學數(shù)學中的數(shù)系構(gòu)造

我國現(xiàn)行的人教版中小學教材中，數(shù)學知識點通過以下幾大體系來構(gòu)建：1）以數(shù)系為基礎(chǔ)構(gòu)建的代數(shù)體系；2）以一維、二維和三維現(xiàn)實時空為基礎(chǔ)的幾何體系；3）以函數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)建的初等微積分體系；4）以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)構(gòu)建的隨機數(shù)學與統(tǒng)計體系. 在這四大基礎(chǔ)中，數(shù)系的形成無疑是一條重要的貫穿12年中小學數(shù)學教育的主線，從100以內(nèi)的自然數(shù)到虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)，覆蓋了小學一年級到高三的所有課本. 由于數(shù)系的公理化體系涉及現(xiàn)代數(shù)學的深刻理論，我們沒有辦法為中學生講授該體系，但是作為教師了解和熟悉數(shù)系的公理化重建會對他們的教學認知產(chǎn)生深遠的影響. 例如在高中數(shù)學講完復(fù)數(shù)以后，我們可以鼓勵學生大膽去猜想數(shù)系的發(fā)展到了復(fù)數(shù)就終結(jié)了嗎？要想將這個問題表述清楚就必需去探究整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)到復(fù)數(shù)中的運算律有沒有什么共性？我們還可以猜想有比復(fù)數(shù)系更大的數(shù)系且其與前面的數(shù)系有共同運算律嗎？這些問題都是在數(shù)系公理化體系的背景下提出來的，而且給出了肯定的回答.

2.2 中小學數(shù)學中的代數(shù)公理化

中小學代數(shù)的內(nèi)容主要由算術(shù)和簡單代數(shù)方程求根以及線性代數(shù)初步構(gòu)成. 這種結(jié)構(gòu)主義思想在中小學沒有辦法貫徹，但是我們可以從中看出代數(shù)系統(tǒng)的影子. 例如在人教版小學四年級下冊教材中，在講整數(shù)的四則運算時引入了代數(shù)運算定律，即整數(shù)代數(shù)系統(tǒng)里的代數(shù)運算應(yīng)滿足如下運算律：加法滿足交換律（）和結(jié)合律（）；乘法滿足交換律（）和結(jié)合律（），且乘法對加法滿足分配律（）等. 并將這些運算律進一步推廣到了小數(shù)等. 受限于中小學生的認知水平和心理發(fā)展水平，中小學數(shù)學教材里的公理體系是不嚴格的，且代數(shù)系統(tǒng)在中小學數(shù)學中也是不嚴格的公理體系. 例如在減法的教學中，只粗略地講述減法可由加法推導出來，且只給出了減法不滿足交換律和結(jié)合律的結(jié)論，而沒有給出推理出這個結(jié)論的過程或是給出幾個特例（例如，）來說明這個結(jié)論，更沒有進一步說明哪些運算滿足哪些運算律、不滿足哪些運算律.

代數(shù)運算是中小學數(shù)學的主要內(nèi)容，對代數(shù)運算滿足的運算律理解充分與否將直接影響學生解題的能力和速度，因此要求教師在講授相關(guān)運算律時（即便這不是課標所明確要求的），要將書本粗略給出的結(jié)論向?qū)W生講清楚，而不是含糊其詞或略過不講.

2.3 代數(shù)公理化對中學代數(shù)教育的影響

公理化方法是衡量數(shù)學理論美不美的標準[8]. 學習公理化，需要先了解建立這個公理系統(tǒng)的思維方法，還要學會公理的推理. 荷蘭著名數(shù)學家、數(shù)學教育家漢斯·弗賴登塔爾（1906—1990）認為：數(shù)學知識既不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的. 也就是學生在數(shù)學學習過程中，需要主動去建構(gòu)數(shù)學知識體系. 中小學數(shù)學各部分內(nèi)容可以看作是某個公理系統(tǒng)的子系統(tǒng)，例如中小學代數(shù)學習的有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為線性代數(shù)的向量空間提供例子，坐標旋轉(zhuǎn)公式成為線性代數(shù)中的坐標變換公式的例子[11]. 因此學生一進入中小學學習數(shù)學內(nèi)容，就已經(jīng)在接觸某個公理系統(tǒng)，從而也就接觸了公理化思想. 學者毛耀宗認為：數(shù)學教育中對公理的表達要適度；局部環(huán)節(jié)上，在給出公理系統(tǒng)之前應(yīng)該讓學生有一個充分的心理醞釀過程；各階段上，要與學生心理發(fā)展水平相適應(yīng)，要充分考慮學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗[9]. 代數(shù)公理化也影響教師對教學方式和方法的選擇. 即教師需要按照課標的要求，根據(jù)學生的學習情況，將書本數(shù)學內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具有探索性的數(shù)學問題，并根據(jù)這些數(shù)學問題創(chuàng)設(shè)教學情境，在數(shù)學學習活動中，突出學生的主體地位，引導學生主動地建構(gòu)數(shù)學知識體系. 如學生建構(gòu)數(shù)學知識體系過程中遇到困難，教師可以給予指導或啟發(fā)；教師要對學生建構(gòu)的數(shù)學體系進行評價，也可以通過師生間的交流和討論，引導學生根據(jù)評價標準對自己建構(gòu)結(jié)果的正確性進行分析、論證，得出評價結(jié)論[7].

3 代數(shù)公理化在中小學數(shù)學教學的作用

在中小學數(shù)學學習階段，學生在計算問題或證明定理的過程中可能會不懂用所學的數(shù)學知識來計算或證明，如果我們老師給學生普及簡單的公理化思想方法，就可以將所學知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，方便靈活運用. 所以教師在中小學數(shù)學教學中應(yīng)滲透公理化思想方法，且明確指出在哪體現(xiàn)公理化方法. 在教學中融入代數(shù)公理化的作用如下：

1）有助于培養(yǎng)學生的探索精神和合作精神. 特別是在探索性學習過程中，學生組成學習小組探討合作交流問題，比自己一人解決探討性數(shù)學問題更容易，且在這探討過程中學生的合作精神漸漸培養(yǎng)起來，學生之間相處更融洽. 同樣以數(shù)系為例，中學教材中談到復(fù)數(shù)，我們可以引導學生小組討論或查資料探討以下問題：為什么沒有

和

這樣的數(shù)呢？如果有，應(yīng)該有什么性質(zhì)？和復(fù)數(shù)有什么不同？為什么不把它們納入數(shù)系范疇？

2）有助于教師主導作用的發(fā)揮以及啟發(fā)式教學的實施. 數(shù)學教材中處處體現(xiàn)公理化思想，但公理化思想是觸摸不到的，需要教師在數(shù)學教學中滲透公理化思想并點明讓學生知道和了解. 教師從書本中的現(xiàn)實問題抽象出具有探索性的數(shù)學問題，創(chuàng)設(shè)情境，讓學生主動去探索問題，學生是課堂的主體，教師作為指引者，在學生碰到困難時給予指導或啟發(fā). 例如講完減法后，我們可以引導學生去探究減法有沒有結(jié)合律和交換律呢？如果有會是什么結(jié)果呢？或是探究在一個數(shù)的集合中，和一致嗎？

3）有助于將零散的中小學數(shù)學知識系統(tǒng)化，便于學生掌握和靈活運用，也為以后學習相關(guān)的數(shù)學知識做準備.

4）有助于學生系統(tǒng)地整理所學的數(shù)學知識，形成自身的知識體系，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.

5）有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，從而提高數(shù)學課堂教學效果. 數(shù)學公理化思想是數(shù)學文化史的寶貴的組成部分，在中小學數(shù)學教學中滲透公理化思想，在教學中加入有趣的數(shù)學故事，避開一貫的枯燥的課堂氛圍，讓學生漸漸覺得數(shù)學并不難學.

4 總結(jié)

數(shù)學公理化方法是數(shù)學文化史中的瑰寶，是前輩給我們留下的寶貴的財富. 在中小學數(shù)學教學中教師除了應(yīng)當給學生教授幾何公理化方法之外，也需要歸納和整理教材中的代數(shù)公理化體系并教授于學生，但不要求人人必須掌握它. 在教學活動中教師應(yīng)根據(jù)課標要求和學生認知發(fā)展能力，選擇適合的教學方式和方法，滲透公理化方法，且注意公理化方法與其他數(shù)學思想方法相結(jié)合運用. 學生在中小學學習并了解公理化思想，為大學和未來學習以及接觸更嚴謹?shù)臄?shù)學體系做鋪墊.

公理化學習是在已經(jīng)掌握了的知識上進行思考，所以知識不能由教師或其他人簡單地傳授給學生，而是學生個體主動地根據(jù)自己已掌握的知識進行思考，從而達到對知識的發(fā)現(xiàn)和理解. 這就要求教師在設(shè)計教學過程時，在創(chuàng)設(shè)情境的設(shè)計中啟發(fā)學生思考問題，讓學生帶著問題探究知識. 若學生在思考和探究的過程中遇到困難，教師可適當對其進行引導.

[1] 米山國藏. 數(shù)學的精神、思想和方法[M]. 成都：四川教育出版社，1986.

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[責任編輯：熊玉濤]

On Algebraic Axiomatic Systems and Mathematics Teaching in Primary and Secondary Schools

XIEXiang-yun, YANGHui-ying

(School of Mathematics and Computation Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

Axiomatic methods play an important role in mathematics. The Algebraic axiomatic system is a subsystem of axiomatic systems of mathematics. Axiomatic methods permeate in primary and secondary schools mathematics teaching, so it is necessary and feasible to teach algebraic axiomatic systems in primary and secondary schools. This paper is illustrated from several aspects of Axiomatic methods, Algebraic axiomatic systems, the algebra education in primary and secondary schools and the role of algebraic axioms in primary and secondary schools mathematics teaching.

algebraic axiomatic systems; axiomatic methods; middle school mathematics

1006-7302（2017）03-0013-07

O152.7

A

2017-04-25

國家自然科學基金資助項目（1361027，11271040）；廣東省自然科學基金資助項目（2014A030313625）；廣東省教育廳省級重大項目（自然科學類）（2014KZDXM055）；五邑大學2016年省級（校級）研究生教育創(chuàng)新教育類項目（2016SFKS_40,YJS-SFKC-16-01）；廣東省教學改革項目（GDJX2016016）.

謝祥云（1964—），男，安徽舒城人，教授，博士，碩士生導師，研究方向為序半群的代數(shù)理論、模糊代數(shù)、粗糙集理論.