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        一類微分多項(xiàng)式的零點(diǎn)的不等式估計(jì)

        2017-10-13 06:18:33戴瑞芳徐俊峰
        關(guān)鍵詞:亞純徐俊瑞芳

        戴瑞芳,徐俊峰

        ?

        一類微分多項(xiàng)式的零點(diǎn)的不等式估計(jì)

        戴瑞芳,徐俊峰

        (五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門 529020)

        本文利用精簡計(jì)數(shù)函數(shù)給出了微分多項(xiàng)式的定量估計(jì)不等式,設(shè)為超越亞純函數(shù),為正整數(shù),其中為的小函數(shù)滿足.

        亞純函數(shù);微分多項(xiàng)式;小函數(shù);值分布

        1 引言與定理

        1995年,Bergweiler和Eremenko[2]證明了當(dāng)時(shí)定理成立.

        1993年,Chung等[3]猜測為超越亞純函數(shù),為正整數(shù),取到任意非零有限值無限多次.

        1998年,Zhang等[4]證明了以下結(jié)果:

        Alotaibi[6]將上述定量的計(jì)數(shù)函數(shù)改為更精確的精簡計(jì)數(shù)函數(shù),得到下述定量結(jié)果:

        ,

        其中,

        .

        , (2)

        . (4)

        .

        注2:最近Jiang[8]利用定理4的方法證明了如下結(jié)果:設(shè)為超越亞純函數(shù),均為的整數(shù),為非零常數(shù),我們可得:

        2 引理

        本文定理6的證明需要用到以下引理

        .

        由式(1),(3)和(4)得

        因此

        所以

        據(jù)此完成引理1的證明.

        3 定理6的證明

        .

        , (6)

        其中

        設(shè)

        . (8)

        對式(6)使用萊布尼茲法則得

        , (9)

        由式(7)得

        ,

        . (12)

        我們分兩種情形討論:

        ,.

        ,.

        ,

        因此

        由式(10)得

        由式(5)得

        (14)

        由式(1),(3)和(4)得

        (15)

        由式(14)和(15)得

        由式(10)和(13)得

        , (17)

        由式(16),(17)和(18)得

        所以

        由引理1得

        我們完成定理6的證明.

        4 例子

        [1] HAYMAN W. Picard values of meromorphic function and their derivati-ves [J]. Ann of Math, 1959, 70(2): 9-42.

        [2] BERGWEILERAND W, EREMENKO A. On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order [J]. Rev Mat Iberoamericana, 1995, 11: 355-373.

        [3] YANG Chungchun, YANG Le, WANG Yuefei. On the zeros of[J]. Chinese Science Bulletin, 1993, 39(8): 2215-2218.

        [4] ZHANG Zhongfa, SONG Cuodong. On the zeros of[J]. Chinese Ann Math Ser A, 1998, 19(2): 275-282.

        [5] LI Ping, YANG Chungchun. On the value distribution of a certain type of differrential polynomials [J]. Mh Math, 1998, 125: 15-24.

        [6] ALOTAIBI A. On the zeros offor[J]. Computational Methods and Function Theory, 2004, 4(1): 227-235.

        [7] DOERINGER W. Exceptional values of differential polynomials[J]. Pacific J Math, 1982, 98(1): 1363-1364.

        [8] JIANG Yan. A note on the value distribution offor[J]. Bull Korean Math Soc, 2016, 53(2): 365-371.

        [9] XU Junfeng, YI Hongxun, ZHANG Zhanling. Some inequalities of differential polynomials II [J]. Mathematical Inequalities & Applications, 2011, 14(1): 93-100.

        [10] HAYMAN W, MILES J. On the growth of a meromorphic function and its derivatives [J]. Complex Variables Theory Appl, 1989, 12(1-4): 245-260.

        [責(zé)任編輯:韋 韜]

        An Inequality Estimate of Differential Polynomials on the Zeros

        DAIRui-fang, XUJun-feng

        (School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

        In this paper, a quantitative estimate of the value distribution of the differential polynomialsis obtained by the reduced counting function, whereare positive integer,is the small function ofwhich satisfies.

        meromorphic functions; differential polynomials; small functions; value distributions

        1006-7302(2017)03-0001-07

        0174.52

        A

        2017-03-09

        廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016A030313002);廣東高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)對象資助項(xiàng)目(Yq2013159)

        戴瑞芳(1992—),女,廣東新會(huì)人,在讀碩士生,研究方向?yàn)閺?fù)分析;徐俊峰,教授,博士,碩士生導(dǎo)師,通信作者,研究方向?yàn)閺?fù)分析.

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