王金英

?

直覺模糊軟集新的相似度及其應(yīng)用

王金英

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

將模糊軟集的包含度拓展到直覺模糊軟集中，針對參數(shù)集合不同的情況，給出直覺模糊軟集一種新的相似度。首先，借助于直覺模糊集包含度，給出了直覺模糊軟集包含度的公理化定義和三種不同的計(jì)算公式；然后，在直覺模糊軟集包含度的基礎(chǔ)上，提出了直覺模糊軟集相似度的公理化定義及相應(yīng)的計(jì)算公式；最后將這種新的相似性度量方法應(yīng)用到實(shí)例分析中，說明了該方法的有效性和可行性。

模糊蘊(yùn)涵算子；集合基數(shù)；直覺模糊軟集；包含度；相似度

俄羅斯學(xué)者M(jìn)olodtsov[1]于1999年首次提出了軟集理論，該理論被認(rèn)為是處理不確定性問題的一種有效的數(shù)學(xué)工具，從此軟集理論的研究得到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。學(xué)者們將軟集分別與模糊集、直覺模糊集和區(qū)間值模糊集等數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，構(gòu)造了模糊軟集[2]、直覺模糊軟集[3-4]和區(qū)間值模糊軟集[5]等擴(kuò)展模型。近幾年，模糊軟集的不確定性度量成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)之一。Majumdar等[6]研究了模糊軟集的相似性度量；Jiang等[7]提出了直覺模糊軟集的距離，并構(gòu)造了直覺模糊軟集與區(qū)間值模糊軟集的熵度量；王玲等[8]結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，提出了區(qū)間值模糊軟集的新的相似度量，進(jìn)而給出了區(qū)間值模糊軟集的距離度量；彭新東等[9]給出了區(qū)間值模糊軟集信息測度的公理化定義及相應(yīng)的公式，并討論了它們的轉(zhuǎn)換關(guān)系。以上文獻(xiàn)中距離和相似度的研究都是在具有相同參數(shù)集合的條件下進(jìn)行的，然而不同的模糊軟集、直覺模糊軟集以及區(qū)間值模糊軟集可能有不相同的參數(shù)集合。于是，針對參數(shù)集合不同的情況，Liu等[10]提出了模糊軟集之間的新的相似度和距離測度；洪智勇[11]基于模糊蘊(yùn)含算子提出新的模糊軟集包含度和相似度度量方法；劉雅雅等[12]給出在參數(shù)集合不同的情況下軟直覺模糊集之間相似性的度量方法，但最后的實(shí)例應(yīng)用卻仍然是在參數(shù)集合相同的情況下進(jìn)行的。因此，針對現(xiàn)有直覺模糊軟集的相似度大多是基于距離測度且參數(shù)集合相同的現(xiàn)狀，本文將文獻(xiàn)[11]中模糊軟集的包含度和相似度公式推廣到直覺模糊軟集，從包含度的角度研究了參數(shù)集合不同的情況下直覺模糊軟集之間的相似度問題，并將新的相似度應(yīng)用到實(shí)際決策中。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)回顧直覺模糊集、直覺模糊包含度以及直覺模糊軟集的一些相關(guān)知識(shí)。

定義1[13]稱為上的直覺模糊集，其中，對，和分別為中元素屬于的隸屬度和非隸屬度，且滿足條件≤≤。

定義2[13]設(shè)，定義運(yùn)算如下：

定義3[14]設(shè)，若映射滿足條件：

基于模糊蘊(yùn)涵算子和直覺模糊集合基數(shù)，文獻(xiàn)[3]提出了以下兩種直覺模糊包含度：

(1)基于蘊(yùn)涵算子的包含度

定義4[14]若映射滿足條件：

定理1[14]設(shè)，是一模糊蘊(yùn)涵算子，若滿足條件：

滿足定理1條件的模糊蘊(yùn)涵算子有：

(2)基于集合基數(shù)的包含度

定義5[14]設(shè)，定義的基數(shù)為

定理2[14]設(shè)，則均為直覺模糊集的包含度函數(shù)。

，

定義6[3]設(shè)是論域中對象的一個(gè)參數(shù)集，，且是一個(gè)映射，稱序?qū)樯系闹庇X模糊軟集。

定義7[3]設(shè)，若且對，有，則稱是的一個(gè)直覺模糊軟子集，記作。

定義8[4]設(shè)，若對，有，則稱是相對空直覺模糊軟集，記作。

定義9[4]設(shè)，若對，有，則稱是相對完全直覺模糊軟集，記作。

對于上述兩個(gè)定義，必須理解“相對”的含義，所謂的“相對”就是指任何一個(gè)相對空直覺模糊軟集或者相對完全直覺模糊軟集都是對于一個(gè)特定的屬性集而言的[4]。

2 直覺模糊軟集的包含度

將直覺模糊集的包含度推廣到直覺模糊軟集，下面給出直覺模糊軟集包含度的公理化定義及其計(jì)算公式。

于是有：

≤

因此：

≤≤

證明過程與定理3完全類似。

因此：

因此：

因此：

因此：

3 直覺模糊軟集的相似度

基于直覺模糊軟集的包含度，本節(jié)給出直覺模糊軟集的相似度。

且：

≤，≤

由于：

因此：

4 實(shí)例分析

在本節(jié)中，應(yīng)用兩個(gè)直覺模糊軟集之間的相似度來評估某人購買襯衫的可能性。

假設(shè)現(xiàn)有兩款襯衫A和B可供購買者選擇，它們的特征可以通過兩個(gè)直覺模糊軟集和來描述，它們的表格形式如表1和表2所示。

表1 第一款襯衫的直覺模糊軟集模型(F,A)

表2 第二款襯衫的直覺模糊軟集模型(G,B)

根據(jù)購買者的要求，給出想要購買襯衫的標(biāo)準(zhǔn)直覺模糊軟集模型，它的表格形式如表3所示。

表3 襯衫的標(biāo)準(zhǔn)直覺模糊軟集模型(H,C)

所以：

同理可得：

，

5 結(jié)束語

針對參數(shù)集合不同的情況，本文從包含度的角度，研究了直覺模糊軟集的相似性度量問題。該方法借助于直覺模糊集包含度，給出了直覺模糊軟集包含度的公理化定義和計(jì)算公式，進(jìn)而構(gòu)造了在參數(shù)集合不同的情況下直覺模糊軟集的一種新的相似性度量，最后將這種基于包含度的直覺模糊軟集的新的相似度應(yīng)用到實(shí)例分析中，取得了良好的效果。

[1] Molodtsov D. Soft set theory—first results[J]. Comput Math Appl, 1999, 37(4): 19-31.

[2] Maji P K, Biswas R, Roy A R. Fuzzy soft sets[J]. Journal of Fuzzy Mathematics, 2001, 9(3): 589-602.

[3] Maji P K, Biswas R, Roy A R. Intuitionistic fuzzy soft sets[J]. Journal of Fuzzy Mathematics, 2001, 9(3): 677-692.

[4] 牛剛. 軟直覺模糊集[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2012, 48(18): 45-47.

[5]Yang X B, Lin T Y, Yang J Y, et al． Combination of interval-valued fuzzy set and soft set[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2009, 58(3): 521-527.

[6] Majumdar P, Samanta S K. On similarity measures of fuzzy soft sets[J]. International Journal of Advance in Soft Computing and Its Application, 2011, 3(2): 1-8.

[7] Jiang Y C, Tang Y, Liu H, et al. Entropy on intuitionistic fuzzy soft sets and on interval-valued fuzzy soft sets[J]. Information Sciences, 2013, 240: 95-114.

[8]王玲, 秦克云, 劉雅雅.區(qū)間值模糊軟集的相似度及距離和熵[J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2015, 29(5): 361-366.

[9]彭新東, 楊勇.區(qū)間值模糊軟集的信息測度及其聚類算法[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2015, 35(8): 2350-2354,2359.

[10] Liu Ya-ya, Qin Ke-yun, Wang Ling. On similarity measures and distance measures of fuzzy soft sets[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2015, 30(3): 349-357.

[11]洪智勇.模糊軟集之間的相似性度量及應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2015, 51(12): 16-20.

[12]劉雅雅, 秦克云, 陳明奎. 軟直覺模糊集的相似、距離和熵測度[J]. 濟(jì)南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2015, 29(6): 414-419.

[13] Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy sets and Systems, 1986, 20(1): 87-96.

[14] 王毅, 雷英杰. 基于包含度的直覺模糊相似度量方法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2008, 44(11): 16-18.

責(zé)任編校：孫 林

New Similarity Measures of Intuitionistic Fuzzy Soft Sets and Their Applications

WANG Jin-ying

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

The inclusion degrees of fuzzy soft sets are extended to intuitionistic fuzzy soft sets according to different cases of parameter set. And a new similarity measure of the intuitionistic fuzzy soft sets is proposed. First of all, the axiomatic definition of intuitionistic fuzzy soft sets and three different computational formulas are given with the inclusion degrees of intuitionistic fuzzy soft sets. Then the axiomatic definition of the similarity measure of intuitionistic fuzzy soft sets and the corresponding computational formulas are provided on the basis of the inclusion degrees of intuitionistic fuzzy soft sets. Finally the new similarity measure approach is applied to example analysis, and the effectiveness and feasibility is illustrated.

fuzzy implication operators; cardinal numbers set; intuitionistic fuzzy soft sets; inclusion degrees; similarity measures

10.15916/j.issn1674-3261.2017.03.015

O159；TP301

A

1674-3261(2017)03-0196-06

2016-05-16

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61473139)

王金項(xiàng)（1981-），女，遼寧黑山人，講師，碩士。