馬德青,胡勁松，姜 偉，陳 良

(1.青島大學(xué)商學(xué)院,山東 青島 266071；2.青島大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,山東 青島 266071)

具損失厭惡和損失概率厭惡的報(bào)童問題研究

馬德青1,胡勁松1，姜 偉2，陳 良1

(1.青島大學(xué)商學(xué)院,山東 青島 266071；2.青島大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,山東 青島 266071)

研究了具損失厭惡和損失概率厭惡行為的考慮缺貨成本報(bào)童模型。利用訂購量小于和大于最大損失等量訂購量時(shí)的隨機(jī)利潤分布函數(shù)以及隨機(jī)獲利和損失的排名函數(shù)，獲得了報(bào)童的前景值函數(shù)，分析了報(bào)童的前景值函數(shù)性質(zhì)。結(jié)果表明：前景值函數(shù)為訂貨量的連續(xù)不可微凹函數(shù)，不可微點(diǎn)位于最大損失等量訂購量處；而且僅具損失厭惡或僅具風(fēng)險(xiǎn)中性的報(bào)童模型是本模型的特例。解析分析表明：當(dāng)最優(yōu)訂購量小于最大損失等量訂購量時(shí)，最優(yōu)訂購量隨極端獲利和不利結(jié)果重視程度的提高而增加；當(dāng)最優(yōu)訂購量大于最大損失等量訂購量時(shí)，最優(yōu)訂購量隨極端獲利結(jié)果重視程度的提高而增加，最優(yōu)訂購量隨極端不利結(jié)果重視程度的提高而減少。數(shù)值結(jié)果表明：最優(yōu)訂購量隨非極端獲利和非極端損失結(jié)果敏感度的提高而增加；最優(yōu)訂購量隨損失厭惡系數(shù)的提高而減少。

報(bào)童問題;前景理論;損失厭惡;損失概率厭惡

1 引言

報(bào)童模型作為易逝品管理的經(jīng)典分析模型，國內(nèi)外學(xué)者對其進(jìn)行了廣泛深入的研究，例如最新的國內(nèi)研究成果有陳杰等[1]，張永等[2]，陳杰等[3]，但這幾篇文獻(xiàn)都沒有考慮損失厭惡和損失概率厭惡。報(bào)童模型的有效性關(guān)鍵取決于企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)行為的刻畫。現(xiàn)有研究多從風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果價(jià)值判斷的角度去分析企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)行為，而較少從風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果發(fā)生概率的角度去分析企業(yè)風(fēng)險(xiǎn)行為。事實(shí)上，大量行為心理實(shí)驗(yàn)揭示：面對風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)，人們不僅存在風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果價(jià)值判斷上的參考依賴效應(yīng)以及符號(hào)依賴效應(yīng)(或稱損失厭惡)[4-5]，而且還存在風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果發(fā)生概率上的排名依賴效應(yīng)[6]和符號(hào)依賴效應(yīng)(或稱損失概率厭惡)[7]。

近來，國內(nèi)外學(xué)者針對報(bào)童的損失厭惡行為開展了專題性研究，但針對報(bào)童的損失厭惡概率行為缺乏分析模型。在具損失厭惡行為報(bào)童問題的專題性研究中，Chweitzer和Cachon[8]和文平[9]究發(fā)現(xiàn)具損失厭惡行為報(bào)童的最優(yōu)訂貨量低于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童的訂貨量。Wang和Webster[10]研究了含缺貨成本的具損失厭惡行為報(bào)童問題，發(fā)現(xiàn)缺貨成本較高時(shí)具損失厭惡行為報(bào)童的訂貨量將高于風(fēng)險(xiǎn)中性報(bào)童。隨后，國內(nèi)外學(xué)者圍繞損失厭惡行為，從多角度開展了深化研究。其中，Shen Houcai等[11]研究了定制件采購決策問題中的損失厭惡報(bào)童行為。周永務(wù)等[12]研究了損失厭惡零售商的廣告費(fèi)用和訂貨量的聯(lián)合決策問題。柳鍵等[13]研究了顧客存在損失厭惡情形時(shí)零售商的訂貨和定價(jià)策略。Baron等[14]在顧客存在損失厭惡情形時(shí)研究了基于隨機(jī)參考點(diǎn)的報(bào)童訂購決策問題。張鵬等[15]研究了在加法需求和乘法需求兩情形下的損失厭惡行為零售商最優(yōu)決策問題。周艷菊等[16]從心理參考點(diǎn)、損失厭惡系數(shù)、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度系數(shù)等多個(gè)角度研究了兩產(chǎn)品報(bào)童問題。Geng Wei等[17]研究了具S型指數(shù)效用函數(shù)的損失厭惡決策者最優(yōu)行為，發(fā)現(xiàn)損失厭惡決策者訂貨量亦低于風(fēng)險(xiǎn)中性決策者訂貨量。

值得指出的是，近來有關(guān)學(xué)者將損失厭惡行為納入到供應(yīng)鏈和供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)成員決策制定問題中。其中，針對供應(yīng)鏈，劉詠梅等[18]研究了風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商和具有損失厭惡零售商組成供應(yīng)鏈的彈性數(shù)量契約問題；針對供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，胡勁松等[19]針對模糊市場需求研究了中性供應(yīng)商層和具有損失厭惡零售商層組成的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的成員均衡策略。上述文獻(xiàn)均為損失厭惡行為的專題性研究，均未涉及損失概率厭惡行為。

近期，胡勁松等[20]針對不考慮缺貨成本的零售商，構(gòu)建了具損失概率厭惡和損失厭惡行為零售商目標(biāo)效用函數(shù)，研究了具損失概率厭惡和損失厭惡行為零售商的供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡問題。當(dāng)零售商考慮缺貨成本時(shí)，由于零售商的利潤函數(shù)存在兩個(gè)盈虧平衡點(diǎn)，進(jìn)而可能會(huì)破壞具損失概率厭惡和損失厭惡行為零售商目標(biāo)效用函數(shù)的可微性。為此，本文圍繞報(bào)童模型，揭示考慮缺貨成本的具損失概率厭惡和損失厭惡行為報(bào)童的目標(biāo)效用函數(shù)性質(zhì)，建立具損失厭惡和損失概率厭惡行為的考慮缺貨成本報(bào)童問題分析模型。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1記號(hào)與假設(shè)

設(shè)c為單位產(chǎn)品采購費(fèi)；h為單位產(chǎn)品存儲(chǔ)費(fèi)；s為單位產(chǎn)品缺貨費(fèi)，假設(shè)單位產(chǎn)品缺貨費(fèi)s為有限值；p(>c)為單位產(chǎn)品售價(jià)；Q為訂購量。

假設(shè)3 報(bào)童是損失厭惡者，其價(jià)值函數(shù):

式中，u(x)為其基礎(chǔ)效用函數(shù)，λ(≥1)為其損失厭惡系數(shù)。

損失厭惡系數(shù)λ反映了報(bào)童的厭惡程度，λ值越大，其損失厭惡程度越高。特別地，當(dāng)λ=1時(shí)，報(bào)童的價(jià)值函數(shù)取基礎(chǔ)效用函數(shù)。由于市場隨機(jī)需求和單位產(chǎn)品缺貨費(fèi)的有限性，報(bào)童的最大獲利為(p-c)xmax，其最大損失為sxmax∨(h+c)Q。事實(shí)上，報(bào)童的隨機(jī)利潤的取值總為有限區(qū)間[-(sxmax∧(h+c)Q),(p-c)xmax]，所以進(jìn)一步假設(shè)報(bào)童的基礎(chǔ)效用函數(shù)u(x)=x。

假設(shè)4 報(bào)童是對極端結(jié)果敏感、對非極端結(jié)果不敏感的損失概率厭惡行為者。即報(bào)童具有如下獲利權(quán)重函數(shù)w+(r)和損失權(quán)重函數(shù)w-(l)，參見圖1。

其中，參數(shù)r表示獲利排名；參數(shù)γ+表示報(bào)童對最大獲利的重視程度；參數(shù)δ+表示報(bào)童對獲利概率的敏感性；各參數(shù)滿足γ+，δ+≥0，γ++δ+≤1。參數(shù)l表示損失排名；參數(shù)γ-表示報(bào)童對最大損失的重視程度；參數(shù)δ-表示報(bào)童對損失概率的敏感性；各參數(shù)滿足γ-，δ-≥0,γ-+δ-≤1。

獲利排名參數(shù)r和損失排名參數(shù)l反映了風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果的排名依賴效應(yīng)。參數(shù)γ+和γ-反映了最好和最壞極端結(jié)果的重視程度，其取值越大，報(bào)童對最好和最壞極端越重視。參數(shù)δ+和δ-反映了報(bào)童對非極端的概率不敏感性傾向。事實(shí)上，參數(shù)γ+和γ-刻畫了人們在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值評價(jià)中存在的可能性效應(yīng)，而參數(shù)1-γ+-δ+和1-γ--δ-刻畫了人們在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值評價(jià)中存在的確定性效應(yīng)。

所謂損失概率厭惡行為是指相較于獲利的發(fā)生，人們更加重視損失的發(fā)生的一種行為。為此假設(shè)γ-≥γ+,即人們重視不利極端結(jié)果的發(fā)生，此外假設(shè)δ-≥δ+，即相較于非極端獲利人們更重視非極端損失的發(fā)生。事實(shí)上，γ-≥γ+和δ-≥δ+反映了人們存在損失決策權(quán)重高于獲利決策權(quán)重的符號(hào)依賴效應(yīng)。Schmidt和ZanK[7]構(gòu)造指數(shù)τ=w-′(1-r)/w+′(r)=w-′(l)/w+′(r)，并指出：指數(shù)τ>1刻畫了人們具有損失概率厭惡行為，系數(shù)τ越大，人們的損失概率厭惡程度越高。

圖1 權(quán)重函數(shù)

2.2隨機(jī)利潤和獲利、損失排名

給定訂購量Q，報(bào)童的隨機(jī)利潤：

(1)

或

(2)

圖2 利潤π與需求x間的關(guān)系

記式(2)中利潤函數(shù)π1(x)和x2(x)的反函數(shù)為：

(3)

式中，x1和x2分別為π1(x)和π2(x)的反函數(shù)。

由式(2)得盈虧平衡點(diǎn)：

(4)

2)獲利排名r、最大獲利排名值rmax和損失排名l、最大損失排名值lmax分別為：

和

證明 1)關(guān)于累減分布函數(shù)G(π)，參見圖2，由等價(jià)事件知：

因F(π)+G(π)=1，可得累進(jìn)分布函數(shù)F(π)。因φ(π)=dF(π)/dπ，即：

考慮式(3)，有dx1(π)/dπ=1/(p+h)、dx2(π)/dπ=-1/s代入上式得分布密度函數(shù)。

2)獲利排名r、最大獲利排名值rmax和損失排名l、最大損失排名值lmax分別為：

和

證明 1)首先證明累減分布函數(shù)G(π)。參見圖2，由等價(jià)事件知：

利用F(π)+G(π)=1，得累進(jìn)分布函數(shù)F(π)。因φ(π)=dF(π)/dπ，即：

由式(3)知：dx1(π)/dπ=1/(p+h)、dx2(π)/dπ=-1/s，將其代入上式得分布密度函數(shù)。

2.3利潤前景值函數(shù)及其性質(zhì)

基于累計(jì)前景理論[5]，給定訂購量Q，隨機(jī)利潤的前景值：

(5)

定理1若報(bào)童為損失概率厭惡和損失厭惡者，即報(bào)童行為參數(shù)滿足假設(shè)3和4，則其隨機(jī)利潤的前景值PT(Q)為：

定理2前景值函數(shù)PT(Q)為區(qū)間[0,xmax]上的連續(xù)凹函數(shù)。

證明首先證明TP1(Q)函數(shù)為區(qū)間[0,Q]上的凹函數(shù)。對PT1(Q)微分，可得：

因報(bào)童是損失概率厭惡者(δ+<δ-)和損失厭惡者(λ≥1)，即δ+-λδ-<0，故d2PT1(Q)/dQ2<0。

2.4訂購量的確定和特殊情況分析

(6)

或更明確地表示為：

(7)

推論1若報(bào)童僅為損失厭惡者(λ≥1)，即其損失概率厭惡系數(shù)γ+=0、γ-=0、δ+=1、δ-=1，則其最優(yōu)訂購量滿足：

F(Q*)=

推論2 若報(bào)童為風(fēng)險(xiǎn)中性者，即其損失厭惡系數(shù)λ=1,且其損失概率厭惡系數(shù)γ+=0、γ-=0、δ+=1、δ-=1,則其最優(yōu)訂購量滿足：

3 比較靜態(tài)分析

本節(jié)揭示損失概率厭惡系數(shù)對訂購量的影響。我們將內(nèi)點(diǎn)最優(yōu)性條件寫成隱函數(shù)形式：

利用隱函數(shù)法則，可得如下比較靜態(tài)結(jié)果。

有關(guān)行為參數(shù)δ+，δ-，λ對最優(yōu)訂購量的影響，我們通過算例揭示。

4 數(shù)值算例

表1結(jié)果驗(yàn)證了定理4的結(jié)論：隨極端獲利結(jié)果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量增加；隨極端不利結(jié)果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量減少。隨缺貨成本的增大，最優(yōu)訂購量增加。表2結(jié)果表明：隨獲利敏感度的提高，最優(yōu)訂購量增加，前景值增大；隨損失敏感度的提高，最優(yōu)訂購量增加，但前景值減少；隨損失厭惡系數(shù)的提高，最優(yōu)訂購量減少，前景值亦減少。

圖3 前景值函數(shù)PT(Q)

5 結(jié)論

本文研究了具損失厭惡和損失概率厭惡的雙重行為報(bào)童問題。通過定義最大損失等量訂購量，分析了訂購量小于和大于最大損失等量訂購量時(shí)隨機(jī)利潤的分布及其隨機(jī)獲利和損失的排名，構(gòu)建了其前景值函數(shù)，揭示了前景值函數(shù)為其訂購量的連續(xù)凹函數(shù)但在最大損失等量訂購量處不可微的性質(zhì)，給出了僅具損失厭惡或風(fēng)險(xiǎn)中性的特例情況的結(jié)論，進(jìn)行了極端結(jié)果行為參數(shù)的比較靜態(tài)分析。結(jié)果表明：最優(yōu)訂購量小于最大損失等量訂購量時(shí)，隨極端獲利和極端不利結(jié)果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量增加；最優(yōu)訂購量大于最大損失等量訂購量時(shí)，隨極端獲利結(jié)果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量增加；隨極端不利結(jié)果重視程度的提高，最優(yōu)訂購量減少。為了探討非極端結(jié)果行為參數(shù)、損失厭惡參數(shù)以及缺貨成本對訂購量的影響，算例結(jié)果表明：隨非極端獲利和非極端損失結(jié)果敏感度的提高，最優(yōu)訂購量增加；隨損失厭惡系數(shù)的提高，最優(yōu)訂購量減少。

表1 損失概率厭惡系數(shù)γ+、γ-以及缺貨成本的比較靜態(tài)分析

表2 損失概率厭惡系數(shù)δ+、δ-以及損失厭惡系數(shù)λ的比較靜態(tài)分析

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Abstract： It is found that the newsboy has loss of disgust and loss of probability aversion characteristics.In the paper,the Newsboy model with loss aversion and probabilistic loss aversion under shortage cost is studied.Using stochastic profit distribution functions and ranking functions when order quantity is less than maximum loss equivalent and order quantity is greater than maximum loss equivalent,its prospect value function is derived,and the nature of prospect value is revealed.The results show that the prospect value function is a continuous and non differentiable convex function,in which non differentiable points is in maximum loss equivalent;and Newsboy models with loss aversion or risk neutral are its special case.The analysis shows that: under the optimal order quantity being less than the maximum loss equivalent,the optimal order quantity increases with the increase of the degree on the extreme gain and unfavorable results.Under the optimal order quantity being greater than the maximum loss equivalent,the optimal order quantity increases with the increase of the degree on the extreme gain,and the optimal order quantity reduces with the degree on the extreme unfavorable results.The numerical results show that the optimal order quantity increases with the increase of the sensitivity of non extreme gain and non extreme loss.With the increase of the loss aversion coefficient,the optimal order quantity decreases.This study is helpful to understand the impact of the behavioral characteristics of newsboy on decision making.

Keywords： newsvendor problem；prospect theory；loss aversion;probability loss aversion

Newsboy Problem with Probabilistic Loss Aversion and Loss Aversion

MADe-qing1,HUJin-song1,JIANGWei2,CHENLiang1

(1.School of Business,Qingdao University,Qingdao 266071,China；2.School of Economics,Qingdao University,Qingdao 266071,China)

F274

A

1003-207(2017)09-0188-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.021

2016-11-23；

2017-02-26

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71371102);國際(地區(qū))合作與交流項(xiàng)目(71311120090)

胡勁松(1966-)，男(漢族)，湖北京山人，青島大學(xué)商學(xué)院教授，研究方向：行為運(yùn)營、行為博弈，E-mail:hujinsong@qdu.edu.cn.