方匡南，姚紫薇

(1.廈門大學經(jīng)濟學院，福建 廈門 361005；2.上海財經(jīng)大學國際工商管理學院，上海 200433)

半?yún)?shù)可加beta回歸模型及其應用

方匡南1，姚紫薇2

(1.廈門大學經(jīng)濟學院，福建 廈門 361005；2.上海財經(jīng)大學國際工商管理學院，上海 200433)

當響應變量為連續(xù)比例數(shù)據(jù)時,即其取值為(0,1)區(qū)間時,經(jīng)典的線性回歸或者數(shù)據(jù)變換方法的結(jié)果往往不理想。這種情況下可以使用Ferrari and Cribari-Neto提出的beta回歸模型。但是傳統(tǒng)的beta回歸模型僅局限于參數(shù)線性回歸,模型的靈活度不高。本文提出了半?yún)?shù)可加beta回歸模型以及參數(shù)估計方法，通過模擬發(fā)現(xiàn)具有良好的效果。另外，將半?yún)?shù)可加beta回歸應用于醫(yī)療支出占家庭總支出比例的實證分析上,探討了影響醫(yī)療支出占家庭總支出比例的影響因素。

半?yún)?shù)；beta回歸； 廣義可加模型；醫(yī)療支出

1 引言

Beta回歸假定連續(xù)性響應變量y服從beta分布，且取值范圍為(0,1)。Beta分布的密度函數(shù)的形式多樣，密度函數(shù)也隨著分布參數(shù)的改變呈現(xiàn)出多種形態(tài)，如左偏、右偏、U型等，所以可以解決數(shù)據(jù)不對稱性問題。又因為y的方差是隨著beta分布的參數(shù)的變化而變化，所以beta回歸可以適用于數(shù)據(jù)存在異方差的情形。

關(guān)于beta回歸的研究起步相對較晚，最早由Ferrari和Cribari-Neto[1]提出了beta回歸的具體模型以及參數(shù)估計方法。隨后，相關(guān)的研究逐漸展開，但目前大多數(shù)都是根據(jù)Ferrari和Cribari-Neto[1]所設(shè)定的原始模型進行改進和衍生。Branscum等[2]將先驗信息納入分析，利用Markov Chain Monte Carlo (MCMC)算法，構(gòu)造貝葉斯beta回歸來檢測時間和地理距離兩個因素對引起手足口病的細菌的進化方向的影響。由于最原始的beta回歸利用的極大似然估計的結(jié)果存在二階偏差，所以模型不夠準確，為此多位學者對此進行研究并提出了校正的方法和公式，比較有代表性的有Ospina等[3](2006)，Simas等[4]和Ospina和Ferrari[5]等，其中Simas等[4]還通過放寬beta回歸線性的設(shè)定并使精度參數(shù)為非恒定的，增加了模型的靈活性。Cook等[6]提出了膨脹beta回歸，允許響應變量出現(xiàn)0或者1。Pereira等[7-8]研究了截斷膨脹beta回歸模型，允許響應變量為子集[c,1]。此外，還有部分學者研究了beta回歸模型的診斷問題，如Espinheira等[9]，Chien[10]和Anholeto[11]。

Beta回歸模型本質(zhì)上可以看作是一種具有參數(shù)形式的廣義線性回歸模型。參數(shù)模型需要對模型作一定的假設(shè)，當假設(shè)成立時，其推斷有較高的精度，但當假設(shè)不成立時，參數(shù)模型所作的預測和推斷效果很差。由于經(jīng)濟社會系統(tǒng)的復雜性，對模型作線性假設(shè)往往是不合理的。半?yún)?shù)回歸模型是參數(shù)回歸和非參數(shù)的回歸的結(jié)合，兼具參數(shù)回歸和非參數(shù)回歸的優(yōu)點，具有較大的靈活性和適應性。

本文在Ferrari和Cribari-Neto[1]的beta線性回歸模型和Hastie和Tibshirani[12]的廣義可加模型(Generalized Additive Model)基礎(chǔ)上，結(jié)合了beta回歸和廣義可加模型的特點，克服了傳統(tǒng)beta回歸無法擬合非參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型的缺點，提出了半?yún)?shù)可加beta回歸模型，并研究了其參數(shù)估計方法，并將該方法應用到我國醫(yī)療支出占家庭總支出比例的影響因素分析。

2 半?yún)?shù)可加beta回歸

本文提出的半?yún)?shù)可加beta回歸模型的設(shè)定如下:

(4)

半?yún)?shù)可加beta回歸模型求解使用的是由迭代重加權(quán)最小二乘法 (Iteratively-reweighted least-squares，IRLS)和backfitting過程合并而成的局部積分算法(Local-Scoring Procedure)，其中外部的Fisher積分過程用于鏈接函數(shù)的估計，而內(nèi)部的backfitting過程用于估計光滑可加項。模型的估計最主要的三部分：函數(shù)sj(·)的估計，鏈接函數(shù)的估計以及平滑參數(shù)的選擇。

2.1平滑參數(shù)的選擇

平滑參數(shù)的選擇是半?yún)?shù)可加beta回歸模型估計的一個重要部分，本文主要利用的是三次樣條平滑方法結(jié)合懲罰最小二乘估計方法進行擬合。三次平滑樣條的形式為:

(5)

式(5)的第一項是損失函數(shù)，即最小二乘法的殘差平方和，第二項是懲罰項。λ是一個非負的平滑參數(shù)，主要通過對數(shù)據(jù)的分析，綜合考慮模型的擬合度和平滑度來選擇其具體數(shù)值，λ越大，平滑效果越明顯。一般可以依據(jù)PSE(Average Predictive Square Error)，CV(Cross-Validation)，GCV(Generalized Cross-Validation)，AIC (Akaike information criterion)來選擇λ，其中最常用的是GCV和AIC(邵臻等[13])。本文采用的是AIC準則。

2.2平滑項的估計

半?yún)?shù)可加beta回歸模型的平滑項的估計主要依據(jù)局部積分算法內(nèi)部的backfitting算法計算得到。為了便于迭代，模型估計采用調(diào)整后的響應變量。令y=η(x)+ε，當已知關(guān)于η(x)的部分估計量時，可以建立以下調(diào)整后的響應變量:

(6)

在back-fitting算法中，假設(shè)模型的形式是：

(7)

(8)

(1)初始值:

其中，g(·)為鏈接函數(shù)，N是樣本數(shù)，m是迭代過程的循環(huán)指標。

(2)迭代：m=m+1，

ui(m-1)=g-1(ηi(m-1))

其中，vi=Var(Yi)，wi表示權(quán)重

(4)重復第(2)-(3)步，直到Δ(η(m),η(m-1))足夠小而收斂。

其中，ξ是事先設(shè)定的迭代容忍度。

2.3鏈接函數(shù)的估計

在局部積分算法中主要利用外部的Fisher積分過程用于鏈接函數(shù)的估計。在具體的估計過程中，首先需要預先給定η(x)的初始估計，然后通過泰勒一階展開式并結(jié)合Fisher積分方法獲得改進的估計。其中，ηgiven(x)表示η(x)的初始估計，ηest(x)表示改進后的估計。

利用平滑方法來求解，則：

ηest(x)=smoother[ηgiven(x)-

對于beta分布的極大似然函數(shù)為:

其中，

li(ui,φ)=logΓ(φ)-logΓ(uiφ)-logΓ((1-ui)φ)+(uiφ-1)logyi+{(1-ui)φ-1}log(1-yi) 一般來說鏈接函數(shù)會取logit的形式，即：

則可以根據(jù)l(u,φ)和η(x)的形式求得改進后的η(x)，即ηest(x)，然后進行進一步迭代，算出每個ηi(x)。

3 蒙特卡羅模擬

為了檢驗本文提出的半?yún)?shù)可加beta回歸模型的估計效果，利用蒙特卡羅模擬方法進行分析。

模擬1：設(shè)φ=500，p=4，即考慮4個自變量，且假設(shè)每個自變量均是(0,1)上均勻分布隨機數(shù)，即xj～U(0,1)，j=0,1,2,3。按式(4)生成半?yún)?shù)可加beta回歸模型：

η=g(u)=s0(x0)+s1(x1)+s2(x2)+s3(x3)

(9)

利用半?yún)?shù)可加beta回歸模型對以上生成的數(shù)據(jù)進行擬合。回歸結(jié)果顯示，所有自變量都是顯著的，其Null Deviance 為7.1312，Residual Deviance為0.198，Null Deviance是只有常數(shù)項的模型的偏差值，Residual Deviance是模型擬合后的殘差偏差值，說明擬合的模型解釋了y的大部分變動。模型的擬合結(jié)果見圖2，圖2中的散點是按照上文對應的函數(shù)形式所生成的隨機數(shù)，實線是通過半?yún)?shù)可加beta回歸模型擬合的回歸線。從圖2中可以看出，模型的擬合效果非常好，可以很好地擬合出數(shù)據(jù)的形狀和彎曲走向。

接下來，利用上述模擬方式進行模擬100次，通過繪制該100次模擬的擬合圖來檢驗模型的穩(wěn)健性(見圖3)?？梢詮?00次模型的擬合圖中看出，半?yún)?shù)可加beta的擬合效果非常穩(wěn)健，平滑項的變化趨勢與模擬數(shù)據(jù)的實際函數(shù)形式非常接近，對于非線性關(guān)系的數(shù)據(jù)的擬合能力非常強。此外，我們還與其他方法進行了比較，分別計算每個模型的樣本內(nèi)MSE和樣本外MSE，詳見表1。從表1可以看出，半?yún)?shù)beta回歸模型的結(jié)果是最好的，且半?yún)?shù)模型結(jié)果都好于線性的參數(shù)模型結(jié)果，這個結(jié)果是很自然的，因為真實模型的假設(shè)都是非線性的函數(shù)，此時線性的參數(shù)模型存在設(shè)定誤差，很難準確擬合數(shù)據(jù)，而半?yún)?shù)模型可以從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，很好地擬合數(shù)據(jù)。而不管參數(shù)模型還是半?yún)?shù)模型，beta回歸都是好于普通的線性回歸，因為對于取值在(0,1)的因變量，普通線性回歸的擬合值往往會超出這個范圍，而beta回歸可以很好擬合這個比例因變量數(shù)據(jù)。

圖2 半?yún)?shù)beta回歸模型估計結(jié)果

圖3 100次模擬結(jié)果

表1 模擬1的結(jié)果

模擬2：為了進一步檢驗模型的穩(wěn)健性，我們更改模型的函數(shù)形式以及隨機數(shù)的分布。設(shè)φ=1000，考慮4個自變量，假設(shè)x0仍然是(0，1)上的均勻分布隨機數(shù)，即x0～U(0,1)，x1,x2是標準正態(tài)分布隨機數(shù)的絕對值，即取值范圍為(0,∞)，該假設(shè)和下文的實證分析中很多變量的取值范圍一致，x3是二點分布隨機數(shù)，即x3～binom(1,0.5)，是離散變量。按式(4)生成半?yún)?shù)可加beta回歸模型：

η=g(u)=s0(x0)+s1(x1)+s2(x2)+s3(x3)

(10)

圖4 100次模擬結(jié)果

4 醫(yī)療支出比例實證分析

近年來我國城鄉(xiāng)居民醫(yī)療支出不斷上漲，醫(yī)療支出成為家庭消費的重要組成部分，“看病難”“看病貴”的現(xiàn)象日益增多。Fang 等[14]認為醫(yī)療支出是很多家庭的一項重要支出，當家庭的醫(yī)療支出增加，會影響家庭的總消費支出及消費結(jié)構(gòu)。Smith[15]研究表明，負面的健康沖擊與家庭用于醫(yī)療的現(xiàn)金支出有直接的關(guān)聯(lián)，同時也會對收入和消費產(chǎn)生影響。Himmelstein等[16]發(fā)現(xiàn)，美國的個人破產(chǎn)有接近一半是因為遭遇了健康困境。對于發(fā)達國家的公民，一般都有較好的健康保險，但健康的沖擊仍然會對家庭的消費行為產(chǎn)生如此的影響。對于發(fā)展中國家而言，健康沖擊所產(chǎn)生的負面效應應更加明顯。Dercon和Krishan[17]發(fā)現(xiàn)，在埃塞爾比亞，家庭遭遇健康沖擊時，婦女的消費會下降。Gertler和Gruber[18]對印度尼西亞的研究，也得出了類似的結(jié)論。為了防止農(nóng)民因病致貧，因病返貧，2003年我國衛(wèi)生部提出了在農(nóng)村實施新型農(nóng)村合作醫(yī)療保險制度(簡稱“新農(nóng)合”)。理論上，新型農(nóng)村合作醫(yī)療保險作為農(nóng)村居民應對突發(fā)大額醫(yī)療支出的保障措施之一，在很大程度上可以減少農(nóng)村居民面對的未來醫(yī)療支出的不確定性(齊良書[19]；曲衛(wèi)華等[20])。本文利用入戶實地調(diào)查的數(shù)據(jù)研究實施新農(nóng)合后的農(nóng)村居民醫(yī)療支出占家庭總支出比例的變化情況及其影響因素。

表2 模型比較

數(shù)據(jù)來源于新型農(nóng)村合作醫(yī)療制度的入戶調(diào)查，該項調(diào)查由美國耶魯大學公共衛(wèi)生學院、輔仁大學管理學院、廈門大學數(shù)據(jù)挖掘研究中心共同發(fā)起，具體入戶調(diào)查由廈門大學數(shù)據(jù)挖掘研究中心相關(guān)研究人員完成。調(diào)查范圍為福建漳州、三明、南平、龍巖、福州五個市的農(nóng)村地區(qū)，調(diào)查時間為2012年7月至9月份。除去部分無效的樣本，最終得到724個有效樣本。各變量的說明情況請詳見表3。

表3 變量說明

注：其中非勞動力比例是指家庭中16歲以下和65歲以上人口占總?cè)丝诘谋壤?；參合年?shù)是指參合家庭自第一次參合距今年數(shù)。戶主婚姻狀況里將未婚、離異和喪偶的歸為一類，已婚的歸為一類。家庭成員住院總次數(shù)是指過去一年家庭所有成員到醫(yī)院住院的次數(shù)總和，家庭成員門診總次數(shù)是指過去一年家庭所有成員到醫(yī)院看門診的次數(shù)總和。

圖5 醫(yī)療支出比例的分布

下面利用本文提出的半?yún)?shù)可加beta回歸模型進行分析，響應變量為家庭醫(yī)療支出占總支出的比例。自變量為表3中其他的變量。通過擬合半?yún)?shù)可加beta回歸，探討農(nóng)村家庭醫(yī)療支出比例的影響因素，發(fā)現(xiàn)最終顯著的變量為戶主年齡(age)、戶主婚姻狀況(marital)、庭總收入(income)、家庭成員住院總次數(shù)(hospital)、家庭成員門診總次數(shù)(clinic)，其中戶主婚姻狀況是離散的虛擬變量，在模型中假設(shè)其線性的，而戶主年齡、庭總收入、家庭成員住院次數(shù)和家庭成員門診次數(shù)假設(shè)具有非線性特征。模型的形式為

g(u)=βmarital+s(age)+s(income)+s(hospital)+s(clinic)

(10)

對于非參數(shù)函數(shù)，我們采用三次平滑樣條去展開，利用AIC選擇最優(yōu)的平滑參數(shù)，最終模型的AIC為-3.47。模型估計的參數(shù)部分系數(shù)為β=-0.423，說明戶主的婚姻狀況對醫(yī)療支出比例有顯著影響，戶主已婚的家庭比戶主單身(未婚、離異或喪偶)的醫(yī)療支出比例要低。模型非參數(shù)部分的擬合圖見圖6。

從圖6中可以看出，醫(yī)療支出比例與戶主年齡存在正向關(guān)系，隨著戶主年齡的增加，家庭醫(yī)療支出比例也隨之增加，但不完全是線性關(guān)系，而是存在翹尾現(xiàn)象，即當戶主年齡超過60歲以后，家庭醫(yī)療支出比例會較快地上升。這是因為根據(jù)醫(yī)學理論，當戶主年齡超過60歲后，意味著家庭年齡結(jié)構(gòu)偏向老齡化，發(fā)生疾病的概率大幅上升，因此，醫(yī)療支出比例也會更快地增長。

從圖6可以看出，家庭總收入與醫(yī)療支出比例呈負向關(guān)系，但是并不是嚴格的線性負向關(guān)系。當家庭年總收入小于15萬時，曲線較為陡峭，即隨著家庭年總收入的增加，醫(yī)療支出比例較快下降。當家庭年總收入大于15萬時，曲線變得較為平坦，即醫(yī)療支出比例下降速度減慢。這可能是由于中低收入群體的醫(yī)療花費大多是基礎(chǔ)醫(yī)療支出，對醫(yī)療需求層次較低，隨著家庭收入的增加，醫(yī)療支出比例不斷下降。而對于高收入群體，生活壓力相對較小，故在滿足家庭基本消費之后其逐漸增加對健康的重視，對醫(yī)療需求的層次也較高，比如生病時去更好的醫(yī)院以及預防保健的支出等，其醫(yī)療支出絕對值隨著收入增加而增加。因此，對于高收入群體，雖然醫(yī)療支出比例隨著收入的增加而降低，但其降低速度也變得平緩。

從圖6可以看出，家庭醫(yī)療支出比例和家庭成員住院總次數(shù)呈折線形正向關(guān)系，即當過去一年家庭成員住院總次數(shù)從0到2次時，醫(yī)療支出比例呈較快上升，當超過2次時，家庭醫(yī)療支出比例增長變得平緩。這可能是對于住院次數(shù)超過2次的家庭，更重視參加醫(yī)療保險，包括新農(nóng)合甚至其他商業(yè)醫(yī)療保險，醫(yī)療保險可以覆蓋其較大部分的醫(yī)療支出。從圖6可以看出，家庭醫(yī)療支出比例和家庭成員門診總次數(shù)呈波浪形關(guān)系，當過去一年家庭成員門診總數(shù)小于10次時，隨著門診次數(shù)的增加，醫(yī)療支出比例也增加；當門診總次數(shù)在10次到40次之間，隨著門診次數(shù)的增加，醫(yī)療支出比例保持在一定的水平，可能是對于門診次數(shù)在10次到40次之間的家庭，其醫(yī)療保險的意識更強，購買更多的醫(yī)療保險，可以覆蓋其較大部分的醫(yī)療支出；而當門診次數(shù)超過40次，隨著門診次數(shù)的增加，醫(yī)療支出比例也增加，這可能因為家庭即使購買了醫(yī)療保險，但醫(yī)療保險不能覆蓋部分，即其自付部分的醫(yī)療支出也隨之增加，因此，其醫(yī)療支出比例也增加。

圖6 醫(yī)療支出比例的回歸結(jié)果 注：圖中的虛線為95%的置信區(qū)間。

5 結(jié)語

在回歸分析中，若響應變量為比例的連續(xù)數(shù)據(jù)，即其取值范圍為(0,1)區(qū)間時，數(shù)據(jù)往往存在異方差，利用經(jīng)典的線性回歸模型或者數(shù)據(jù)變換后的回歸模型進行預測研究時常常都不盡如人意。這種情況下可以使用由Ferrari和Cribari-Neto[1]提出的beta回歸模型。但傳統(tǒng)的線性beta回歸缺少對非參數(shù)回歸形式的支持。本文根據(jù)Hastie和Tibshirani[12]所提出的廣義可加模型的理論框架，結(jié)合beta回歸模型的特性，構(gòu)建了半?yún)?shù)可加beta回歸模型，并對模型平滑參數(shù)的選擇、單變量函數(shù)sj(·)的估計以及鏈接函數(shù)的估計進行了研究。利用三次樣條平滑方法結(jié)合懲罰最小二乘估計方法并結(jié)合AIC對平滑參數(shù)進行選擇。單變量函數(shù)sj(·)的估計主要依據(jù)局部積分算法結(jié)合back-fitting算法通過重復迭代得到估計結(jié)果。而鏈接函數(shù)的估計主要通過在初始的η(x)基礎(chǔ)上，通過泰勒一階展開式并結(jié)合Fisher積分方法獲得改進的估計。本文通過模擬發(fā)現(xiàn)，半?yún)?shù)可加beta回歸模型的擬合效果較好。

本文利用半?yún)?shù)可加beta回歸模型探討了家庭醫(yī)療支出比例的影響因素。研究結(jié)果表明：戶主的婚姻狀況對醫(yī)療支出比例有顯著影響，戶主已婚的家庭比戶主單身(未婚、離異或喪偶)的醫(yī)療支出比例要低；醫(yī)療支出比例與戶主年齡存在正向關(guān)系，隨著戶主年齡的增加，家庭醫(yī)療支出比例也隨之增加，但不完全是線性關(guān)系，而是存在翹尾現(xiàn)象；家庭總收入與醫(yī)療支出比例呈負向關(guān)系，但是并不是嚴格的線性負向關(guān)系。當家庭年總收入小于15萬時，曲線較為陡峭，當家庭年總收入大于15萬時，曲線變得較為平坦；家庭醫(yī)療支出比例和家庭成員住院總次數(shù)呈折線形正向關(guān)系，即當過去一年家庭成員住院總次數(shù)從0到2次時，醫(yī)療支出比例呈較快上升，當超過2次時，家庭醫(yī)療支出比例增長變得平緩；家庭醫(yī)療支出比例和家庭成員門診總次數(shù)呈波浪形關(guān)系，當過去一年家庭成員門診總數(shù)小于10次時，隨著門診次數(shù)的增加，醫(yī)療支出比例也增加，當門診總次數(shù)在10次到40次之間，隨著門診次數(shù)的增加，醫(yī)療支出比例保持在一定的水平，而當門診次數(shù)超過40次，隨著門診次數(shù)的增加，醫(yī)療支出比例也增加。

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Abstract： In regression analysis,classical linear regression or its transformation methods are not satisfied when response variable is restricted to the interval (0,1),that is ,proportional or fractional data,which is common in Economics,education,medical science etc.One of the most promising approaches is the beta regression proposed by Ferrari and Cribari-Neto.However,the traditional beta regression is confined in the linear situation and thus lacks flexibility.Besides,it has specification error if the true model is not linear.Borrow the idea from generalized additive model (GAM) proposed by Hastie and Tibshirani,a semi-parametric additive beta regression model is proposed.It is assumed the model can be decomposed into parametric and nonparametric parts.For the nonparametric part,the local scoring algorithm is used to fit the unknown function and AIC is used to choose the best smoothing (tuning) parameters.Two simulation examples under different scenarios are conducted,the simulation results shows that semi-parametric beta regression model perform well.Comparing to traditional models,the proposed semi-parametric beta regression model is the best and is significantly better than other traditional models.The proposed model is applied on medical expenditure data to explore the factors of the medical expenditure portion in patients’ overall expenditure.It is found marital status,age of householder,income,the number of inpatient and outpatient are the significant factor for the proportion of medical expenditure in overall expenditure.

Keywords： semi-parametric;beta regression;generalized additive models;medical expenditure

Semi-parametric Additive Beta Regression Model with its Application

FANGKuang-nan1,YAOZi-wei2

(1.The School of Economics,Xiamen University,Xiamen 361005,China;2.International College of Business Administration,Shanghai University of Finance and Economcics,Shanghai 200433,China)

F064.1；F063.4

A

1003-207(2017)09-0116-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.013

2016-06-16；

2016-12-07

國家自然科學基金資助項目(71471152，71303200)；全國統(tǒng)計科學研究重點項目(2015629)

方匡南(1983-)，男(漢族)，浙江臺州人，廈門大學經(jīng)濟學院統(tǒng)計系教授，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘機器學習、應用統(tǒng)計，E-mail:39863401@qq.com.