巢 文，鄒輝文

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州 350116；2.福州大學(xué)投資與風(fēng)險(xiǎn)管理研究所，福建 福州 350116)

基于雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型的長壽債券定價研究

巢 文1，鄒輝文2

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州 350116；2.福州大學(xué)投資與風(fēng)險(xiǎn)管理研究所，福建 福州 350116)

伴隨著人均壽命的延長，人口老齡化帶來的長壽風(fēng)險(xiǎn)問題成為世界各國必須面對的重要課題。長壽風(fēng)險(xiǎn)對各國的社保部門、壽險(xiǎn)公司和政府造成了嚴(yán)重影響，如何有效地管理長壽風(fēng)險(xiǎn)成為學(xué)術(shù)界研究的焦點(diǎn)。鑒于已有長壽債券研究模型在考慮人口死亡率正負(fù)向不對稱跳躍方面的不足，本文在Lee-Carter模型的基礎(chǔ)上，采用雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型對死亡率的正負(fù)向不對稱跳躍進(jìn)行刻畫，并運(yùn)用經(jīng)典的CIR利率模型對長壽債券進(jìn)行貼現(xiàn)，然后通過引入風(fēng)險(xiǎn)中性定價法給出不完全市場中的債券定價，使得定價更貼近真實(shí)市場。對人口死亡數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析的結(jié)果表明，本文模型度量長壽風(fēng)險(xiǎn)的能力要明顯優(yōu)于已有模型。因此，應(yīng)用本文模型進(jìn)行債券定價，不僅可以提供更合理的定價，還可以提高壽險(xiǎn)公司應(yīng)對長壽風(fēng)險(xiǎn)的能力，從而促進(jìn)壽險(xiǎn)業(yè)在我國的進(jìn)一步發(fā)展。

長壽債券；CIR利率模型；雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型；風(fēng)險(xiǎn)中性

1 引言

隨著社會的進(jìn)步，醫(yī)療衛(wèi)生條件和經(jīng)濟(jì)生活水平的改善，人類的死亡狀況不斷好轉(zhuǎn)，壽命呈現(xiàn)不斷延長的趨勢。長壽風(fēng)險(xiǎn)使得各國的壽險(xiǎn)業(yè)、養(yǎng)老機(jī)構(gòu)等的金融壓力變大，面臨嚴(yán)重的支付危機(jī)，其造成的社會影響已經(jīng)引起各國的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)管理方法很難實(shí)現(xiàn)長壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移，需從新型的金融衍生工具中尋找出路。而長壽債券是一種有效管理風(fēng)險(xiǎn)的方法，它通過債券交易方式，將壽險(xiǎn)公司承保的長壽風(fēng)險(xiǎn)傳遞給資本市場的廣大投資者。它的出現(xiàn)，既可以對沖長壽風(fēng)險(xiǎn)，又能活躍資本市場。

長壽風(fēng)險(xiǎn)對社會各領(lǐng)域帶來嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，如何對沖該風(fēng)險(xiǎn)引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注。如曾燕等[1]在長壽風(fēng)險(xiǎn)對沖框架下，通過引入外生的產(chǎn)品價格，構(gòu)建了基于價格調(diào)整的自然對沖模型；汪偉和劉玉飛[2]探討農(nóng)民工進(jìn)城對養(yǎng)老保險(xiǎn)體系的養(yǎng)老賬戶繳費(fèi)、養(yǎng)老基金給付等方面的短期和長期影響，最后給出了政府應(yīng)承擔(dān)農(nóng)民工長壽風(fēng)險(xiǎn)，在財(cái)政上做好兜底工作等政策啟示。另外，國內(nèi)外有許多的研究者從長壽債券角度對長壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了研究，主要從死亡率預(yù)測研究、長壽債券的定價研究以及長壽證券衍生品的研究。Cairns等[3]認(rèn)為，一個好的死亡率模型需要能夠使預(yù)測結(jié)果與未來實(shí)際結(jié)果相吻合。為改善以前模型對死亡隨機(jī)性刻畫的不足，Wills和Sherris[4]用實(shí)證方法表明：死亡率的相關(guān)效應(yīng)對長壽債券定價的影響較大。Wang和Yang[5]在傳統(tǒng)Lee-Carter的基礎(chǔ)上，用中國人口死亡數(shù)據(jù)進(jìn)行同年出生死亡率相關(guān)性的拓展研究。然而在研究壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價時，只有不多的研究會強(qiáng)調(diào)死亡率的跳躍性。尚勤等[6]考慮到中國人口老齡化具有基數(shù)大、速度快的特點(diǎn)，運(yùn)用OU跳隨機(jī)過程刻畫死亡強(qiáng)度。Bauer等[7]研究長壽債券時，在連續(xù)時間框架下，利用仿射跳躍擴(kuò)散模型刻畫死亡率。Cox等[8]提出了同時描述長壽跳躍和死亡跳躍的模型。Deng等[9]基于雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價方法對壽險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行定價研究。田夢和鄧穎璐[10]采用雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型，對中國人口死亡率進(jìn)行預(yù)測，并得到了壽險(xiǎn)衍生品q遠(yuǎn)期的中國定價。從已有研究來看，目前還未看到將雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型應(yīng)用到長壽債券定價中的成果。

長壽債券合理定價受死亡率的刻畫和利率期限結(jié)構(gòu)的影響，但很多的研究者僅將注意力集中于死亡率的預(yù)測，對利率風(fēng)險(xiǎn)重視不夠。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮到死亡強(qiáng)度正負(fù)向跳躍的不對稱性，采用雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型刻畫死亡強(qiáng)度。同時考慮利率期限結(jié)構(gòu)和市場的不完全性，用CIR利率模型描述利率，然后通過風(fēng)險(xiǎn)中性定價給出長壽債券的價格。最后，進(jìn)行參數(shù)敏感度分析，找到影響債券價格的主要因素。

2 長壽債券的構(gòu)造原理

長壽債券是傳統(tǒng)保險(xiǎn)業(yè)和證券行業(yè)結(jié)合的產(chǎn)物，它通過債券交易方式，將本該由壽險(xiǎn)公司承擔(dān)的長壽風(fēng)險(xiǎn)，轉(zhuǎn)移到資本市場。SPV是壽險(xiǎn)公司和投資者的交易中介，它向壽險(xiǎn)公司購買再保險(xiǎn)，再向投資者發(fā)售無違約債券。在交易期內(nèi)，當(dāng)生存指數(shù)高于雙方約定的程度時，SPV用發(fā)行債券的收益優(yōu)先向壽險(xiǎn)公司賠付，剩余資金再向投資者發(fā)放息票，生存指數(shù)決定了各方的收益和風(fēng)險(xiǎn)。因此，準(zhǔn)確預(yù)測死亡強(qiáng)度是長壽債券合理定價的關(guān)鍵。此外，由于長壽債券期限較長，一般為25年或者30年，它的價值受利率波動影響較大，在給其定價時，利率期限結(jié)構(gòu)不可忽視。長壽風(fēng)險(xiǎn)的產(chǎn)生和分散過程圖如圖1所示。

圖1中，壽險(xiǎn)公司用固定年金的方式向SPV支付再保險(xiǎn)費(fèi)，SPV再以浮動年金的形式賠付給保險(xiǎn)公司。同時，對于投資者來說，他們向SPV支付固定的息票債券，得到浮動的息票債券。SPV和投資者都承擔(dān)了風(fēng)險(xiǎn)，好處是得到了較高風(fēng)險(xiǎn)的報(bào)酬。明顯的，死亡率的預(yù)測是長壽風(fēng)險(xiǎn)管理的關(guān)鍵。

圖1 長壽風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生和分散過程圖

3 DEJD模型下的死亡強(qiáng)度

研究長壽債券定價，首先要刻畫生存指數(shù)，而生存指數(shù)需要通過計(jì)算死亡強(qiáng)度得到。本文考慮死亡強(qiáng)度具有正負(fù)向跳躍的不對稱性，同時又兼顧良好的運(yùn)算性質(zhì)，將采用雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型(DEJD模型)來刻畫死亡率。模型的基本結(jié)構(gòu)為：

(1)

式中kt是整體死亡率，又叫時間序列因子；Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；N(t)是帶跳的泊松過程(跳躍頻率是λ)，α和σ分別表示瞬時期望漂移率和波動率；Vi是服從獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量。若令Y=ln(V)，則Y服從不對稱的雙指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：

fy(y)=pη1e-η1y1{y≥0}+qη2eη2y1{y<0},η1,η2>0,p,q≥0,p+q=1,

(2)

根據(jù)Kou 和 Wang Hui[11]，一個風(fēng)險(xiǎn)中性的DEJD模型結(jié)構(gòu)如下，其中帶*號表示表示各參數(shù)經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)中性調(diào)整：

(3)

且

(4)

整理得到第t年x年齡組的死亡率mx*(t)[9]:

(5)

其中，ax為各年齡組死亡率自然對數(shù)的平均水平，bx表示各年齡組死亡率對數(shù)變化的偏差情況。

4 長壽債券定價模型

4.1債券設(shè)計(jì)

假設(shè)lx表示x歲的人數(shù)，lx+t表示lx個x歲的人活到x+t歲的人數(shù)(lx+t

(6)

令V為長壽債券價格，T年期的面值為F,SPV支付給投資者的息票是Dt，V和Dt的關(guān)系滿足：

(7)

其中，d(0,t)是基于無風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)下的折現(xiàn)因子，

(8)

4.2利率期限結(jié)構(gòu)

在過去的30年中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出了大量的利率模型，大致可以分為單因子和多因子利率。單因子利率變量少，具有易處理和參數(shù)易估計(jì)的優(yōu)勢。在長壽債券的研究中，我們注重的是對死亡率隨機(jī)特征的刻畫和定價模型的可操作性，因此，選擇單因子利率模型?；镜膯我蜃永誓Ｐ陀蠱erton模型，Vasicek模型和Cox-Ingersoll-Ross模型。Merton模型不能描述利率均值回復(fù)和保證利率恒正，而Vasicek模型雖有均值回復(fù)項(xiàng)，但不能保證利率恒正，只有CIR模型才能同時體現(xiàn)這些特征。因此，本文采用CIR模型來描述利率的波動形態(tài)：

(9)

式中，α、β和θ為參數(shù)；W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

根據(jù)Cox，Ingersoll和Ross[12]的相關(guān)結(jié)論，在CIR模型下零息債券的風(fēng)險(xiǎn)中性價格p(0,t)可寫成如下形式：

(10)

要求債券價值V的值，關(guān)鍵是求E*(Dt),其中帶*表示參數(shù)經(jīng)過風(fēng)險(xiǎn)中性調(diào)整，由(6)式可得：

Dt=lb-(lx+t-lat,0)++(lx+t-lat-lb,0)+

則：E*(Dt)=lb-E*[(lx+t-lat)+]+E*[(lx+t-lat-lb)+]

(11)

(12)

(13)

(14)

根據(jù)φ′(t)=-tφ(t)，由分部積分

(15)

可得：

(16)

(17)

將(16)(17)兩式代入式(11)，得到

(18)

(19)

5 實(shí)證研究

5.1參數(shù)估計(jì)

5.1.1 參數(shù)ax和bx估計(jì)

本文采用美國國家健康統(tǒng)計(jì)中心提供的1900-2004年的死亡率數(shù)據(jù)，并應(yīng)用矩陣奇異值分解法(SVD法)進(jìn)行ax和bx的估值。首先，進(jìn)行正態(tài)化假設(shè)：

mx,t=exp(ax+bxkt+εx,t)

(20)

仿真結(jié)果表明，在2～4 GHz的頻帶范圍內(nèi)，低噪聲放大器的輸入回波損耗小于-8 dB，輸出回波損耗小于-10 dB。頻率為2 GHz時，增益取得最小值為30.6 dB，頻率為3.15 GHz時，增益取得最大值為31.9 dB，增益的平坦度小于等于1.3 dB。噪聲系數(shù)的最小值為0.75 dB，此時頻率為3 GHz。噪聲系數(shù)的最大值為1 dB，此時的頻率為2 GHz，即在工作頻帶內(nèi)，噪聲系數(shù)的取值不大于1 dB。根據(jù)前面的分析可知，穩(wěn)定系數(shù)μ大于1時，低噪聲放大器處于絕對穩(wěn)定的工作狀態(tài)，通過仿真的結(jié)果可知，在整個頻帶范圍內(nèi)，穩(wěn)定系數(shù)大于2.6，因此保證放大器不會被自激等不理想因素所影響。

上述的計(jì)算過程可用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)，結(jié)果見表1。

表1 年齡效應(yīng)參數(shù)回歸結(jié)果

5.1.2 DEJD模型參數(shù)估計(jì)

用C={k0,k1,…,kT}表示死亡率時間序列，并記一個時期的增量ri=Δki=ki-ki-1(i=1,2,…,T),則ri的無條件密度函數(shù)f(r)為：

f0,0(r),f0,n(r)和fm,n(r)計(jì)算過程類似，這里不再給出。下一步，由ri的獨(dú)立性可得對數(shù)似然函數(shù)為：

其中λ=λ1+λ2,p=λ1/λ。最后編程得到參數(shù)的極大似然估計(jì)值，結(jié)果見表2。

表2 死亡率其他參數(shù)估計(jì)值

5.1.3 CIR利率模型參數(shù)估計(jì)

通過選取2008-12-31～2012-12-31的1年期Shibor數(shù)據(jù)，估計(jì)CIR利率模型中的參數(shù)。利用極大似然估計(jì)法估計(jì)式(9)中的參數(shù)[13]，α=0.0045，β=0.0298，θ=0.056。

5.2定價示例

下面，將本文的計(jì)算結(jié)果與不同模型的定價方法給予比較分析，為長壽債券研究提供進(jìn)一步參考。如表3。

表3 不同模型刻畫死亡率方法的結(jié)果比較

由表3比較可知，由帶跳的OU過程和Feller過程刻畫死亡強(qiáng)度，得到的長壽債券價格要低于DEJD模型的結(jié)果，即不考慮死亡率正負(fù)向跳躍的情況下，長壽債券價格會被低估。這是因?yàn)?，?dāng)考慮死亡率的正負(fù)向跳躍，且正向跳躍強(qiáng)度比負(fù)向跳躍強(qiáng)度更大(η1*<η2*)時，死亡率的正向跳躍會使投資者有更大收益，使其愿意為持有長壽債券支付更高的價格。若壽險(xiǎn)公司不能有效的管理長壽風(fēng)險(xiǎn)，向投資人收取的債券價格低于“公平”價格，將導(dǎo)致壽險(xiǎn)公司不堪重負(fù)，甚至破產(chǎn)。因此，準(zhǔn)確預(yù)測人口死亡率，從而制定合理的債券價格，是壽險(xiǎn)公司穩(wěn)定經(jīng)營的關(guān)鍵所在。

表4 DEJD模型中參數(shù)敏感度測試表

5.3參數(shù)敏感度分析

參數(shù)敏感度分析有助于在長壽債券定價時，根據(jù)具體情況調(diào)整參數(shù)。首先，分析死亡率模型的參數(shù)敏感度。

同樣，對CIR利率模型中參數(shù)進(jìn)行敏感度測試，如表5。參考表5中數(shù)據(jù)，設(shè)定每個參數(shù)的取值范圍，取不同的值并繪圖，得到圖7-9。綜合表5和圖7-9，可以看出，若保持其他參數(shù)不變，隨著參數(shù)α和θ的增大，長壽債券價格而變小；而當(dāng)β增大時，長壽債券的價格也增大。其中，參數(shù)α的敏感度最顯著，其他兩個敏感度較弱?？梢?，對于期限較長的長壽債券而言，期限結(jié)構(gòu)對長壽債券的價格具有密切的影響。因此，利率模型的選取和參數(shù)的估計(jì)十分重要，不容忽視。長壽債券作為一種新興的金融衍生品，其到期期限一般較長，因此相較于短期利率的影響，長壽債券的定價模型更應(yīng)重視遠(yuǎn)期利率的影響。

表5 CIR利率模型中參數(shù)及參數(shù)敏感度測試

圖2 參數(shù)α*與V的關(guān)系

圖3 參數(shù)σ*與V的關(guān)系

圖4 參數(shù)λ*與V的關(guān)系

圖5 參數(shù)與V的關(guān)系

圖6 參數(shù)與V的關(guān)系

圖7 參數(shù)α與V的關(guān)系

圖8 參數(shù)β與V的關(guān)系

圖9 參數(shù)θ與V的關(guān)系

6 結(jié)語

隨著全球人口老齡化社會的迅速形成，導(dǎo)致領(lǐng)取養(yǎng)老金保險(xiǎn)金的人數(shù)逐年增加，而納稅人口一路減少，養(yǎng)老金賬戶的供需缺口越來越大，以致于影響了社會的發(fā)展。長壽問題已經(jīng)成為不容忽視的重大社會問題，發(fā)行長壽債券，不僅可以減緩社會保障部門的金融壓力，還可以為壽險(xiǎn)業(yè)對沖長壽風(fēng)險(xiǎn)提供新思路。

本文在Lee-Carter模型的基礎(chǔ)上，利用雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散模型來刻畫死亡率正向和負(fù)向跳躍的不對稱性，從而更準(zhǔn)確的度量長壽風(fēng)險(xiǎn)。并且在處理年齡別的參數(shù)時，利用線性插值法，既提高了死亡率預(yù)測的精度，又避免了多而繁瑣的統(tǒng)計(jì)工作量。此外，用經(jīng)典的CIR利率模型進(jìn)行貼現(xiàn)，從示例和數(shù)據(jù)分析結(jié)果可以得出，增加利率期限結(jié)構(gòu)是有必要的，而且對長壽債券的合理定價也有較大影響。

隨著我國資本市場的發(fā)展，精算技術(shù)的不斷成熟，人口數(shù)據(jù)的不斷完善和規(guī)范，長壽債券的設(shè)計(jì)會更加符合實(shí)際，長壽債券也勢必將在管理長壽風(fēng)險(xiǎn)中發(fā)揮重要作用，因此本文的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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Abstract： With the extension of life expectancy,the countries in the whole world must face the fact that aging population brings longevity risk.Longevity risk has put severe impacts on security departments,insurance companies and the governments in the world.Therefore how to manage it effectively has become the focus of study by the academic society.In view of the fact that the research model of longevity bonds has not considered the positive and negative asymmetry jump of population mortality,and in order to hedge the risk of longevity,based on Lee-Carter framework,a double exponential jump diffusion model is introduced to measure the positive and negative asymmetry jump of mortality rates,the interest rate is described with CIR.And in order to make the pricing of bonds closer to the real market,the risk neutral pricing is used to price the bond in the incomplete market.Empirical analysis with the population death data shows that the ability of this model is significantly better than the existing model when measuring longevity risk.Therefore,the use of this model for bond pricing,not only can provide a more reasonable pricing,but also can improve the life insurance companies to deal with the risk of longevity,then can promote the further development of life insurance industry in China.

Keywords： longevity bonds;CIR model;double exponential jump diffusion model;neutral risk

Pricing Longevity Bonds based on Double Exponential Jump Diffusion Model

CHAOWen1,ZOUHui-wen2

(1.Institute of Investment and Risk Management,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China;2.School of Economics and Management,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China)

F830.91

A

1003-207(2017)09-0046-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.006

2015-10-17；

2017-02-25

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2017J01794)

巢文(1988-)，女(漢族)，江西宜春人，福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院博士生，研究方向：金融資產(chǎn)定價，E-mail:chaowen2014@163.com.