宋亞瓊，王新軍

(1.中共泰安市委黨校，山東 泰安 271000；2.山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100)

基于動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差的中國股市波動(dòng)率建模與預(yù)測

宋亞瓊1，王新軍2

(1.中共泰安市委黨校，山東 泰安 271000；2.山東大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100)

本文設(shè)波動(dòng)率的估計(jì)誤差服從異方差假定，在對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行建模時(shí)，根據(jù)方差變化來設(shè)定模型的自回歸系數(shù)，構(gòu)建基于高頻數(shù)據(jù)的HARQ(F)模型。在此基礎(chǔ)上，考慮中國股市波動(dòng)的跳躍行為及杠桿效應(yīng)，先后構(gòu)建了HARQ(F)-CJ模型和LHARQ(F)-CJ模型，以改善波動(dòng)率模型的擬合效果和預(yù)測能力。本文假設(shè)，當(dāng)期已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率或其連續(xù)成分的估計(jì)誤差的方差越大，它對未來真實(shí)波動(dòng)率的解釋力度則越差，因而其對應(yīng)系數(shù)越小。對上證綜合指數(shù)近15年的五分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，基于估計(jì)誤差異方差假定的動(dòng)態(tài)系數(shù)能夠提高已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的擬合效果和預(yù)測能力。其中，對日回歸系數(shù)進(jìn)行基于估計(jì)誤差方差的動(dòng)態(tài)調(diào)整是模型改進(jìn)的關(guān)鍵。同時(shí)考慮中國股市波動(dòng)的跳躍行為及杠桿效應(yīng)的LHARQ-CJ模型在所有模型中表現(xiàn)最優(yōu)。

已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率；動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差；高頻數(shù)據(jù)；跳躍行為；杠桿效應(yīng)

1 引言

股市波動(dòng)率的建模與預(yù)測一直以來是金融理論研究的重要命題之一。它對資產(chǎn)組合選擇、金融資產(chǎn)及其衍生品定價(jià)、以及金融機(jī)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)管理都具有重要意義。20世紀(jì)80年代起，國內(nèi)外學(xué)者提出了基于低頻數(shù)據(jù)的GARCH類模型和SV類模型對股市波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測，很好地刻畫了股市波動(dòng)的集聚性和時(shí)變性特點(diǎn)。進(jìn)入21世紀(jì)，基于高頻數(shù)據(jù)的股市波動(dòng)率的建模與預(yù)測成為新的研究趨勢。為了充分利用股市交易的日內(nèi)信息，Andersen和Bollerslev[1]提出了基于高頻交易數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(Realized Volatility，RV)，作為股票市場真實(shí)波動(dòng)率的一致估計(jì)量。在此基礎(chǔ)上，Andersen等[2]結(jié)合波動(dòng)率的長記憶性構(gòu)建了ARFIMA-RV模型，Corsi[3]綜合考慮了波動(dòng)率的長記憶性和異質(zhì)性，建立了HAR-RV模型。通過實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，ARFIMA-RV模型和HAR-RV模型對股市波動(dòng)率的樣本外預(yù)測能力優(yōu)于傳統(tǒng)的GARCH模型和SV模型，而HAR-RV模型因其簡單有效的形式得到廣泛應(yīng)用。魏宇[4]將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為附加解釋變量加入GARCH模型和SV模型中，運(yùn)用SPA檢驗(yàn)進(jìn)行評估發(fā)現(xiàn)，模型的預(yù)測能力有所提高。

隨著HAR-RV模型的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)外研究者結(jié)合股市波動(dòng)的諸多性質(zhì)對其進(jìn)行了擴(kuò)展研究。Andersen等[5]基于多次冪變差理論將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率分解為連續(xù)成分和跳躍成分，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建HAR-J模型和HAR-CJ模型，通過實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，這兩種成分對波動(dòng)率預(yù)測都有顯著影響，提高了模型預(yù)測能力。Bollerslev等[6]綜合考慮了股市波動(dòng)的跳躍行為和杠桿效應(yīng)，提出HAR-GARCH-BV模型，并結(jié)合收益率方程和跳躍方程提高了波動(dòng)率預(yù)測水平。Corsi[7]構(gòu)建LHAR-CJ模型，證明股市波動(dòng)的跳躍行為和股價(jià)負(fù)收益能夠影響股市波動(dòng)預(yù)測。陳浪南和楊科[8]結(jié)合中國股市高頻波動(dòng)率的長記憶性、結(jié)構(gòu)突變、不對稱性和周內(nèi)效應(yīng)等特征，構(gòu)建了自適應(yīng)的不對稱性HAR-CJ-D-FIGARCH模型，通過實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，該模型對中國股市的波動(dòng)有很好的擬合效果和預(yù)測能力。孫潔[9]將日波動(dòng)率劃分為跳躍性波動(dòng)、連續(xù)性波動(dòng)和隔夜波動(dòng)，建立HAR-CJN模型對股市波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測，提升了模型的預(yù)測能力。

在日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)抽樣頻率足夠高的情形下，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率為股市真實(shí)波動(dòng)積分波動(dòng)率(Integrated Volatility，IV)的一致估計(jì)量。當(dāng)抽樣有限時(shí)，研究者將RV與IV之間的偏差定義為估計(jì)誤差，由微觀結(jié)構(gòu)噪聲和其他測量偏差導(dǎo)致。當(dāng)估計(jì)誤差越大時(shí)，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率對股市真實(shí)波動(dòng)的估計(jì)和預(yù)測就越不準(zhǔn)確。隨著研究的深入，估計(jì)誤差開始成為國內(nèi)外學(xué)者基于RV進(jìn)行股市波動(dòng)率建模和預(yù)測的新關(guān)注點(diǎn)。Asai等[10]運(yùn)用蒙特卡羅模擬法研究了使用RV估計(jì)股市波動(dòng)時(shí)的誤差，發(fā)現(xiàn)忽略估計(jì)誤差會(huì)導(dǎo)致由模型誤設(shè)而引起的嚴(yán)重偏差。Dobrev和Szerszen[11]提出了狀態(tài)空間形式的漸進(jìn)精確波動(dòng)率測量方程，運(yùn)用貝葉斯估計(jì)方法，將RV的估計(jì)誤差方差考慮在內(nèi)對股市波動(dòng)率進(jìn)行建模和預(yù)測，但這種方法沒有將估計(jì)誤差方差設(shè)為模型的動(dòng)態(tài)變量。

近年來，考慮微觀結(jié)構(gòu)噪聲引起的估計(jì)誤差的波動(dòng)率建模研究開始起步。為了降低微觀結(jié)構(gòu)噪聲引起的估計(jì)誤差，Jacod等[12]提出預(yù)平均法，運(yùn)用連續(xù)函數(shù)對高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行光滑處理，經(jīng)證明，這種方法能夠?qū)Ψe分波動(dòng)率的估計(jì)量漸進(jìn)方差進(jìn)行一致估計(jì)。Andersen等[13]在運(yùn)用隨機(jī)波動(dòng)模型來估計(jì)股市波動(dòng)率時(shí)，選擇了多種形式的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測量量，其中基于平均標(biāo)準(zhǔn)稀疏抽樣方法的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率在建模和預(yù)測中表現(xiàn)最好。Bandi等[14]提出了基于時(shí)變抽樣頻率的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率估計(jì)量，用來解釋由市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲而造成的估計(jì)誤差中的異方差性，為股市波動(dòng)預(yù)測提供了更強(qiáng)的有效信息。國內(nèi)研究中，唐勇[15]將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)分解為連續(xù)樣本路徑方差、跳躍方差和微觀結(jié)構(gòu)噪聲方差，提出HAR-N-CJ模型和LHAR-N-CJ模型，實(shí)證結(jié)果表明新模型在擬合與預(yù)測方面都較HAR-CJ模型有所提高。馬丹和尹優(yōu)平[16]提出，門限預(yù)平均實(shí)現(xiàn)波動(dòng)能夠在微觀結(jié)構(gòu)噪聲和波動(dòng)跳躍同時(shí)存在的情況下減少股市波動(dòng)的預(yù)測誤差，是資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的一致估計(jì)。

綜上所述，基于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的股市波動(dòng)建模和預(yù)測研究發(fā)展日臻完善，近些年，學(xué)者們開始關(guān)注已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的估計(jì)誤差對建模和預(yù)測的影響。然而，現(xiàn)有研究對估計(jì)誤差中由市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲引起的部分研究偏多，考慮估計(jì)誤差總體效果的文獻(xiàn)較少。在結(jié)合估計(jì)誤差的波動(dòng)率建模研究中，也沒有將其方差的動(dòng)態(tài)性體現(xiàn)在模型中。本文將RV估計(jì)誤差的方差變化設(shè)為影響模型預(yù)測結(jié)果的因素，在對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行建模時(shí)根據(jù)基于估計(jì)誤差的異方差假定來設(shè)定模型系數(shù)，提出了HARQ(F)模型，以及結(jié)合中國股市波動(dòng)的跳躍行為和杠桿效應(yīng)的HARQ(F)-CJ模型和LHARQ(F)-CJ模型，從而改善已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的擬合效果和預(yù)測能力。

2 動(dòng)態(tài)系數(shù)的波動(dòng)率建模理論

2.1已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和高頻分布理論

假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從如下隨機(jī)差分方程：

dln(Pt)=μtdt+σtdWt

(1)

其中，μt表示飄移項(xiàng)，σt表示瞬時(shí)波動(dòng)率，Wt為獨(dú)立于σt的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。定義資產(chǎn)價(jià)格在t期的真實(shí)波動(dòng)率為積分波動(dòng)率IV(Integrated Volatility)。

(2)

已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV(Realized Volatility)是資產(chǎn)價(jià)格n個(gè)日內(nèi)收益率的平方和。

(3)

其中，Δ表示資產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)的抽樣間隔。M=1/Δ，表示日內(nèi)收益率的數(shù)目。rt,i≡100×[logPt+iΔ-logPt+(i-1)Δ]表示Δ時(shí)段內(nèi)的收益率。

根據(jù)Barndorff-Nielsen和Shephard[17]提出的漸進(jìn)分布理論，當(dāng)抽樣間隔Δ→0時(shí)，真實(shí)波動(dòng)率可由已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行一致估計(jì)，估計(jì)誤差設(shè)為ηt。

RVt=IVt+ηt，ηt～N(0,2ΔIQt)

(4)

2.2估計(jì)誤差的異方差假定

RV是真實(shí)波動(dòng)率的一致估計(jì)量，同時(shí)，估計(jì)誤差在一般情況下是序列不相關(guān)的。因此，我們可以用含RV的時(shí)間序列模型來預(yù)測潛在的真實(shí)波動(dòng)率。

假設(shè)IV的動(dòng)態(tài)相依關(guān)系可以由如下AR(1)模型表示：

IVt=φ0+φ1IVt-1+μt

(5)

(6)

現(xiàn)在假設(shè)，以AR(1)過程來代替ARMA(1,1)過程對RV進(jìn)行擬合，有下式成立：

IVt+ηt=β0+β1(IVt-1+ηt-1)+μt

(7)

等式左側(cè)的估計(jì)誤差ηt影響的是估計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，而等式右側(cè)的估計(jì)誤差ηt-1會(huì)直接影響參數(shù)β1的估計(jì)，從而對模型預(yù)測產(chǎn)生影響。

(8)

以上論述是基于估計(jì)誤差的方差是常數(shù)的假設(shè)，然而，從式(4)可以看出，RV對真實(shí)波動(dòng)率的估計(jì)誤差隨著時(shí)間的變化而改變。當(dāng)IQ較小時(shí)，RV對IV的估計(jì)較為精確；當(dāng)IQ較大時(shí)，估計(jì)效果減弱。因此，從預(yù)測的角度上講，AR模型的常系數(shù)假定并不是最優(yōu)的，本文構(gòu)造隨時(shí)間變化的自回歸系數(shù)β1,t來擬合IQ變化對估計(jì)的影響。

(9)

(10)

將系數(shù)β1,t代入RV的自回歸模型可得模型(10)。筆者將RV模型的自回歸系數(shù)看作是IQ1/2估計(jì)量的線性函數(shù)，而沒有直接采用式(8)中方差的倒數(shù)形式，是為了使模型更加穩(wěn)健。同時(shí)，模型還能夠用簡單的OLS方法進(jìn)行估計(jì)。模型的自回歸系數(shù)β1,t隨估計(jì)誤差的方差而變化。特別地，假定β1,Q<0，當(dāng)該日RV作為真實(shí)波動(dòng)率的估計(jì)量誤差較大時(shí)，它對未來真實(shí)波動(dòng)率的預(yù)測作用較弱，而估計(jì)誤差較小的RV對未來真實(shí)波動(dòng)率的預(yù)測起到較強(qiáng)的解釋作用。這就是本文建模的理論基礎(chǔ)。

3 基于跳躍行為和杠桿效應(yīng)的模型擴(kuò)展

3.1HARQ模型

模型(10)作為一階自回歸模型無法描述RV對真實(shí)波動(dòng)率預(yù)測的長記憶性，本文結(jié)合估計(jì)誤差的異方差假定，對異質(zhì)自回歸模型HAR-RV進(jìn)行改進(jìn)，得到如下模型：

(11)

同理，該模型日、周和月的自回歸系數(shù)受到相應(yīng)RV估計(jì)誤差的影響，它們隨著平均估計(jì)誤差的增大而減小，從而使得具有較大估計(jì)誤差的RV對未來真實(shí)波動(dòng)率預(yù)測作用降低。我們將此模型稱為HARQF模型。

隨著時(shí)間跨度k的增大，平均估計(jì)誤差RQt-1|t-k的解釋作用會(huì)隨之弱化。所以，根據(jù)估計(jì)誤差調(diào)整的日系數(shù)對波動(dòng)率的解釋能力要高于調(diào)整的周系數(shù)和月系數(shù)。據(jù)此，本文對模型(11)進(jìn)行簡化處理，僅對具有較強(qiáng)解釋能力的日系數(shù)根據(jù)估計(jì)誤差進(jìn)行調(diào)整，定義了HARQ模型。

(12)

3.2HARQ-CJ模型

當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)，它服從以下隨機(jī)差分方程。

dln(Pt)=μtdt+σtdWt+κtdNt

(13)

本文用以下Z統(tǒng)計(jì)量對波動(dòng)跳躍的存在性進(jìn)行檢驗(yàn)。

Zt≡

(14)

當(dāng)Zt大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在顯著性水平為α的臨界值Φα?xí)r，我們認(rèn)為存在波動(dòng)率跳躍，Jt≡I(Zt>Φα)·[RVt-BPVt]，波動(dòng)的連續(xù)成分為Ct≡I(Zt≤Φα)·RVt+I(Zt>Φα)·BPVt，I(·)為示性函數(shù)。

Barndorff-Nielsen和Shephard[17]指出，若用BPV來估計(jì)真實(shí)波動(dòng)率，其估計(jì)誤差的漸進(jìn)方差為2.61ΔIQt，而在積分變差I(lǐng)Q的一致估計(jì)量中，已實(shí)現(xiàn)三次冪變差TPQ在跳躍存在的情形下是有效的。

基于此，本文對HAR-CJ模型進(jìn)行改進(jìn)，使其滿足估計(jì)誤差的異方差假定，將波動(dòng)率連續(xù)成分的系數(shù)看作是隨估計(jì)誤差方差的變化而改變的。形式如下：

(15)

該模型連續(xù)成分的日、周和月自回歸系數(shù)受到相應(yīng)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率連續(xù)成分的估計(jì)誤差影響，它們隨著平均估計(jì)誤差的增大而減小，從而使得具有較大估計(jì)誤差的連續(xù)成分對未來真實(shí)波動(dòng)率預(yù)測作用降低。該模型還同時(shí)刻畫了跳躍成分的日、周和月效應(yīng)對未來波動(dòng)率預(yù)測的作用。我們將此模型稱為HARQF-CJ模型。

同理，隨著時(shí)間跨度k的增大，平均估計(jì)誤差TPQt-1|t-k的解釋作用會(huì)隨之弱化。本文定義了HARQ-CJ模型，僅對具有較強(qiáng)解釋能力的連續(xù)成分日系數(shù)根據(jù)估計(jì)誤差進(jìn)行調(diào)整。

(16)

3.3LHARQ-CJ模型

杠桿效應(yīng)是股市波動(dòng)率的特點(diǎn)之一。具體表現(xiàn)為，在股票市場中，同等程度的負(fù)面沖擊比正面沖擊能夠引起更大的股價(jià)波動(dòng)。中國股市實(shí)行嚴(yán)格的賣空限制的交易制度，使得中國股市波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)具有持續(xù)性特點(diǎn)。因此，我們結(jié)合Corsi(2009)提出的LHAR-CJ模型，考慮前期不同周期的負(fù)收益對未來真實(shí)波動(dòng)率預(yù)測的影響，進(jìn)一步構(gòu)建LHARQF-CJ模型和LHARQ-CJ模型，以增強(qiáng)估計(jì)誤差異方差假定的適用性。

(17)

(18)

本文構(gòu)建HARQ(F)模型、HARQ(F)-CJ模型和LHARQ(F)-CJ模型，選擇非線性最小二乘法，使用穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤差進(jìn)行估計(jì)。通過對模型系數(shù)顯著性及模型損失函數(shù)的分析，來驗(yàn)證基于估計(jì)誤差異方差假定的動(dòng)態(tài)系數(shù)是否能夠提升波動(dòng)率模型的預(yù)測能力，為股價(jià)真實(shí)波動(dòng)率的預(yù)測提供更好的理論模型。

4 實(shí)證研究

4.1數(shù)據(jù)與分析

本文選取上證綜合指數(shù)2001年1月2日至2015年12月31日的五分鐘高頻數(shù)據(jù)作為樣本，有效數(shù)據(jù)為3843組。選擇99%的置信區(qū)間，對波動(dòng)率的跳躍成分和連續(xù)成分進(jìn)行檢驗(yàn)和計(jì)算。為了更加直觀地分析，對上證指數(shù)的負(fù)收益取絕對值處理。表1為模型所涉及變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，圖1對模型解釋變量與被解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行了判斷。

表1 變量描述性統(tǒng)計(jì)表

圖1 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與變量間的相關(guān)系數(shù)圖

本文檢測了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的自相關(guān)系數(shù)，以及它與股價(jià)指數(shù)的正負(fù)收益以及跳躍成分之間的相關(guān)系數(shù)。如圖1所知，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率呈現(xiàn)出一定的長記憶性，其自相關(guān)程度隨時(shí)間呈緩慢遞減。已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與指數(shù)正、負(fù)收益的絕對值之間表現(xiàn)出一定的正相關(guān)性，相比來看，負(fù)收益對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的相關(guān)系數(shù)更大，且相關(guān)性曲線的衰減較為平穩(wěn)。這說明，指數(shù)的負(fù)收益對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的影響作用更大，上證指數(shù)的波動(dòng)具有杠桿效應(yīng)，利空消息對波動(dòng)的影響要大于利好消息對波動(dòng)的影響。同時(shí)，這種杠桿效應(yīng)還具有一定的持續(xù)性，并隨著滯后期的增加而逐漸減弱，這是杠桿效應(yīng)對波動(dòng)率的異質(zhì)性影響。由圖2可知，波動(dòng)的跳躍成分對已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率也有一定程度的異質(zhì)性影響。由此可見，我們在動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差模型中添加杠桿效應(yīng)和跳躍成分的不同期滯后影響，對上證綜指的波動(dòng)率預(yù)測具有重要意義。

4.2樣本內(nèi)估計(jì)

本文使用上證綜合指數(shù)3843組有效數(shù)據(jù)，對HARQ(F)模型、HARQ(F)-CJ模型和LHARQ(F)-CJ模型進(jìn)行樣本內(nèi)估計(jì)，擬合結(jié)果如下表所示。為了比較波動(dòng)率模型的擬合效果，選擇經(jīng)典的ARMA(1,1)模型、HAR模型、HAR-CJ模型和LHAR-CJ模型作為參照。

圖2所示為HAR模型和HARQ模型對上證綜指2015年8月份十個(gè)連續(xù)交易日的波動(dòng)率擬合結(jié)果對比圖。圖(a)為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率及其基于(4)式所估計(jì)的95%置信區(qū)間，其中，8月26日的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率相比其他交易日更大，且從置信區(qū)間寬度來看，其估計(jì)誤差較大，估計(jì)結(jié)果更不精確。圖(b)為β1和β1,t的估計(jì)結(jié)果，可見，在“正?！辈▌?dòng)的交易日中，HARQ模型中的β1,t系數(shù)在0.5～0.6之間，而HAR模型中β1系數(shù)僅為0.35，在RV估計(jì)較為不精確的8月26日，系數(shù)β1,t均降為0.26。圖(c)為兩個(gè)模型對向前一期波動(dòng)率的預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值的對比，由圖可知，在HAR模型中，8月26日的RV拉高了下一個(gè)交易日的波動(dòng)率預(yù)測結(jié)果；而在HARQ模型中，系數(shù)β1,t的降低使得下一個(gè)交易日的波動(dòng)率預(yù)測結(jié)果較少地收到8月26日高波動(dòng)率的影響，更加接近當(dāng)期RV的值。由此可見，當(dāng)某個(gè)交易日RV的估計(jì)誤差變大時(shí)，HARQ模型比HAR模型對未來真實(shí)波動(dòng)率的預(yù)測更加精確。

表2 模型擬合結(jié)果

注：***、**、*分別表示在1%、5%和10%水平上顯著相關(guān)；括弧中為p值。

圖2 HAR模型和HARQ模型擬合結(jié)果對比圖

表3 樣本外預(yù)測損失函數(shù)比較

注：***、**、*分別表示在1%、5%和10%水平上顯著相關(guān)；括弧中為p值。

4.3樣本外預(yù)測

為了考察模型的預(yù)測能力，本文采用滾動(dòng)時(shí)間窗預(yù)測(Rolling Window)和遞增時(shí)間窗預(yù)測(Increasing Window)兩種方式，考察模型對向前一期波動(dòng)率的預(yù)測結(jié)果。其中，滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本長度固定為1000個(gè)交易日，從第1001個(gè)交易日的預(yù)測開始，每一期的預(yù)測結(jié)果都是基于前1000個(gè)樣本數(shù)據(jù)。遞增時(shí)間窗的樣本長度隨時(shí)間變化從1000個(gè)交易日遞增到3842個(gè)，從第1001個(gè)交易日的預(yù)測開始，每一期的預(yù)測結(jié)果都是基于前面所有的樣本數(shù)據(jù)。本文選用均方誤差的開方(RMSE)和平均絕對誤差(MAE)兩種損失函數(shù)作為比較模型預(yù)測能力的方法，并以Giacomini-White檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值來說明不同模型間的預(yù)測能力差異是否顯著。表3展示了以HAR模型作為比較基準(zhǔn)，不同模型與它之間損失函數(shù)的比值。

首先，從對所有模型進(jìn)行滾動(dòng)時(shí)間窗預(yù)測和遞增時(shí)間窗預(yù)測的RMSE值和MAE值來看，基于動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差的系數(shù)模型表現(xiàn)優(yōu)于傳統(tǒng)的ARMA模型和HAR模型，說明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率及其連續(xù)成分的估計(jì)誤差異方差假定可以提高模型的預(yù)測能力。其次，除一組數(shù)據(jù)外，僅對日系數(shù)進(jìn)行估計(jì)誤差異方差調(diào)整的HARQ、HARQ-CJ與LHARQ-CJ模型在同類模型中表現(xiàn)最好。雖然在樣本內(nèi)估計(jì)中，HARQF、HARQF-CJ與LHARQF-CJ模型的擬合結(jié)果與其相差不大，但樣本外預(yù)測能力存在差距。這說明，基于估計(jì)誤差異方差假定的動(dòng)態(tài)系數(shù)模型可以提高模型的預(yù)測能力，并且，無論是對于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率還是其連續(xù)成分，對滯后一期的系數(shù)(即日系數(shù))的調(diào)整是提高模型預(yù)測能力的關(guān)鍵。最后，在兩種不同的預(yù)測方法和損失函數(shù)下，含有波動(dòng)率連續(xù)成分和跳躍成分的動(dòng)態(tài)系數(shù)模型優(yōu)于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)系數(shù)模型，再考慮杠桿效應(yīng)的模型表現(xiàn)更優(yōu)之。其中，LHARQ-CJ模型在三種情形中預(yù)測能力都是最優(yōu)的。這說明，在基于估計(jì)誤差異方差假定的動(dòng)態(tài)系數(shù)模型中考慮跳躍和杠桿效應(yīng)，可以提高模型的預(yù)測能力。

5 結(jié)語

本文設(shè)波動(dòng)率的估計(jì)誤差服從異方差假定，基于此得到隨誤差方差變化的自回歸系數(shù)，從而構(gòu)建HARQ(F)模型來估計(jì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率。進(jìn)一步，在動(dòng)態(tài)系數(shù)模型中結(jié)合波動(dòng)的連續(xù)成分、跳躍成分及杠桿效應(yīng)，提出了HARQ(F)-CJ和LHARQ(F)-CJ模型。本文以上證綜合指數(shù)2001年1月2日至2015年12月31日的五分鐘高頻數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行實(shí)證研究，得出的結(jié)論如下：

第一，基于估計(jì)誤差異方差假定的動(dòng)態(tài)系數(shù)能夠提高已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的擬合效果和預(yù)測能力。當(dāng)期已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率或其連續(xù)成分的估計(jì)誤差的方差越大，則當(dāng)期已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率或其連續(xù)成分在模型中的系數(shù)越小，它對未來真實(shí)波動(dòng)率的解釋力度則越差。這種動(dòng)態(tài)系數(shù)的性質(zhì)使得HARQ(F)、HARQ(F)-CJ和LHARQ(F)-CJ模型對于未來真實(shí)波動(dòng)率的預(yù)測能力有了顯著提升。

第二，對模型的日回歸系數(shù)進(jìn)行基于估計(jì)誤差方差的動(dòng)態(tài)調(diào)整是提高模型擬合效果和預(yù)測能力的關(guān)鍵。從模型的擬合結(jié)果來看，在HARQ(F)、HARQ(F)-CJ和LHARQ(F)-CJ模型，日回歸系數(shù)的變動(dòng)部分系數(shù)顯著為負(fù)，而周、月回歸系數(shù)的變動(dòng)部分系數(shù)不顯著。從模型的樣本外預(yù)測結(jié)果來說，僅對日回歸系數(shù)進(jìn)行調(diào)整的HARQ、HARQ-CJ、LHARQ-CJ模型的損失函數(shù)較低，向前一期的波動(dòng)率預(yù)測能力較強(qiáng)。

第三，中國股市波動(dòng)存在跳躍行為及持續(xù)的杠桿效應(yīng)，波動(dòng)的連續(xù)成分和跳躍成分、以及波動(dòng)的杠桿效應(yīng)對未來波動(dòng)率都有一定的解釋作用。LHARQ(F)-CJ模型不僅能夠刻畫估計(jì)誤差的異方差特點(diǎn)，還考慮到了波動(dòng)率的跳躍行為及杠桿效應(yīng)對預(yù)測的作用。在對上證綜合指數(shù)波動(dòng)率的擬合和預(yù)測上，與現(xiàn)有模型相比表現(xiàn)較優(yōu)。本文的研究結(jié)論可以應(yīng)用在股市波動(dòng)測量、金融資產(chǎn)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域。

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Abstract： As high-frequency data is widely used in forecasting stock volatility,we propose a new family of easy-to-implement models based on realized volatility,which is constructed from the summation of the squared high-frequency intraday returns.In this paper,the estimation error of the realized volatility is assumed to obey the assumption of heteroscedasticity.When modeling the volatility of stock market,we set the autoregressive coefficients of the model according to the change of estimation errors’ variances and get HARQ (F) model.In the meantime,we propose HARQ (F)-CJ model and LHARQ (F)-CJ model in combination with the jump behavior and leverage effect of Chinese stock market volatility to improve the fitness and predictive power of the realized volatility model.We suppose,the larger the estimation error’s variance of the realized volatility or the continuous component in the current period,the worse its interpretation of the latent volatility in the future ,and the smaller the corresponding coefficient is.Through an empirical study on the high-frequency data of the Shanghai Composite Index from December 31st,2015 to January 2nd,2001,we find that based on the assumption of heteroscedasticity in the estimation errors,dynamic coefficients can improve the fitness and the predictive power of the realized volatility model.Above all,the dynamic adjustment of daily regression coefficient based on estimation error variance is the key to improve the fitness and predictive power of the model.The LHARQ-CJ model in combination with both the jump behavior and the leverage effect of the Chinese stock market is considered to show the best performance in all related models.Finally,this research has made its contribution in modeling and forecasting Chinese stock volatility with dynamic estimation errors and dynamic autoregressive coefficients.

Keywords： realized volatility;dynamic estimation errors;high-frequency data;jump behavior;leverage effect

Modeling and Forecasting Volatility of Chinese Stock Market Based on Dynamic Estimation Errors

SONGYa-qiong1,WANGXin-jun2

(1.Party School of Taian Committee of C.P.C.Taian 271000,China;2.School of Economics,Shandong University,Jinan 250100,China)

F830.91

A

1003-207(2017)09-0019-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.003

2016-05-31；

2016-09-26

教育部人文社科規(guī)劃基金項(xiàng)目(13YJAZH091)

宋亞瓊(1988-)，女(漢族)，山東泰安人，中共泰安市委黨校，講師，經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，研究方向：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型及其應(yīng)用、金融計(jì)量分析,E-mail:songyaqiong1988@126.com.