閆雪梅，董 笑，何 斌

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升降法參數(shù)估計(jì)公式的理論分析與計(jì)算機(jī)模擬

閆雪梅，董 笑，何 斌

（中國華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西華陰，714200）

對升降法的參數(shù)估計(jì)公式進(jìn)行了理論分析推導(dǎo)，得到與原估計(jì)公式不同的一組參數(shù)值，并對其進(jìn)行了分析修正；應(yīng)用Monte Carlo方法進(jìn)行了升降法的大樣本模擬試驗(yàn)，對比了不同樣本量、同一模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)、使用不同參數(shù)值計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差及其相對誤差。結(jié)果表明：升降法參數(shù)估計(jì)公式中的兩個(gè)參數(shù)來源不清，是經(jīng)驗(yàn)性數(shù)據(jù)，經(jīng)分析修正后的參數(shù)值來源清晰，模擬結(jié)果也表明其對標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)精度較高。

升降法；參數(shù)估計(jì)；模擬試驗(yàn)

升降法[1]是Dixon和Mood于1948年提出的，由于該方法給出的參數(shù)估計(jì)公式是通過較長篇幅的理論推導(dǎo)給出的，且極為簡單，應(yīng)用十分方便，因而在國內(nèi)外產(chǎn)生了巨大的反響，被廣泛采用和推廣。1987年、1994年國內(nèi)分別將其列入國家軍用標(biāo)準(zhǔn)及有關(guān)大專院校專業(yè)教材中。然而，經(jīng)過分析研究發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[1]的理論推導(dǎo)不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至存在錯(cuò)誤，所給出的估計(jì)公式是經(jīng)驗(yàn)性的，經(jīng)驗(yàn)性公式必然有一定的局限性，須予以修正[2-3]。本文在分析升降法估計(jì)公式存在問題的同時(shí)，給出了一個(gè)既保持原估計(jì)公式簡單方便，又能克服其不足的修正方法。

1 理論分析

假定感度總體服從正態(tài)分布(,2)，升降法給出和的估計(jì)公式為：

（2）

下面對估計(jì)公式（1）~（2）的來源進(jìn)行理論分析。

試驗(yàn)刺激量水為：

式（3）中：0是初次試驗(yàn)相應(yīng)的刺激量水平。

設(shè)在刺激量水平y下有n次成功和m次失敗。于是，樣本的似然函數(shù)為：

式（4）中：

（5）

依極大似然估計(jì)原理經(jīng)分析推導(dǎo)可得：

（7）

式（7）中：

這一結(jié)果即式（7）與文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果完全吻合，也就是說文獻(xiàn)[1]在這個(gè)結(jié)果的推導(dǎo)上是正確的。指出這一點(diǎn)很重要，因?yàn)樗巧捣ü烙?jì)公式的理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[1]引用了圖1。

圖1 升降法參考資料圖

令

由圖1可求得：

代入式（7）并整理得：

（9）

記

則

（11）

比較式（11）與式（2）可知，1.613系回歸時(shí)計(jì)算誤差，可不予考慮，而0.29則是確實(shí)存在的，故猜想升降法原公式（2）中的0.029可能是筆誤。經(jīng)進(jìn)一步研究，猜測圖1中的縱坐標(biāo)可能包含一個(gè)常數(shù)因子1/2，將這個(gè)常數(shù)因子扣除后得到一對回歸系數(shù)是1.613和0.04，與0.029不一致。這就是升降法理論推導(dǎo)中存在的問題。

2 計(jì)算機(jī)模擬

為驗(yàn)證估計(jì)公式（11）中參數(shù)的實(shí)際取值，針對幾個(gè)參數(shù)值，應(yīng)用計(jì)算機(jī)模擬方法進(jìn)行了模擬驗(yàn)證。

2.1 模擬實(shí)現(xiàn)

根據(jù)升降法試驗(yàn)規(guī)程[4]，計(jì)算機(jī)蒙特卡羅模擬升降法試驗(yàn)需要產(chǎn)生兩種變量序列：臨界刺激量y和試驗(yàn)刺激量y，y是隨機(jī)變量，服從既定概率分布，可隨機(jī)生成，y由操作規(guī)程確定。圖2為模擬試驗(yàn)流程圖。

圖2 升降法模擬試驗(yàn)流程圖

2.2 模擬試驗(yàn)及結(jié)果

不失一般性，在感度總體服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和均值為50、標(biāo)準(zhǔn)差為10的正態(tài)分布條件下分別模擬，即、，模擬次數(shù)為5 000次，每次樣本量分別為20、40、60、80、100。對分布，分別取步長0.5、1.0、1.5，并各自在起始高度-1.0、-0.5、0、0.5、1.0、1.5時(shí)進(jìn)行模擬試驗(yàn)；對分布，分別取步長5、10、15，并各自在起始高度40.0、45.0、50.0、55.0、60.0時(shí)進(jìn)行模擬試驗(yàn)。應(yīng)用公式（1）計(jì)算樣本均值及其與真值的誤差，分別取參數(shù)為 0.29、0.029、0.04時(shí)應(yīng)用公式（11）計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差及其與真值的誤差，注意到，樣本均值估計(jì)公式一致，模擬計(jì)算結(jié)果見表1~2。

表 1 N(0,1)模擬結(jié)果

Tab.1 The simulation results of N(0,1) distribution

表 2 N(50,102)模擬結(jié)果

Tab.2 The simulation results of N(50,102) distribution

由表1~2可以看出：當(dāng)參數(shù)取0.04時(shí)，在相同步長不同起始高度下的相對誤差較小。在相同步長、相同起始高度下，隨著樣本量的增加，參數(shù)取0.029、0.04時(shí)的相對誤差逐漸減小，參數(shù)取0.29時(shí)的相對誤差卻沒有顯示出這一變化規(guī)律。圖3和圖4分別繪出了服從（0,1）分布，不同步長和起始高度時(shí)各參數(shù)的相對誤差曲線。

圖3 N(0,1)分布相對誤差（步長1.5，起始高度0）

圖4 N(0,1)分布相對誤差（步長0.5，起始高度-1.0）

由表1~2及圖4可以看出：在小樣本量情況下，參數(shù)取0.29時(shí)相對誤差較0.029、0.04的小，而圖3~4表明參數(shù)取0.29時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差估值沒能正確反映隨樣本量的變化規(guī)律，因而這一結(jié)果不能說明參數(shù)0.29優(yōu)于0.029、0.04。

圖5 N(50,102)分布相對誤差

當(dāng)參數(shù)取0.029、0.04時(shí)，同步長不同起始高度下的相對誤差差別不大。圖5為服從分布，在相同樣本量和起始高度及不同步長時(shí)各參數(shù)的相對誤差曲線。

3 結(jié)論與建議

（1）理論分析表明，雖然升降法的參數(shù)估計(jì)公式經(jīng)過了長篇幅的理論推導(dǎo)，但對估計(jì)公式兩參數(shù)1.630和0.029來源的推導(dǎo)存在錯(cuò)誤，推導(dǎo)結(jié)果應(yīng)是0.29而不是0.029。（2）模擬分析結(jié)果表明，推導(dǎo)出的0.29其誤差反而更大，而0.029反倒優(yōu)于0.29，由此可知，0.029是作者的經(jīng)驗(yàn)性數(shù)據(jù)，故升降法的參數(shù)估計(jì)公式是經(jīng)驗(yàn)性的。（3）模擬分析表明，參數(shù)0.29估值沒能正確反映估值隨樣本量的變化規(guī)律，參數(shù)0.029和0.04估計(jì)誤差均優(yōu)于0.29，0.04又優(yōu)于0.029，并且0.04來源明確。（4）建議將估計(jì)公式改為：=1.613(’+ 0.04)。

[1] W.J.Dixon and A.M.Mood. A method for obtaining and analyzing sensitivity data[J].Journal of the American Statiscial Assciation, 1948(43):109-126.

[2] 張?zhí)祜w,蔡瑞嬌,董海平,曹建華.升降法試驗(yàn)下標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的Monte Carlo分析[J].火工品,2004(2):43-47.

[3] 嚴(yán)楠,蔡瑞嬌,田煜斌.計(jì)算機(jī)模擬升降法試驗(yàn)的研究[J].爆炸與沖擊,1998(4):358-364.

[4] GJB 377-87 感度試驗(yàn)用升降法[S].北京：國防科學(xué)技術(shù)工業(yè)委員會,1987.

Theoretical Analysis and Computer Simulation on Parameter Estimation Formula of Up-and-Down Method

YAN Xue-mei, DONG Xiao, HE Bin

(China Huayin Ordnance Test Center, Huayin,714200)

In this paper, another parameter estimation formula by theoretical analysis and formula derivation on up-and-down method were obtained, and the parameter estimation formula was also corrected. A large number of simulation experiments on up-and-down method have been done using the Monte Carlo method, as well as the standard deviations and fractional errors of different parameter values with the same simulation test data and different samples were compared. It shows that the source of two parameters in the old parameter estimation formula is unclear, they are empirical parameters, but the source of two parameters in the corrected parameter estimation formula is clear, the result of simulation test using the corrected parameter estimation formula shows that the estimation accuracy of standard deviation is better.

Up-and-down method；Parameter estimation；Simulation test

1003-1480（2017）01-0014-04

TJ450.1

A

2016-08-11

閆雪梅（1968 -），女，高級工程師，主要從事武器裝備試驗(yàn)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用研究。