馬夏夏，蔡永明

(濟南大學商學院，山東 濟南 250002)

基于復雜網絡的鐵路-航空多層網絡的魯棒性研究

馬夏夏，蔡永明*

(濟南大學商學院，山東 濟南 250002)

為提高我國交通系統(tǒng)運行的效率和穩(wěn)定性，本文應用復雜網絡理論，選取中國大陸(不包括港澳臺)的地級市鐵路和航空數據(截至2015年7月)為研究對象，構建了中國鐵路-航空多層網絡。對鐵路-航空多層網絡的拓撲性質和魯棒性進行了研究，選取平均路徑長度和網絡效率兩項指標作為魯棒性評價指標。研究結果表明，鐵路-航空多層及其單層網絡都具有小世界和無標度特性；鐵路-航空多層網絡在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差，而在隨機攻擊方式下的魯棒性較強；不管是在蓄意還是隨機攻擊的方式下，鐵路-航空多層網絡的魯棒性都要優(yōu)于鐵路層、航空層網絡。

鐵路-航空多層網絡；復雜網絡；魯棒性；蓄意攻擊；隨機攻擊

Abstract∶To improve the efficiency and stability of our traffic system operation, this paper applied the complex network theory, selected railway and airline data (as of July 2015) of the prefecture-level cities in China (not including Hong Kong, Macao and Taiwan) as the research object, and constructed the Chinese railway and airline multilayer networks. The topological characteristics and robustness of Chinese railway and airline multilayer networks were studied, and two indexes, such as average path length and network efficiency, were chosen as robustness evaluation indexes. The results include the following points: the railway and airline multilayer and its single-layer networks all have small-world and scale-free characteristics; the robustness of Chinese railway and airline multilayer networks is better under the random attack than under the calculated attack; the robustness of railway and airline multilayer networks is better than its two subnetworks, whether under the calculated attack or under the random attack.

Key words∶railway and airline multilayer networks; complex network; robustness; the calculated attack; the random attack

鐵路和航空系統(tǒng)對我國的經濟發(fā)展起著極其重要的促進作用，隨著這兩大交通系統(tǒng)的不斷發(fā)展，人們對其運營的安全性、穩(wěn)定性和高效性提出了更高的要求。近些年來，國內外對單一的鐵路網絡和航空網絡的研究較多。拓撲特性方面，唐芙蓉等[1]分析了中國鐵路網絡的拓撲結構，結果表明其具有無標度特征的小世界網絡特點；Bagler等[2-3]分別研究并證明了印度航空網絡和意大利航空網絡具有小世界特性。魯棒性和可靠性研究方面，最早對復雜網絡可靠性進行研究的是Albret等[4]，他們使用最大簇S、孤立簇和平均路徑長度L來衡量隨機網絡和無尺度網絡在受到攻擊后的被破壞程度。Holme等[5]使用最大連通子圖和網絡效率來衡量網絡性能，并給出了不同的網絡類型在不同攻擊策略下的網絡結構變化情況。Paul等[6]研究了如何用最大的效率和最小的成本來提高復雜網絡的魯棒性。Sohrabi等[7]對世界上33個城市的地鐵網絡進行了魯棒性研究，并提出了提高其魯棒性的可行性建議。葉婷婷[8]選取網絡的效率作為全國鐵路網絡連通可靠性的衡量指標，分析了全國鐵路網絡在不同攻擊方式下連通可靠性的變化情況。劉剛等[9]分析了鐵路換乘系統(tǒng)的鐵路線路網絡模型和鐵路站點網絡在隨機攻擊和蓄意攻擊下的魯棒性。姜濤等[10-11]在離散有限情景集的基礎上，建立了無容量限制的中國航空網絡魯棒性優(yōu)化模型。曾小舟等[12]建立了網絡抗毀性測度方法，對中國航空網絡進行了抗毀性實證分析。徐鳳等[13]對中國高鐵-民航復合網絡的拓撲性質和魯棒性進行了研究。

由此可見，國內外對單一鐵路網絡和航空網絡拓撲特性、可靠性、魯棒性的研究已非常豐富，但對多種交通系統(tǒng)所構成的多層網絡的研究卻很少，從整體的角度，綜合性地研究交通系統(tǒng)，描述其與子系統(tǒng)之間的關系，能夠為交通系統(tǒng)的研究提供新思路。因此，本文構建了包含鐵路系統(tǒng)和航空系統(tǒng)的多層網絡，研究其拓撲特性與魯棒性，并將多層網絡的魯棒性與鐵路層、航空層網絡的魯棒性進行了比較，這對于探索鐵路系統(tǒng)和航空系統(tǒng)之間是否存在合作空間以及挖掘出鐵路與航空系統(tǒng)的綜合功能具有非常重要的現實意義。

1 鐵路-航空多層網絡的構建及拓撲性質

1.1鐵路、航空單層網絡的構建

單層網絡可以抽象為由點集V(G)和邊集E(G)組成的圖G=(V,E)。如果每一條邊e都有一對與之相對應的點(i,j)，點對(i,j)與(j,i)對應同一條邊，這樣的網絡為無向網絡；如果網絡中的每條邊都沒有權重，則這樣的網絡為無權網絡。本文所構建的單層網絡為無向無權網絡。

為了研究方便，本文在構建鐵路、航空單層網絡時，作了以下幾點假設：

(1)對于鐵路網絡層，以火車站所在的城市作為節(jié)點，任意兩個城市之間只要有同一列火車在這兩個站點?？?，就認為這兩個城市節(jié)點之間有邊相連。

(2)對于航空網絡層，以機場所在的城市作為節(jié)點，任意兩個城市之間只要有同一航班可以到達，即認為兩個城市節(jié)點之間有邊相連。

(3)如果一個城市中同時有兩個或兩個以上的火車站，都認為該城市只有一個火車站節(jié)點；同理，如果一個城市中同時有兩個或兩個以上的機場，也都認為該城市只有一個機場節(jié)點。

(4)如果城市x到城市y有多列火車可以到達，則認為城市x與城市y之間只有一條連邊，不存在重復連接；同理，如果兩個城市之間有多列航班到達，則認為兩個城市之間只有一條邊相連。

(5)一般情況下，如果從x城市乘坐火車或航班到達城市y，那么也能夠從城市y沿相同路線到達城市x。因此，不考慮城市節(jié)點之間的方向問題，將網絡抽象為無向網絡。

(6)不考慮火車及航班的頻次和數量，也不考慮客運量等，即不考慮網絡中的連邊權重問題，將網絡抽象為無權網絡。

本文選取的是中國大陸(不包括港澳臺)的地級市鐵路和航空數據，截至2015年7月。其中，鐵路數據共有58 296條，包括2 949個站點信息；航空數據共有100 235條，包括238個站點信息。由于這些數據中包含大量不相關的信息，因此需要按照構建單層網絡的假設說明對這些數據進行處理。數據經過處理之后，使用R軟件繪制出單層網絡圖，其中，鐵路層網絡包含268個節(jié)點和877條連邊，航空層網絡包含131個節(jié)點和1 439條邊。

1.2鐵路-航空多層網絡的構建

多層網絡可定義為一個三元組，其中，V是非空點集；L是層的集合；E是三元組的集合，x,y∈V，l∈L，x≠y，且對于任意兩個元組和∈E，如果x=x’且y=y’那么l≠l’[14]。在多層網絡中，是指網絡的第l層中的節(jié)點x與節(jié)點y之間有一條邊相連。

將鐵路-航空多層網絡抽象為一個三元組，V、E、L分別代表站點集、線路集和層集，其中層集為鐵路層和航空層。在構建多層網絡時，如果同一個城市同時存在一個火車站和機場，則認為這兩個節(jié)點在鐵路層和航空層之間存在一條連邊。圖1是鐵路-航空多層網絡圖，包含399個節(jié)點和2 435條邊。

圖1 鐵路-航空多層網絡圖Fig.1 Topological diagram of the railway and airline multilayer networks

1.3鐵路-航空多層網絡及單層網絡的拓撲性質

分別計算鐵路-航空多層網絡與單層網絡的主要拓撲統(tǒng)計量，然后分析各網絡的拓撲特性，如表1所示。

表1 鐵路-航空多層網絡與單層網絡的主要統(tǒng)計量和拓撲特性

從表1中可以明顯地看出，鐵路-航空多層網絡與單層網絡都具有無標度特性和小世界特性。其中，無標度特性表明了網絡具備增長性和擇優(yōu)連接的特性，即網絡的規(guī)模會不斷擴大，新加入的城市節(jié)點將傾向于連接網絡中度值較大的城市節(jié)點；小世界特性則表明網絡中雖然含有很多的城市節(jié)點，但要想從一個城市到達另一個城市，需要換乘的次數都是比較少的，鐵路-航空多層網絡需要2次換乘，鐵路層網絡、航空層網絡和鐵路-航空多層網絡需要的換乘次數分別為3次、1次、2次。

從表1中可以看出，航空層網絡的平均度、平均路徑長度和聚類系數均優(yōu)于鐵路層網絡；在鐵路層網絡的基礎上，經過復合形成的多層網絡的節(jié)點平均度增大，平均路徑長度變小。節(jié)點的平均度增大，也就是網絡中邊的數量增加，表明人們有更多的出行路徑可以選擇，有利于緩解網絡壓力。平均路徑長度變小則表明從一個城市到達另一個城市需要換乘的次數變少。

2 鐵路層、航空層網絡的魯棒性研究

2.1網絡魯棒性的涵義及衡量指標

網絡的魯棒性是指當網絡的內部結構發(fā)生變化或遭到外界破壞時，維持其原有功能的能力。對鐵路-航空多層網絡來說，魯棒性指的是當遇到較差的天氣、其他的突發(fā)事件而導致火車或飛機晚點、取消等問題時，即鐵路-航空多層網絡的節(jié)點或邊會發(fā)生變化，還能夠維持其網絡連通性能的能力。

研究單層網絡和多層網絡的魯棒性，可以通過分析網絡在遭到攻擊后其結構指標的關系變化(即被攻擊節(jié)點數或被攻擊節(jié)點比例與平均路徑長度L、網絡效率E的關系變化)來進行。

針對下面兩個衡量指標中涉及到的節(jié)點i與節(jié)點j之間的距離dij定義如下：

當研究的網絡是單層網絡時，dij為連接節(jié)點i與節(jié)點j的最短路徑上的邊數；

當研究的網絡是多層網絡時，分為兩種情況：一是節(jié)點i與節(jié)點j在同一層，dij為連接節(jié)點i與節(jié)點j的最短路徑上的邊數；二是節(jié)點i與節(jié)點j位于不同的層lm和ln時，dij為所有連接到層lm和ln中的節(jié)點以及兩層間節(jié)點的最少邊數[15]。

(1)平均路徑長度L

網絡的平均路徑長度是指任意兩個節(jié)點之間距離的平均值。一般情況下，平均路徑長度越短，網絡的連通性就越好。則網絡的平均路徑長度為：

其中，N為網絡節(jié)點總數。

(2)網絡效率E

圖1所示為基于十字交叉壓縮懸臂梁的變剛度微納測頭，它主要由測球、測桿、中心體、支撐梁、基座、H型柔順機構、位移傳感器及壓電驅動裝置等組成。

網絡效率是衡量網絡整體連通性的一個重要指標，將其定義為所有節(jié)點對之間的效率的平均值。計算公式為：

其中，N為網絡節(jié)點總數，G為網絡節(jié)點的點集，i，j∈G[16]。

理論上來說，網絡癱瘓時，其效率應該為0。但是，在現實中當交通網絡受到一定程度的攻擊時，網絡的效率就會變得很低，此時網絡的整體性能已經變得很差。因此，本文中認為當E≤0.001時，網絡癱瘓。

2.2鐵路層、航空層網絡的魯棒性研究

復雜網絡一般存在兩種攻擊方式，即隨機攻擊和蓄意攻擊。所謂隨機攻擊是指網絡的節(jié)點以某種概率被隨機刪除；而蓄意攻擊又被稱為選擇性攻擊，是指網絡的節(jié)點按照某種策略被刪除，刪除節(jié)點的策略一般是從網絡中度值最大的節(jié)點開始，每次都刪掉網絡中度值最大的節(jié)點。

研究復雜網絡魯棒性的具體方法是計算并分析網絡受到隨機攻擊和蓄意攻擊后平均路徑長度L和網絡效率E的數值變化，同時比較在不同攻擊方式下同一衡量指標的數值變化。

圖2與圖3分別是鐵路層與航空層網絡的魯棒性指標的數值變化圖。由圖2a和圖3a可知，在兩種攻擊方式下，鐵路層與航空層網絡的效率E整體上都呈現出下降的趨勢，但蓄意攻擊方式下E的下降速度較快。由表2 ～5可以看出，鐵路層與航空層網絡在沒有受到攻擊時的效率E分別為0.290 4、0.573 7。隨機攻擊鐵路層網絡80個節(jié)點和航空層網絡40個節(jié)點時，鐵路層與航空層網絡的效率E下降幅度較小，分別為0.242 2與0.514 9；而蓄意攻擊鐵路層網絡80個節(jié)點和航空層網絡40個節(jié)點時，鐵路層與航空層網絡的效率E會迅速下降至0.014 7與0.005 6，網絡性能已變得較低。隨機攻擊鐵路層網絡258個節(jié)點和航空層網絡127個節(jié)點時，鐵路層與航空層網絡的效率E下降為0，網絡已完全癱瘓；而蓄意攻擊鐵路層網絡153個節(jié)點和航空層網絡48個節(jié)點時，就可以使網絡幾乎癱瘓。由此可以看出，在進行蓄意攻擊時，先攻擊度值較大的節(jié)點會使網絡的拓撲結構迅速發(fā)生變化，較快地產生很多孤立節(jié)點，從而導致網絡快速癱瘓；但在進行隨機攻擊時，恰好攻擊到度值較大的節(jié)點的概率較小，只有隨機攻擊很多的節(jié)點才會導致網絡癱瘓。因此，鐵路層與航空層網絡都是在隨機攻擊方式下的魯棒性較強，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

a 兩種攻擊方式下網絡效率的數值變化 b 兩種攻擊方式下平均路徑長度的數值變化圖2 鐵路層網絡的魯棒性指標Fig.2 The robustness indicator for the railway network

a 兩種攻擊方式下網絡效率的數值變化 b 兩種攻擊方式下平均路徑長度的數值變化圖3 航空層網絡的魯棒性指標Fig.3 The robustness indicator for the airline network

由圖2b和圖3b可以看出，在隨機攻擊與蓄意攻擊下，鐵路層與航空層網絡的平均路徑長度L都是先增大，在若干次攻擊之后L又開始減小，且在蓄意攻擊方式下L的增大和減小的速度較快。一般地，平均路徑長度L越小，網絡的性能越好。結合表3和表5，蓄意攻擊鐵路層與航空層網絡的節(jié)點數都小于40個時，其平均路徑長度L都快速增大，網絡的性能變差，但此時網絡中并沒有產生孤立的節(jié)點；當蓄意攻擊鐵路層與航空層網絡的節(jié)點數都超過40個時，其平均路徑長度L都開始急劇下降，但這并不意味著網絡的性能變好，還需要根據網絡的效率來判斷網絡的性能。從上述單層網絡的效率的分析中可以看出，鐵路層與航空層網絡的效率一直都處于下降的狀態(tài)，說明網絡的性能在不斷變差；當蓄意攻擊鐵路層與航空層網絡的節(jié)點數達到153個與48個時，L的值都變?yōu)闊o窮大，此時鐵路層與航空層網絡已經癱瘓。結合表2與表4，在隨機攻擊方式下，平均路徑長度L一直處于較小幅度的上升狀態(tài)，直到攻擊鐵路層與航空層網絡的節(jié)點數達到180個與120個時，L才有明顯的下降趨勢；當攻擊鐵路層與航空層網絡的節(jié)點數為258個與127個時，L的值都變?yōu)闊o窮大，此時鐵路層與航空層網絡才處于癱瘓狀態(tài)。因此，平均路徑長度L的變化也說明了鐵路層網絡在隨機攻擊方式下的魯棒性較強，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

表2 隨機攻擊方式下鐵路層網絡魯棒性指標計算結果

表3 蓄意攻擊方式下鐵路層網絡魯棒性指標計算結果

表4 隨機攻擊方式下航空層網絡魯棒性指標計算結果

表5 蓄意攻擊方式下航空層網絡魯棒性指標計算結果

3 鐵路-航空多層網絡的魯棒性研究

3.1鐵路-航空多層網絡的魯棒性研究

圖4是鐵路-航空多層網絡魯棒性指標的數值變化圖。由圖4a可知，在兩種攻擊方式下，鐵路-航空多層網絡的效率E整體來說都是不斷下降的，但蓄意攻擊方式下E的下降速度較迅速。結合表6和表7可知，鐵路-航空多層網絡的初始效率E為0.343 8。隨機攻擊多層網絡250個節(jié)點時，其效率減小到原來的一半；當隨機攻擊多層網絡390個節(jié)點時，其效率E才減小到0。而在蓄意攻擊方式下，當攻擊多層網絡53個節(jié)點時，其效率E就已減小到原來的一半；當攻擊節(jié)點的個數達到210個時，其效率E為0.001 0，此時多層網絡幾乎癱瘓。因此，鐵路-航空多層網絡也是在隨機攻擊方式下的魯棒性較強，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

由圖4b可以看出，兩種攻擊方式下，鐵路-航空多層網絡的平均路徑長度L都是先增大，在若干次攻擊之后又開始減小。結合表6和表7可以得出，在隨機攻擊方式下，平均路徑長度L一直呈現小幅度的上升趨勢，直至攻擊節(jié)點達到300個時，L才有很明顯的下降趨勢；當攻擊節(jié)點增加至390個時，L的值才變?yōu)闊o窮大，此時鐵路-航空多層網絡癱瘓。而在蓄意攻擊方式下，當攻擊節(jié)點的個數小于100時，L一直處于快速上升的趨勢；當攻擊節(jié)點的個數超過100時，L急劇下降。從上述多層網絡的效率分析中可以看出，網絡效率也一直下降，說明網絡的性能在不斷變差；當攻擊節(jié)點的個數為210時，L的值變?yōu)闊o窮大，此時鐵路-航空多層網絡已經癱瘓。因此，平均路徑長度L的變化也說明了鐵路-航空多層網絡在隨機攻擊方式下的魯棒性較強，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

由以上的分析可知，網絡中度值較大即重要的節(jié)點對于多層網絡與單層網絡的整體連通性起到了極其重要的作用，多層網絡與單層網絡在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差，維持其原有的網絡連通性的能力較弱，而在隨機攻擊方式下的魯棒性較強。結合現實生活中的情況，在隨機攻擊的方式下，假設個別的火車站點或機場受到惡劣天氣的等情況的破壞，幾乎不會影響到多層網絡與單層網絡的整體運輸能力。但是如果大量的火車站點或機場同時遭到破壞，多層網絡與單層網絡的效率才會受到很大的影響。在蓄意攻擊的方式下，假設多層網絡與單層網絡中少數重要的換乘站點被依次破壞，會導致網絡的效率快速下降。

a 兩種攻擊方式下網絡效率的數值變化 b 兩種攻擊方式下平均路徑長度的數值變化圖4 鐵路-航空多層網絡的魯棒性指標Fig.4 The robustness indicatorfor railway and airline multilayer networks

表6 隨機攻擊方式下鐵路-航空多層網絡魯棒性指標計算結果

表7 蓄意攻擊方式下鐵路-航空多層網絡魯棒性指標計算結果

3.2多層網絡的魯棒性與單層網絡的魯棒性的比較

圖5是隨機攻擊方式下鐵路-航空多層網絡與鐵路層網絡、航空層網絡的魯棒性指標變化圖。如圖5a所示，在隨機攻擊的方式下，隨著攻擊節(jié)點數的增多，鐵路-航空多層網絡與鐵路層、航空層網絡的平均路徑長度都是先增大再減小。雖然L的減小也并不能說明網絡的整體連通性變好，而是要根據網絡的效率來說明此時網絡的整體連通性的變化，但是多層網絡平均路徑長度增大和減小的速度是最慢的，這就可以說明多層網絡的魯棒性比鐵路、航空單層網絡的魯棒性要強。

如圖5b所示，鐵路-航空多層網絡與鐵路層網絡、航空層網絡在隨機攻擊方式下，網絡的效率E都是不斷減小直到為0。鐵路層網絡和航空層網絡分別在隨機攻擊了258和127個節(jié)點后，其效率減小至0，此時網絡已經癱瘓；而鐵路-航空多層網絡的初始效率為0.343 7，在隨機攻擊了390個節(jié)點之后，其效率才減小至0，此時多層網絡癱瘓。也就是說，在隨機攻擊方式下，多層網絡的效率下降速度是最慢的，即鐵路-航空多層網絡的魯棒性比鐵路層、航空層網絡的魯棒性強。

a 平均路徑長度 b 網絡效率圖5 隨機攻擊下多層網絡與單層網絡的魯棒性指標變化比較 Fig.5 Comparison of robustness indicator changes between multilayer networks and single layer networks under random attack

圖6是蓄意攻擊方式下鐵路-航空多層網絡與鐵路層網絡、航空層網絡的魯棒性指標變化圖，與上述隨機攻擊方式下分析網絡魯棒性指標的方法一樣，但是在蓄意攻擊方式下，各個網絡的魯棒性指標的變化會相對劇烈。由圖6a可以看出，在蓄意攻擊的方式下，隨著攻擊節(jié)點數的增多，各個網絡的平均路徑長度都是先快速增大再快速減小。同樣地，多層網絡L的增大和減小速度最為緩慢，這就足以說明，在蓄意攻擊方式下，鐵路-航空多層網絡的魯棒性是優(yōu)于鐵路層和航空層網絡的。

由圖6b所示，蓄意攻擊方式下，各個網絡的效率都是隨著攻擊節(jié)點數目的增多而快速減小直至為0，多層網絡效率的下降速度也是最慢的。鐵路層網絡、航空層網絡和鐵路-航空多層網絡在受到蓄意攻擊的節(jié)點數分別達到153、48和210時，其效率分別為0.000 8，0.000 9和0.001 0，此時網絡都已完全癱瘓。因此，在蓄意攻擊方式下，鐵路-航空多層網絡的魯棒性還是比鐵路層、航空層網絡的魯棒性強。

a 平均路徑長度 b 網絡效率圖6 蓄意攻擊下多層網絡與單層網絡的魯棒性指標變化比較Fig.6 Comparison of robustness indicator changes between multilayer networks and single layer networks under calculated attack

4 結論

本文運用復雜網絡的相關理論，選取中國大陸(不包括港澳臺)的地級市鐵路和航空數據(截至2015年7月)為研究對象，分別構建了中國鐵路-航空多層網絡和鐵路層、航空層網絡，研究了其網絡特性與魯棒性，并將其魯棒性進行了比較。結果表明，鐵路-航空多層網絡的魯棒性在隨機攻擊的方式下較強，而在蓄意攻擊方式下較弱，所以要特別重視對重要站點的保護，以提高多層網絡的抗攻擊能力；不論是在隨機攻擊還是蓄意攻擊的方式下，鐵路-航空多層網絡的魯棒性都比鐵路層、航空層網絡的魯棒性強，這說明了加強鐵路系統(tǒng)和航空系統(tǒng)之間的合作可以提高整體交通網絡的魯棒性。

本文構建的多層交通網絡只包含了鐵路、航空兩層的無權無向復雜網絡，后續(xù)的研究可以將公路交通網絡和水運交通網絡都融入到多層交通網絡中，同時可以考慮將客運量、發(fā)車頻次、航空班次等因素轉化為網絡權重，從而研究加權交通網絡。

此外，本文構建的多層網絡是靜態(tài)的復雜網絡，但是復雜網絡并不是一成不變的，而是隨著時間的推移而不斷演化的動態(tài)網絡。對于交通網絡而言，隨著鐵路線路的不斷開通和通航城市的不斷增加，鐵路-航空多層網絡中將會擁有越來越多的節(jié)點，后續(xù)可以研究多層網絡的動態(tài)演化規(guī)律等。

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Study on the robustness of Chinese railway and airline multilayer networks based on complex network theory

MA Xia-xia, CAI Yong-ming*

(School of Management, University of Jinan, Jinan, 250002, China)

TP397

A

1002-4026(2017)05-0070-09

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.05.012

2016-11-23

山東省社會科學規(guī)劃研究項目(14CGLJ03)

馬夏夏(1992—)，女，碩士研究生，研究方向為復雜網絡數據挖掘。E-mail：734042637@qq.com