馬夏夏，蔡永明

(濟(jì)南大學(xué)商學(xué)院，山東 濟(jì)南 250002)

基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究

馬夏夏，蔡永明*

(濟(jì)南大學(xué)商學(xué)院，山東 濟(jì)南 250002)

為提高我國(guó)交通系統(tǒng)運(yùn)行的效率和穩(wěn)定性，本文應(yīng)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，選取中國(guó)大陸(不包括港澳臺(tái))的地級(jí)市鐵路和航空數(shù)據(jù)(截至2015年7月)為研究對(duì)象，構(gòu)建了中國(guó)鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)。對(duì)鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)和魯棒性進(jìn)行了研究，選取平均路徑長(zhǎng)度和網(wǎng)絡(luò)效率兩項(xiàng)指標(biāo)作為魯棒性評(píng)價(jià)指標(biāo)。研究結(jié)果表明，鐵路-航空多層及其單層網(wǎng)絡(luò)都具有小世界和無(wú)標(biāo)度特性；鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差，而在隨機(jī)攻擊方式下的魯棒性較強(qiáng)；不管是在蓄意還是隨機(jī)攻擊的方式下，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性都要優(yōu)于鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)。

鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；魯棒性；蓄意攻擊；隨機(jī)攻擊

Abstract∶To improve the efficiency and stability of our traffic system operation, this paper applied the complex network theory, selected railway and airline data (as of July 2015) of the prefecture-level cities in China (not including Hong Kong, Macao and Taiwan) as the research object, and constructed the Chinese railway and airline multilayer networks. The topological characteristics and robustness of Chinese railway and airline multilayer networks were studied, and two indexes, such as average path length and network efficiency, were chosen as robustness evaluation indexes. The results include the following points: the railway and airline multilayer and its single-layer networks all have small-world and scale-free characteristics; the robustness of Chinese railway and airline multilayer networks is better under the random attack than under the calculated attack; the robustness of railway and airline multilayer networks is better than its two subnetworks, whether under the calculated attack or under the random attack.

Key words∶railway and airline multilayer networks; complex network; robustness; the calculated attack; the random attack

鐵路和航空系統(tǒng)對(duì)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著極其重要的促進(jìn)作用，隨著這兩大交通系統(tǒng)的不斷發(fā)展，人們對(duì)其運(yùn)營(yíng)的安全性、穩(wěn)定性和高效性提出了更高的要求。近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)單一的鐵路網(wǎng)絡(luò)和航空網(wǎng)絡(luò)的研究較多。拓?fù)涮匦苑矫?，唐芙蓉等[1]分析了中國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，結(jié)果表明其具有無(wú)標(biāo)度特征的小世界網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)；Bagler等[2-3]分別研究并證明了印度航空網(wǎng)絡(luò)和意大利航空網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。魯棒性和可靠性研究方面，最早對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可靠性進(jìn)行研究的是Albret等[4]，他們使用最大簇S、孤立簇和平均路徑長(zhǎng)度L來(lái)衡量隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊后的被破壞程度。Holme等[5]使用最大連通子圖和網(wǎng)絡(luò)效率來(lái)衡量網(wǎng)絡(luò)性能，并給出了不同的網(wǎng)絡(luò)類(lèi)型在不同攻擊策略下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化情況。Paul等[6]研究了如何用最大的效率和最小的成本來(lái)提高復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。Sohrabi等[7]對(duì)世界上33個(gè)城市的地鐵網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了魯棒性研究，并提出了提高其魯棒性的可行性建議。葉婷婷[8]選取網(wǎng)絡(luò)的效率作為全國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò)連通可靠性的衡量指標(biāo)，分析了全國(guó)鐵路網(wǎng)絡(luò)在不同攻擊方式下連通可靠性的變化情況。劉剛等[9]分析了鐵路換乘系統(tǒng)的鐵路線(xiàn)路網(wǎng)絡(luò)模型和鐵路站點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊下的魯棒性。姜濤等[10-11]在離散有限情景集的基礎(chǔ)上，建立了無(wú)容量限制的中國(guó)航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性?xún)?yōu)化模型。曾小舟等[12]建立了網(wǎng)絡(luò)抗毀性測(cè)度方法，對(duì)中國(guó)航空網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了抗毀性實(shí)證分析。徐鳳等[13]對(duì)中國(guó)高鐵-民航復(fù)合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)和魯棒性進(jìn)行了研究。

由此可見(jiàn)，國(guó)內(nèi)外對(duì)單一鐵路網(wǎng)絡(luò)和航空網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涮匦浴⒖煽啃?、魯棒性的研究已非常豐富，但對(duì)多種交通系統(tǒng)所構(gòu)成的多層網(wǎng)絡(luò)的研究卻很少，從整體的角度，綜合性地研究交通系統(tǒng)，描述其與子系統(tǒng)之間的關(guān)系，能夠?yàn)榻煌ㄏ到y(tǒng)的研究提供新思路。因此，本文構(gòu)建了包含鐵路系統(tǒng)和航空系統(tǒng)的多層網(wǎng)絡(luò)，研究其拓?fù)涮匦耘c魯棒性，并將多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性進(jìn)行了比較，這對(duì)于探索鐵路系統(tǒng)和航空系統(tǒng)之間是否存在合作空間以及挖掘出鐵路與航空系統(tǒng)的綜合功能具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建及拓?fù)湫再|(zhì)

1.1鐵路、航空單層網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

單層網(wǎng)絡(luò)可以抽象為由點(diǎn)集V(G)和邊集E(G)組成的圖G=(V,E)。如果每一條邊e都有一對(duì)與之相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(i,j)，點(diǎn)對(duì)(i,j)與(j,i)對(duì)應(yīng)同一條邊，這樣的網(wǎng)絡(luò)為無(wú)向網(wǎng)絡(luò)；如果網(wǎng)絡(luò)中的每條邊都沒(méi)有權(quán)重，則這樣的網(wǎng)絡(luò)為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)。本文所構(gòu)建的單層網(wǎng)絡(luò)為無(wú)向無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

為了研究方便，本文在構(gòu)建鐵路、航空單層網(wǎng)絡(luò)時(shí)，作了以下幾點(diǎn)假設(shè)：

(1)對(duì)于鐵路網(wǎng)絡(luò)層，以火車(chē)站所在的城市作為節(jié)點(diǎn)，任意兩個(gè)城市之間只要有同一列火車(chē)在這兩個(gè)站點(diǎn)?？?，就認(rèn)為這兩個(gè)城市節(jié)點(diǎn)之間有邊相連。

(2)對(duì)于航空網(wǎng)絡(luò)層，以機(jī)場(chǎng)所在的城市作為節(jié)點(diǎn)，任意兩個(gè)城市之間只要有同一航班可以到達(dá)，即認(rèn)為兩個(gè)城市節(jié)點(diǎn)之間有邊相連。

(3)如果一個(gè)城市中同時(shí)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的火車(chē)站，都認(rèn)為該城市只有一個(gè)火車(chē)站節(jié)點(diǎn)；同理，如果一個(gè)城市中同時(shí)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的機(jī)場(chǎng)，也都認(rèn)為該城市只有一個(gè)機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)。

(4)如果城市x到城市y有多列火車(chē)可以到達(dá)，則認(rèn)為城市x與城市y之間只有一條連邊，不存在重復(fù)連接；同理，如果兩個(gè)城市之間有多列航班到達(dá)，則認(rèn)為兩個(gè)城市之間只有一條邊相連。

(5)一般情況下，如果從x城市乘坐火車(chē)或航班到達(dá)城市y，那么也能夠從城市y沿相同路線(xiàn)到達(dá)城市x。因此，不考慮城市節(jié)點(diǎn)之間的方向問(wèn)題，將網(wǎng)絡(luò)抽象為無(wú)向網(wǎng)絡(luò)。

(6)不考慮火車(chē)及航班的頻次和數(shù)量，也不考慮客運(yùn)量等，即不考慮網(wǎng)絡(luò)中的連邊權(quán)重問(wèn)題，將網(wǎng)絡(luò)抽象為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

本文選取的是中國(guó)大陸(不包括港澳臺(tái))的地級(jí)市鐵路和航空數(shù)據(jù)，截至2015年7月。其中，鐵路數(shù)據(jù)共有58 296條，包括2 949個(gè)站點(diǎn)信息；航空數(shù)據(jù)共有100 235條，包括238個(gè)站點(diǎn)信息。由于這些數(shù)據(jù)中包含大量不相關(guān)的信息，因此需要按照構(gòu)建單層網(wǎng)絡(luò)的假設(shè)說(shuō)明對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理之后，使用R軟件繪制出單層網(wǎng)絡(luò)圖，其中，鐵路層網(wǎng)絡(luò)包含268個(gè)節(jié)點(diǎn)和877條連邊，航空層網(wǎng)絡(luò)包含131個(gè)節(jié)點(diǎn)和1 439條邊。

1.2鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

多層網(wǎng)絡(luò)可定義為一個(gè)三元組，其中，V是非空點(diǎn)集；L是層的集合；E是三元組的集合，x,y∈V，l∈L，x≠y，且對(duì)于任意兩個(gè)元組和∈E，如果x=x’且y=y’那么l≠l’[14]。在多層網(wǎng)絡(luò)中，是指網(wǎng)絡(luò)的第l層中的節(jié)點(diǎn)x與節(jié)點(diǎn)y之間有一條邊相連。

將鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)抽象為一個(gè)三元組，V、E、L分別代表站點(diǎn)集、線(xiàn)路集和層集，其中層集為鐵路層和航空層。在構(gòu)建多層網(wǎng)絡(luò)時(shí)，如果同一個(gè)城市同時(shí)存在一個(gè)火車(chē)站和機(jī)場(chǎng)，則認(rèn)為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在鐵路層和航空層之間存在一條連邊。圖1是鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)圖，包含399個(gè)節(jié)點(diǎn)和2 435條邊。

圖1 鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Topological diagram of the railway and airline multilayer networks

1.3鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)及單層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)

分別計(jì)算鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的主要拓?fù)浣y(tǒng)計(jì)量，然后分析各網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦?，如?所示。

表1 鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的主要統(tǒng)計(jì)量和拓?fù)涮匦?/p>

從表1中可以明顯地看出，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)都具有無(wú)標(biāo)度特性和小世界特性。其中，無(wú)標(biāo)度特性表明了網(wǎng)絡(luò)具備增長(zhǎng)性和擇優(yōu)連接的特性，即網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模會(huì)不斷擴(kuò)大，新加入的城市節(jié)點(diǎn)將傾向于連接網(wǎng)絡(luò)中度值較大的城市節(jié)點(diǎn)；小世界特性則表明網(wǎng)絡(luò)中雖然含有很多的城市節(jié)點(diǎn)，但要想從一個(gè)城市到達(dá)另一個(gè)城市，需要換乘的次數(shù)都是比較少的，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)需要2次換乘，鐵路層網(wǎng)絡(luò)、航空層網(wǎng)絡(luò)和鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)需要的換乘次數(shù)分別為3次、1次、2次。

從表1中可以看出，航空層網(wǎng)絡(luò)的平均度、平均路徑長(zhǎng)度和聚類(lèi)系數(shù)均優(yōu)于鐵路層網(wǎng)絡(luò)；在鐵路層網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)復(fù)合形成的多層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)平均度增大，平均路徑長(zhǎng)度變小。節(jié)點(diǎn)的平均度增大，也就是網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)量增加，表明人們有更多的出行路徑可以選擇，有利于緩解網(wǎng)絡(luò)壓力。平均路徑長(zhǎng)度變小則表明從一個(gè)城市到達(dá)另一個(gè)城市需要換乘的次數(shù)變少。

2 鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究

2.1網(wǎng)絡(luò)魯棒性的涵義及衡量指標(biāo)

網(wǎng)絡(luò)的魯棒性是指當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變化或遭到外界破壞時(shí)，維持其原有功能的能力。對(duì)鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，魯棒性指的是當(dāng)遇到較差的天氣、其他的突發(fā)事件而導(dǎo)致火車(chē)或飛機(jī)晚點(diǎn)、取消等問(wèn)題時(shí)，即鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)或邊會(huì)發(fā)生變化，還能夠維持其網(wǎng)絡(luò)連通性能的能力。

研究單層網(wǎng)絡(luò)和多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，可以通過(guò)分析網(wǎng)絡(luò)在遭到攻擊后其結(jié)構(gòu)指標(biāo)的關(guān)系變化(即被攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)或被攻擊節(jié)點(diǎn)比例與平均路徑長(zhǎng)度L、網(wǎng)絡(luò)效率E的關(guān)系變化)來(lái)進(jìn)行。

針對(duì)下面兩個(gè)衡量指標(biāo)中涉及到的節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間的距離dij定義如下：

當(dāng)研究的網(wǎng)絡(luò)是單層網(wǎng)絡(luò)時(shí)，dij為連接節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j的最短路徑上的邊數(shù)；

當(dāng)研究的網(wǎng)絡(luò)是多層網(wǎng)絡(luò)時(shí)，分為兩種情況：一是節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j在同一層，dij為連接節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j的最短路徑上的邊數(shù)；二是節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j位于不同的層lm和ln時(shí)，dij為所有連接到層lm和ln中的節(jié)點(diǎn)以及兩層間節(jié)點(diǎn)的最少邊數(shù)[15]。

(1)平均路徑長(zhǎng)度L

網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度是指任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間距離的平均值。一般情況下，平均路徑長(zhǎng)度越短，網(wǎng)絡(luò)的連通性就越好。則網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度為：

其中，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

(2)網(wǎng)絡(luò)效率E

圖1所示為基于十字交叉壓縮懸臂梁的變剛度微納測(cè)頭，它主要由測(cè)球、測(cè)桿、中心體、支撐梁、基座、H型柔順機(jī)構(gòu)、位移傳感器及壓電驅(qū)動(dòng)裝置等組成。

網(wǎng)絡(luò)效率是衡量網(wǎng)絡(luò)整體連通性的一個(gè)重要指標(biāo)，將其定義為所有節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的效率的平均值。計(jì)算公式為：

其中，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)，G為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的點(diǎn)集，i，j∈G[16]。

理論上來(lái)說(shuō)，網(wǎng)絡(luò)癱瘓時(shí)，其效率應(yīng)該為0。但是，在現(xiàn)實(shí)中當(dāng)交通網(wǎng)絡(luò)受到一定程度的攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的效率就會(huì)變得很低，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的整體性能已經(jīng)變得很差。因此，本文中認(rèn)為當(dāng)E≤0.001時(shí)，網(wǎng)絡(luò)癱瘓。

2.2鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一般存在兩種攻擊方式，即隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊。所謂隨機(jī)攻擊是指網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)以某種概率被隨機(jī)刪除；而蓄意攻擊又被稱(chēng)為選擇性攻擊，是指網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)按照某種策略被刪除，刪除節(jié)點(diǎn)的策略一般是從網(wǎng)絡(luò)中度值最大的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，每次都刪掉網(wǎng)絡(luò)中度值最大的節(jié)點(diǎn)。

研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性的具體方法是計(jì)算并分析網(wǎng)絡(luò)受到隨機(jī)攻擊和蓄意攻擊后平均路徑長(zhǎng)度L和網(wǎng)絡(luò)效率E的數(shù)值變化，同時(shí)比較在不同攻擊方式下同一衡量指標(biāo)的數(shù)值變化。

圖2與圖3分別是鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)的數(shù)值變化圖。由圖2a和圖3a可知，在兩種攻擊方式下，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的效率E整體上都呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，但蓄意攻擊方式下E的下降速度較快。由表2 ～5可以看出，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)在沒(méi)有受到攻擊時(shí)的效率E分別為0.290 4、0.573 7。隨機(jī)攻擊鐵路層網(wǎng)絡(luò)80個(gè)節(jié)點(diǎn)和航空層網(wǎng)絡(luò)40個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的效率E下降幅度較小，分別為0.242 2與0.514 9；而蓄意攻擊鐵路層網(wǎng)絡(luò)80個(gè)節(jié)點(diǎn)和航空層網(wǎng)絡(luò)40個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的效率E會(huì)迅速下降至0.014 7與0.005 6，網(wǎng)絡(luò)性能已變得較低。隨機(jī)攻擊鐵路層網(wǎng)絡(luò)258個(gè)節(jié)點(diǎn)和航空層網(wǎng)絡(luò)127個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的效率E下降為0，網(wǎng)絡(luò)已完全癱瘓；而蓄意攻擊鐵路層網(wǎng)絡(luò)153個(gè)節(jié)點(diǎn)和航空層網(wǎng)絡(luò)48個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，就可以使網(wǎng)絡(luò)幾乎癱瘓。由此可以看出，在進(jìn)行蓄意攻擊時(shí)，先攻擊度值較大的節(jié)點(diǎn)會(huì)使網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)迅速發(fā)生變化，較快地產(chǎn)生很多孤立節(jié)點(diǎn)，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)快速癱瘓；但在進(jìn)行隨機(jī)攻擊時(shí)，恰好攻擊到度值較大的節(jié)點(diǎn)的概率較小，只有隨機(jī)攻擊很多的節(jié)點(diǎn)才會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)癱瘓。因此，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)都是在隨機(jī)攻擊方式下的魯棒性較強(qiáng)，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

a 兩種攻擊方式下網(wǎng)絡(luò)效率的數(shù)值變化 b 兩種攻擊方式下平均路徑長(zhǎng)度的數(shù)值變化圖2 鐵路層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)Fig.2 The robustness indicator for the railway network

a 兩種攻擊方式下網(wǎng)絡(luò)效率的數(shù)值變化 b 兩種攻擊方式下平均路徑長(zhǎng)度的數(shù)值變化圖3 航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)Fig.3 The robustness indicator for the airline network

由圖2b和圖3b可以看出，在隨機(jī)攻擊與蓄意攻擊下，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度L都是先增大，在若干次攻擊之后L又開(kāi)始減小，且在蓄意攻擊方式下L的增大和減小的速度較快。一般地，平均路徑長(zhǎng)度L越小，網(wǎng)絡(luò)的性能越好。結(jié)合表3和表5，蓄意攻擊鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)都小于40個(gè)時(shí)，其平均路徑長(zhǎng)度L都快速增大，網(wǎng)絡(luò)的性能變差，但此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中并沒(méi)有產(chǎn)生孤立的節(jié)點(diǎn)；當(dāng)蓄意攻擊鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)都超過(guò)40個(gè)時(shí)，其平均路徑長(zhǎng)度L都開(kāi)始急劇下降，但這并不意味著網(wǎng)絡(luò)的性能變好，還需要根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的效率來(lái)判斷網(wǎng)絡(luò)的性能。從上述單層網(wǎng)絡(luò)的效率的分析中可以看出，鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的效率一直都處于下降的狀態(tài)，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)的性能在不斷變差；當(dāng)蓄意攻擊鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到153個(gè)與48個(gè)時(shí)，L的值都變?yōu)闊o(wú)窮大，此時(shí)鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)癱瘓。結(jié)合表2與表4，在隨機(jī)攻擊方式下，平均路徑長(zhǎng)度L一直處于較小幅度的上升狀態(tài)，直到攻擊鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到180個(gè)與120個(gè)時(shí)，L才有明顯的下降趨勢(shì)；當(dāng)攻擊鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為258個(gè)與127個(gè)時(shí)，L的值都變?yōu)闊o(wú)窮大，此時(shí)鐵路層與航空層網(wǎng)絡(luò)才處于癱瘓狀態(tài)。因此，平均路徑長(zhǎng)度L的變化也說(shuō)明了鐵路層網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊方式下的魯棒性較強(qiáng)，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

表2 隨機(jī)攻擊方式下鐵路層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表3 蓄意攻擊方式下鐵路層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表4 隨機(jī)攻擊方式下航空層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表5 蓄意攻擊方式下航空層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

3 鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究

3.1鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究

圖4是鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)的數(shù)值變化圖。由圖4a可知，在兩種攻擊方式下，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的效率E整體來(lái)說(shuō)都是不斷下降的，但蓄意攻擊方式下E的下降速度較迅速。結(jié)合表6和表7可知，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的初始效率E為0.343 8。隨機(jī)攻擊多層網(wǎng)絡(luò)250個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，其效率減小到原來(lái)的一半；當(dāng)隨機(jī)攻擊多層網(wǎng)絡(luò)390個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，其效率E才減小到0。而在蓄意攻擊方式下，當(dāng)攻擊多層網(wǎng)絡(luò)53個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，其效率E就已減小到原來(lái)的一半；當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)達(dá)到210個(gè)時(shí)，其效率E為0.001 0，此時(shí)多層網(wǎng)絡(luò)幾乎癱瘓。因此，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)也是在隨機(jī)攻擊方式下的魯棒性較強(qiáng)，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

由圖4b可以看出，兩種攻擊方式下，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度L都是先增大，在若干次攻擊之后又開(kāi)始減小。結(jié)合表6和表7可以得出，在隨機(jī)攻擊方式下，平均路徑長(zhǎng)度L一直呈現(xiàn)小幅度的上升趨勢(shì)，直至攻擊節(jié)點(diǎn)達(dá)到300個(gè)時(shí)，L才有很明顯的下降趨勢(shì)；當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)增加至390個(gè)時(shí)，L的值才變?yōu)闊o(wú)窮大，此時(shí)鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)癱瘓。而在蓄意攻擊方式下，當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)小于100時(shí)，L一直處于快速上升的趨勢(shì)；當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)超過(guò)100時(shí)，L急劇下降。從上述多層網(wǎng)絡(luò)的效率分析中可以看出，網(wǎng)絡(luò)效率也一直下降，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)的性能在不斷變差；當(dāng)攻擊節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為210時(shí)，L的值變?yōu)闊o(wú)窮大，此時(shí)鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)癱瘓。因此，平均路徑長(zhǎng)度L的變化也說(shuō)明了鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊方式下的魯棒性較強(qiáng)，而在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差。

由以上的分析可知，網(wǎng)絡(luò)中度值較大即重要的節(jié)點(diǎn)對(duì)于多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的整體連通性起到了極其重要的作用，多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊方式下的魯棒性較差，維持其原有的網(wǎng)絡(luò)連通性的能力較弱，而在隨機(jī)攻擊方式下的魯棒性較強(qiáng)。結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的情況，在隨機(jī)攻擊的方式下，假設(shè)個(gè)別的火車(chē)站點(diǎn)或機(jī)場(chǎng)受到惡劣天氣的等情況的破壞，幾乎不會(huì)影響到多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的整體運(yùn)輸能力。但是如果大量的火車(chē)站點(diǎn)或機(jī)場(chǎng)同時(shí)遭到破壞，多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的效率才會(huì)受到很大的影響。在蓄意攻擊的方式下，假設(shè)多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)中少數(shù)重要的換乘站點(diǎn)被依次破壞，會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的效率快速下降。

a 兩種攻擊方式下網(wǎng)絡(luò)效率的數(shù)值變化 b 兩種攻擊方式下平均路徑長(zhǎng)度的數(shù)值變化圖4 鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)Fig.4 The robustness indicatorfor railway and airline multilayer networks

表6 隨機(jī)攻擊方式下鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表7 蓄意攻擊方式下鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

3.2多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性與單層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性的比較

圖5是隨機(jī)攻擊方式下鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與鐵路層網(wǎng)絡(luò)、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)變化圖。如圖5a所示，在隨機(jī)攻擊的方式下，隨著攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度都是先增大再減小。雖然L的減小也并不能說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)的整體連通性變好，而是要根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的效率來(lái)說(shuō)明此時(shí)網(wǎng)絡(luò)的整體連通性的變化，但是多層網(wǎng)絡(luò)平均路徑長(zhǎng)度增大和減小的速度是最慢的，這就可以說(shuō)明多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性比鐵路、航空單層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性要強(qiáng)。

如圖5b所示，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與鐵路層網(wǎng)絡(luò)、航空層網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊方式下，網(wǎng)絡(luò)的效率E都是不斷減小直到為0。鐵路層網(wǎng)絡(luò)和航空層網(wǎng)絡(luò)分別在隨機(jī)攻擊了258和127個(gè)節(jié)點(diǎn)后，其效率減小至0，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)癱瘓；而鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的初始效率為0.343 7，在隨機(jī)攻擊了390個(gè)節(jié)點(diǎn)之后，其效率才減小至0，此時(shí)多層網(wǎng)絡(luò)癱瘓。也就是說(shuō)，在隨機(jī)攻擊方式下，多層網(wǎng)絡(luò)的效率下降速度是最慢的，即鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性比鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性強(qiáng)。

a 平均路徑長(zhǎng)度 b 網(wǎng)絡(luò)效率圖5 隨機(jī)攻擊下多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)變化比較 Fig.5 Comparison of robustness indicator changes between multilayer networks and single layer networks under random attack

圖6是蓄意攻擊方式下鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)與鐵路層網(wǎng)絡(luò)、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)變化圖，與上述隨機(jī)攻擊方式下分析網(wǎng)絡(luò)魯棒性指標(biāo)的方法一樣，但是在蓄意攻擊方式下，各個(gè)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)的變化會(huì)相對(duì)劇烈。由圖6a可以看出，在蓄意攻擊的方式下，隨著攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，各個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度都是先快速增大再快速減小。同樣地，多層網(wǎng)絡(luò)L的增大和減小速度最為緩慢，這就足以說(shuō)明，在蓄意攻擊方式下，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性是優(yōu)于鐵路層和航空層網(wǎng)絡(luò)的。

由圖6b所示，蓄意攻擊方式下，各個(gè)網(wǎng)絡(luò)的效率都是隨著攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增多而快速減小直至為0，多層網(wǎng)絡(luò)效率的下降速度也是最慢的。鐵路層網(wǎng)絡(luò)、航空層網(wǎng)絡(luò)和鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)在受到蓄意攻擊的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別達(dá)到153、48和210時(shí)，其效率分別為0.000 8，0.000 9和0.001 0，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)都已完全癱瘓。因此，在蓄意攻擊方式下，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性還是比鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性強(qiáng)。

a 平均路徑長(zhǎng)度 b 網(wǎng)絡(luò)效率圖6 蓄意攻擊下多層網(wǎng)絡(luò)與單層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性指標(biāo)變化比較Fig.6 Comparison of robustness indicator changes between multilayer networks and single layer networks under calculated attack

4 結(jié)論

本文運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)理論，選取中國(guó)大陸(不包括港澳臺(tái))的地級(jí)市鐵路和航空數(shù)據(jù)(截至2015年7月)為研究對(duì)象，分別構(gòu)建了中國(guó)鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)和鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)，研究了其網(wǎng)絡(luò)特性與魯棒性，并將其魯棒性進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性在隨機(jī)攻擊的方式下較強(qiáng)，而在蓄意攻擊方式下較弱，所以要特別重視對(duì)重要站點(diǎn)的保護(hù)，以提高多層網(wǎng)絡(luò)的抗攻擊能力；不論是在隨機(jī)攻擊還是蓄意攻擊的方式下，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性都比鐵路層、航空層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性強(qiáng)，這說(shuō)明了加強(qiáng)鐵路系統(tǒng)和航空系統(tǒng)之間的合作可以提高整體交通網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

本文構(gòu)建的多層交通網(wǎng)絡(luò)只包含了鐵路、航空兩層的無(wú)權(quán)無(wú)向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，后續(xù)的研究可以將公路交通網(wǎng)絡(luò)和水運(yùn)交通網(wǎng)絡(luò)都融入到多層交通網(wǎng)絡(luò)中，同時(shí)可以考慮將客運(yùn)量、發(fā)車(chē)頻次、航空班次等因素轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，從而研究加權(quán)交通網(wǎng)絡(luò)。

此外，本文構(gòu)建的多層網(wǎng)絡(luò)是靜態(tài)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，但是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)并不是一成不變的，而是隨著時(shí)間的推移而不斷演化的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于交通網(wǎng)絡(luò)而言，隨著鐵路線(xiàn)路的不斷開(kāi)通和通航城市的不斷增加，鐵路-航空多層網(wǎng)絡(luò)中將會(huì)擁有越來(lái)越多的節(jié)點(diǎn)，后續(xù)可以研究多層網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律等。

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Study on the robustness of Chinese railway and airline multilayer networks based on complex network theory

MA Xia-xia, CAI Yong-ming*

(School of Management, University of Jinan, Jinan, 250002, China)

TP397

A

1002-4026(2017)05-0070-09

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.05.012

2016-11-23

山東省社會(huì)科學(xué)規(guī)劃研究項(xiàng)目(14CGLJ03)

馬夏夏(1992—)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)挖掘。E-mail：734042637@qq.com