盧建萍, 史潔茹，郝博

(1.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾 041000；2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610065)

逆瑞利分布的有效估計

盧建萍1, 史潔茹2，郝博1*

(1.山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 山西 臨汾 041000；2.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610065)

推導(dǎo)逆瑞利分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)的MLE和UMVUE, 并給出估計量r階矩的精確表達式。對估計量的均方誤差和變異系數(shù)做漸進展開, 在大樣本下給出逆瑞利分布有效估計的判斷條件。

逆瑞利分布； 密度函數(shù)； 分布函數(shù)；MLE; UMVUE

Abstract∶The MLE and UMVUE of the density function and distribution function were derived for the inverse Rayleigh distribution, and the explicit expressions of the r-th moment of these estimators were given. The mean square error and variation coefficient of the estimators were asymptotically expanded. Finally, the judgement for the effective estimation of the inverse Rayleigh distribution was given in the large sample.

Key words∶inverse Rayleigh distribution; density function; distribution function; MLE; UMVUE

逆瑞利分布[1-2]和指數(shù)分布[3]、瑞利分布[4]等類似, 都是壽命測試中的重要分布。 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為θ的逆瑞利分布,則其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

F(x)=exp(-θx-2),

f(x)=2θx-3exp(-θx-2),

其中x>0,θ>0。 目前, 對逆瑞利分布研究主要集中在未知參數(shù)θ和可靠性函數(shù)G(x)=1-F(x) 的估計問題。 但在對可靠性研究中, 較少有文獻給出估計量r階矩的精確表達式，對分布函數(shù)和密度函數(shù)的估計研究具有重要的理論和應(yīng)用價值[5-7]。 本文首先給出逆瑞利分布分布函數(shù)和密度函數(shù)的極大似然估計(maximum likelihood estimation，MLE)和一致最小方差無偏估計(uniform minimum variance unbiased estimator, UMVUE), 再推導(dǎo)估計量r階矩的精確表達式, 進而推導(dǎo)估計量均方誤差和變異系數(shù)的漸進表達式, 最后比較兩種估計量的優(yōu)劣性。

1 MLE和UMVUE

定理1 設(shè)隨機變量序列{Xi},i=1,…,n服從參數(shù)為θ的逆瑞利分布, 則其分布函數(shù)F(x)的MLE和UMVUE分別為:

證畢。

類似可推出定理2。

定理2 設(shè)隨機變量序列{Xi},i=1,…,n服從參數(shù)為θ的逆瑞利分布, 則其密度函數(shù)f(x)的MLE和UMVUE分別為

2 r階矩

r階矩作為分布的特征數(shù),有著重要應(yīng)用。 諸如數(shù)學(xué)期望、方差、均方誤差、變異系數(shù)、偏度系數(shù)、峰度系數(shù)等, 皆與r階矩有著直接關(guān)系。 故很有必要給出估計量r階矩的精確表達式。

定理3 設(shè)θ,x>0且n>r≥1(n∈+), 則

證明

U(a,b,c)=c1-bU(1+a-b,2-b,c)。

類似可推出定理4。

定理4 設(shè)θ,x>0且n>r≥1(n∈+), 則

3 均方收斂性

引理1 對任意固定的y>0,a≥0, 若υ→+∞, 則

其中

a0(a,y)=1,a1(a,y)=y2/2-(a+1)y+(6a2+1)/12,

引理2 對任意固定的z>0,a>0, 若n→+∞, 則

其中

b0(a,z)=1,b1(a,z)=z2+2(1-a)z+(8a2-20a+17)/8,

注1 引理1和引理2可由拉普拉斯定理[8]得到,證明略。

定理5 當(dāng)n→∞時

(1)

(2)

其中，z=θx-2>0。

證明由均方誤差定義可得

(3)

(4)

而由Stirling公式[9-10]得

(5)

把(3), (4), (5)代入均方誤差表達式化簡即得(1)。 (2)可類似證明。

定理6 當(dāng)n→∞時

其中z=θx-2>0。

其證明過程與定理5的證明相似。

4 變異系數(shù)

下面給出另外一個衡量估計量優(yōu)劣的指標——變異系數(shù)。 其證明過程與證明均方誤差的過程極為相似, 此處僅給出結(jié)論。

定理7 當(dāng)n→∞時

定理8 當(dāng)n→∞時

5 有效估計

在大樣本下, 從均方誤差的角度考慮, 由定理5，6我們可以給出判斷有效估計量的條件:

例1 設(shè)定參數(shù)θ=2.8,n=40 ,0

圖1 密度函數(shù)和分布函數(shù)在不同估計下的均方誤差比較Fig.1 The mean square error comparison of density function and distribution function under different Estimators

在大樣本下, 從變異系數(shù)角度考慮, 由定理7,8我們同樣可以給出估計量波動程度的條件:

在小樣本下,雖然不能得到一些簡單的條件去判斷哪個估計優(yōu)越,但是定理3和定理4中給出的r階矩的表達式可以在常用的數(shù)學(xué)軟件上直接計算,因此,計算估計量的均方誤差和變異系數(shù)也不會有實質(zhì)性的困難。

[1]FEROZE N， ASLAM M. On posterior analysis of inverse Rayleigh distribution under singly and doubly type II censored data[J]. International Journal of Probability and Statistics, 2012, 1(5)： 145-152.

[2]ROSAIAH K， KANTAM R R L. Acceptance sampling based on the inverse Rayleigh distribution[J]. Economic Quality Control, 2005, 20(2): 277-286.

[3]BROWN M. Estimation of an exponential distribution[J]. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 1997, 11(3): 341-359.

[4]LIN J G. Parameter estimations of Rayleigh distribution[J]. Chinese Quart J Math, 2000, 15(4): 49-54.

[5]PATIL G P，WANI J K. Minimum variance unbiased estimation of the distribution function admitting a suffcient statistic[J].Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 1966, 18(1)： 39-47.

[6]SEHEULT A H，QUESENBERRY C P. On unbiased estimation of density functions[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1971 , 42(4)： 1434-1438.

[7]徐傳勝. 圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社. 2016： 183-195.

[8]成平，陳希孺，陳桂景，等. 參數(shù)估計[M]. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社. 1985： 88-95.

[9]OLVER F W J, LOZIER D W, BOISVERT R F,et al. NIST handbook of mathematical functions[M]. New York，US : Cambridge University Press, 2010.

[10]NEMES G. On the coeffcients of the asymptotic expansion of n![J]. Journal of Integer Sequences, 2010, 13(6):1-5.

An efficient estimation of the inverse Rayleigh distribution

LU Jian-ping1，SHI Jie-ru2, HAO Bo1*

(1. School of Mathematics &Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041000, China; 2. School of Mathematics, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

O212.1

A

1002-4026(2017)05-0086-05

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.05.014

2016-06-20

山西省自然科學(xué)基金 (2013011002-1)

盧建萍(1986—), 女,碩士, 研究方向為統(tǒng)計推斷、參數(shù)估計。

*通信作者，郝博。E-mail：fobfge@126.com