朱建平

(蘇州大學(xué) 政治與公共管理學(xué)院， 江蘇 蘇州 215123)

主持人語：

邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向

朱建平

(蘇州大學(xué) 政治與公共管理學(xué)院， 江蘇 蘇州 215123)

19世紀(jì)中期是邏輯發(fā)展史上的一個(gè)重要時(shí)期。在這一時(shí)期出現(xiàn)的邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向使這門古典學(xué)術(shù)脫胎換骨，最終發(fā)展成為一門嚴(yán)格的形式化的學(xué)科，它的典范是在數(shù)學(xué)中使用的精確證明的方法?，F(xiàn)代所謂的“符號(hào)”或“數(shù)理”邏輯在這段時(shí)間的發(fā)展是兩千年邏輯史上最重要的，也可以說是人類理智史上最重要和最非凡的事件。

邏輯；數(shù)學(xué)；邏輯史

Abstract: The mid-19th century is a critical period in the development history of logic. The mathematical turn of logic appeared in this period thoroughly remold this old academic subject, which finally become a strict formal discipline. An example of it is using accurate methods of proof in mathematics. What now we called “symbol” or “ mathematical” logic gained a great development in this period. The development could be the most important and remarkable event in the history of the human intellect development.

Keywords: logic; mathematics; logic history

一、引言

邏輯的一個(gè)突出特征是在它的歷史的每一轉(zhuǎn)折點(diǎn)上，總有一些舊觀念從歷史舞臺(tái)中退出，而一些新思想和技術(shù)則登上舞臺(tái)。所有時(shí)代的邏輯思想家都拒絕將他們前輩思想作為無可置疑的真理接受，他們寧可通過自己的思考而為邏輯的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。發(fā)生于19世紀(jì)以亞里士多德邏輯概念和方法被現(xiàn)代符號(hào)邏輯所取代為標(biāo)志的邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向，就是這樣一場深刻的知識(shí)革命。每一位開拓者都為這場革命貢獻(xiàn)了現(xiàn)在已成為標(biāo)準(zhǔn)形式的非凡思想、關(guān)鍵性概念和新穎的技術(shù)組件。萊布尼茲的“普遍語言”和“推理演算”為整個(gè)現(xiàn)代邏輯提供了靈感。德摩根、布爾、施羅德開辟了邏輯轉(zhuǎn)向的代數(shù)方向，并為新邏輯的誕生鋪平了道路；弗雷格、皮爾斯、皮亞諾開辟了邏輯轉(zhuǎn)向的演算方向?，F(xiàn)代邏輯的標(biāo)準(zhǔn)形式——命題和一階謂詞邏輯在他們那里形成。但是，他們的思想被整合為融語義學(xué)與句法學(xué)于一體、強(qiáng)調(diào)它們之間互動(dòng)關(guān)系的框架——一個(gè)在其中元邏輯問題能夠被提出和回答的框架——卻花費(fèi)了接近一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間。如果我們從布爾1847年《邏輯的數(shù)學(xué)分析》的出版到海丁1947年博士論文的發(fā)表——該論文通過引入常數(shù)方法，進(jìn)而將哥德爾的完全性定理擴(kuò)展到被任意基數(shù)語言所闡述的理論——這恰好是一百年的時(shí)間。至此，現(xiàn)代邏輯的理論體系最終完成，邏輯也實(shí)現(xiàn)了向數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)向。

二、舊邏輯的衰亡和現(xiàn)代邏輯的興起

亞里士多德的邏輯是一個(gè)巨大的成就。亞里士多德的《前分析篇》是兩千年來邏輯研究的基礎(chǔ)。三段論是第一個(gè)成功的推理演算系統(tǒng)，也是亞里士多德最完善的邏輯。《前分析篇》的完美證明幾乎就是三段論邏輯完全性(在現(xiàn)代意義上的)的完美演示。他是模態(tài)邏輯的創(chuàng)立者，他甚至對(duì)命題邏輯的研究也有貢獻(xiàn)。特別值得關(guān)注的是，亞里士多德的邏輯不僅是公理化的，甚至還包括了一個(gè)簡單的自然演繹系統(tǒng)。三段論邏輯在古代末期就確立起權(quán)威地位，并一直持續(xù)到中世紀(jì)、文藝復(fù)興和近代。即便是在現(xiàn)代邏輯高度發(fā)達(dá)的今天，許多西方邏輯教科書仍為傳統(tǒng)邏輯留有一席之地。

與此同時(shí)，歷史上對(duì)亞里士多德邏輯——尤其是對(duì)他的三段論理論的批評(píng)一直沒有停止。麥加拉-斯多葛的命題邏輯、中世紀(jì)邏輯學(xué)家的指代、預(yù)設(shè)理論用一種不同于三段論的方式表達(dá)了對(duì)亞里士多德邏輯的異議；文藝復(fù)興思想家們對(duì)三段論的權(quán)威性提出挑戰(zhàn)，笛卡爾、波爾·羅亞爾、洛克、萊布尼茲、康德和黑格爾都從各自的哲學(xué)立場出發(fā)對(duì)亞里士多德邏輯的時(shí)代合法性提出質(zhì)疑。但在現(xiàn)代邏輯的曙光出現(xiàn)以前，亞里士多德的邏輯盡管經(jīng)歷了西方世界理智觀的深刻變遷和嚴(yán)酷的批判性考察，仍為人們提供著一個(gè)可以用不同的洞察力重新解釋或補(bǔ)充，卻沒有人能夠超越或替代的復(fù)雜的系統(tǒng)框架。

所有這一切在19世紀(jì)都結(jié)束了。伴隨著文藝復(fù)興時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展，出現(xiàn)了改革邏輯的強(qiáng)烈呼聲，而隨著以英德美為代表的代數(shù)邏輯和邏輯演算的日臻成熟，新邏輯裝備精良、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)日益被人們所認(rèn)識(shí)，于是對(duì)傳統(tǒng)邏輯的取代可謂理由充分，水到渠成，無可置疑。

以下，我們從邏輯的角度對(duì)這一取代的合理性做一分析。我們假定成為邏輯的兩個(gè)基本條件是：

(1)存在著一種能夠由一種語言轉(zhuǎn)換為另一種語言的語言結(jié)構(gòu)，特別是該語言結(jié)構(gòu)有一種將對(duì)象語言(如英語)翻譯為標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)語言的操作程序；

(2)承載真值的表達(dá)式其結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換后是真值保持的。

從表面上看，三段論邏輯似乎也滿足這兩個(gè)條件。但是，① 它的系統(tǒng)是演繹的，但卻不是一個(gè)形式符號(hào)系統(tǒng)，它對(duì)變項(xiàng)的使用十分有限，因而在抽象程度上遠(yuǎn)未達(dá)到現(xiàn)代符號(hào)邏輯的標(biāo)準(zhǔn)。② 三段論邏輯的基本結(jié)構(gòu)是主謂式，而且它只承認(rèn)一位謂詞。在三段論中沒有像“y 在x和z之間，因而y在z和x之間”這樣的表達(dá)關(guān)系的句式和推理模式。其結(jié)果，盡管亞里士多德和歐幾里得可能有相同的證明思想，但亞里士多德的邏輯仍無法分析在他那個(gè)時(shí)代已知的自然數(shù)不等式和幾何學(xué)中相當(dāng)簡單的推理。邏輯與數(shù)學(xué)的脫節(jié)不能不說是三段論邏輯的一個(gè)嚴(yán)重缺陷。這也就是為什么三段論遲遲未能被解釋為類邏輯的原因。③ 缺乏嵌套量詞，三段論無法表達(dá)重疊量化句，三段論中的量詞形同虛設(shè)(“所有人是動(dòng)物”能表達(dá)為條件句“是人蘊(yùn)涵是動(dòng)物”，“有些人是魔鬼”能表達(dá)為合取的否定“是人而不是魔鬼”的否定)。④ 亞里士多德未能發(fā)展出系統(tǒng)的命題邏輯。從這種意義上說，他的邏輯是不完整的。⑤ 三段論的后承概念是模態(tài)性質(zhì)的，與當(dāng)代模型論后承概念相比顯得過于僵硬和狹隘，三段論有效性是經(jīng)典有效性，因而不滿足自返性和單調(diào)性，也無法充分解釋當(dāng)代經(jīng)典和非經(jīng)典后承概念的多樣性發(fā)展。這表明亞里士多德的邏輯在滿足上述兩個(gè)基本原則上都存在著問題。

有許多特征可用于區(qū)別現(xiàn)代邏輯和亞里士多德的邏輯或傳統(tǒng)邏輯。最重要的有以下幾個(gè)方面：

(1)現(xiàn)代邏輯基本上是一個(gè)演算系統(tǒng)，如同在數(shù)學(xué)中所做的那樣，它的運(yùn)算規(guī)則僅僅決定于所使用的符號(hào)的形狀而與符號(hào)的內(nèi)容無關(guān)。許多邏輯學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)取得的成果印象深刻，他們認(rèn)為關(guān)于任何適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)果不存在曠日持久的爭論。C.S.皮爾斯注意到，即便是在評(píng)價(jià)定積分時(shí)，由于拉普拉斯的錯(cuò)誤，而導(dǎo)致對(duì)月球繞軌道運(yùn)行方面的錯(cuò)誤持續(xù)近50年；然而，錯(cuò)誤一旦被認(rèn)識(shí)，迅即就被糾正，沒有產(chǎn)生任何嚴(yán)重的爭論。皮爾斯將這一點(diǎn)與圍繞著傳統(tǒng)邏輯的爭論和不確定性，特別是與形而上學(xué)中的推理進(jìn)行了比較。他的結(jié)論是真正“精確”的邏輯依賴于數(shù)學(xué)。遵循這些方法的人將免于出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)榧幢阌绣e(cuò)誤也會(huì)迅速被糾正。

(2)現(xiàn)代邏輯是借助于定義和推理進(jìn)行的邏輯建構(gòu)，是一種構(gòu)造性活動(dòng)，而不只是純粹抽象性的。例如，它不僅僅是從普通語言(或者從關(guān)于有效性的心理學(xué)直覺)開始，經(jīng)過層層抽象而形成符號(hào)語言，它還需通過建構(gòu)而形成一個(gè)演繹系統(tǒng)，尤其需要通過形式的方法建構(gòu)形式系統(tǒng)?，F(xiàn)代邏輯嚴(yán)格區(qū)別了句法與語義，區(qū)別了初始符號(hào)和被定義的符號(hào)，區(qū)別了公理和定理，區(qū)別了元語言和對(duì)象語言，甚至區(qū)別了表達(dá)式的“提述”和“使用”，這些區(qū)別決定了現(xiàn)代邏輯具有構(gòu)造性和層次性特征。它也從普通語言中尋找一種解釋。它的形式是符號(hào)的，即便是邏輯常項(xiàng)(中世紀(jì)邏輯學(xué)家稱之為非范疇詞)和范疇詞項(xiàng)都在符號(hào)中被表達(dá)。

(3)最后，現(xiàn)代邏輯嚴(yán)格地避免了心理學(xué)、認(rèn)識(shí)論和形而上學(xué)方面的問題。

三、邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向的四大群體

邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向至少是由4種不同但又相互聯(lián)系的思想家群體合力促成的。這些邏輯發(fā)展的不同傳統(tǒng)各自貢獻(xiàn)的基本概念和希望達(dá)到的最終目標(biāo)雖然不盡相同，但也許正是這種混合交錯(cuò)的力量，使現(xiàn)代邏輯成為最強(qiáng)大、最具生命力和最具可應(yīng)用性的邏輯。

(一)傳統(tǒng)邏輯群體的邏輯代數(shù)方向

推動(dòng)邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向最早出現(xiàn)的群體，我們稱之為傳統(tǒng)邏輯學(xué)家[1]，因?yàn)樗麄兊闹饕繕?biāo)是用數(shù)學(xué)的方法刻畫有效論證。所謂論證可以理解為是由前提和結(jié)論組成的語句序列。一個(gè)論證是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)它的前提蘊(yùn)涵它的結(jié)論。換句話說，它不可能前提為真而結(jié)論為假。古代和中世紀(jì)邏輯學(xué)家只考察了有效論證模式的很少一部分。亞里士多德的三段論只給出了24種有效論證模式，而其中他承認(rèn)的只有19種。古代邏輯和現(xiàn)代邏輯的分水嶺出現(xiàn)在1847年。在這一年，喬治·布爾在他的《數(shù)學(xué)的邏輯分析》一書中構(gòu)造了一個(gè)能夠產(chǎn)生具有任意復(fù)雜性和無窮多數(shù)目有效論證的演算系統(tǒng)[1]。屬于這一傳統(tǒng)的邏輯學(xué)家還包括德摩根、施羅德、皮爾斯、杰文斯和文恩。其中，德摩根首創(chuàng)了關(guān)系邏輯，布爾在邏輯計(jì)算上取得了實(shí)質(zhì)性的成果，皮爾斯和施羅德發(fā)展了嵌套量詞的理論。

邏輯代數(shù)并不是指一種特定類型的邏輯，而是處理邏輯的一種方式。在邏輯代數(shù)中概念和關(guān)系被用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)——例如“所有的A是B”表達(dá)為A=AB。這里數(shù)學(xué)主要指的是代數(shù)，即是關(guān)于某些集合的有窮運(yùn)算的數(shù)學(xué)部分。代數(shù)邏輯利用了邏輯詞項(xiàng)的運(yùn)算與數(shù)的代數(shù)運(yùn)算之間的類比，將正確推理規(guī)則處理為代數(shù)中的加和乘這類運(yùn)算，并從某些相關(guān)的運(yùn)算開始，清楚地闡明一共同的抽象結(jié)構(gòu)，進(jìn)而給出滿足每一系統(tǒng)的公理集合。例如，布爾對(duì)邏輯問題的處理包括：將邏輯數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)姆匠淌?、?yīng)用代數(shù)的技術(shù)解決這些方程式、轉(zhuǎn)換這些結(jié)果到原初的語言中這樣3個(gè)環(huán)節(jié)。邏輯問題的符號(hào)公式的表述和邏輯方程式的解決構(gòu)成了布爾代數(shù)的特征。

邏輯的代數(shù)處理在邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向中具有重要的意義。數(shù)字符號(hào)和它們的性質(zhì)與邏輯符號(hào)和它們的性質(zhì)之間的聯(lián)系在16世紀(jì)之前幾乎是無法想象的。一般數(shù)的字母的使用，以及關(guān)于數(shù)的運(yùn)算符號(hào)的系統(tǒng)使用是16至17世紀(jì)發(fā)展的結(jié)果。盡管亞里士多德的三段論理論使用了字母符號(hào)，一般詞項(xiàng)用變元表示，但沒有詞項(xiàng)組合的概念，因而沒有詞項(xiàng)運(yùn)算的概念。邏輯代數(shù)學(xué)家還明確闡明了一種現(xiàn)代邏輯哲學(xué)觀。布爾認(rèn)為代數(shù)是一種形式結(jié)構(gòu)，推理在這一結(jié)構(gòu)中被嚴(yán)格地闡述。邏輯應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)的分支，而不是哲學(xué)的一部分。這就將方法論、修辭學(xué)和認(rèn)識(shí)論從邏輯中分離出去，在一定程度上與那個(gè)時(shí)代占統(tǒng)治地位的邏輯心理主義的解釋劃清了界限。隨著施羅德對(duì)布爾類邏輯的批評(píng)性分析和對(duì)邏輯乘和邏輯加之間的二元性分析，邏輯代數(shù)的發(fā)展達(dá)到了頂點(diǎn)。邏輯更進(jìn)一步的發(fā)展并不是沿著邏輯代數(shù)的方向進(jìn)行的。從這種意義上說，邏輯代數(shù)已經(jīng)完成了邏輯在數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向中的歷史使命。

(二)證明論群體的數(shù)理邏輯方向

第二個(gè)組群屬于證明論(也稱數(shù)理邏輯)傳統(tǒng)，他們的主要目標(biāo)是將所有理性科學(xué)話語內(nèi)的基本邏輯編纂為一個(gè)單一的系統(tǒng)。他們認(rèn)為邏輯不是基于對(duì)特定的學(xué)科和語境進(jìn)行抽象而形成的話語系統(tǒng)，而是涉及所有實(shí)際精確話語，但與表達(dá)內(nèi)容無關(guān)的一種具有形式特征的最普遍、最一般的知識(shí)。這一群體的成員包括弗雷格、皮亞諾、希爾伯特、羅素、前期懷特海、希爾波朗和艮岑。弗雷格發(fā)展了具有數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的豐富形式語言。他使用了二維符號(hào)，但這并不影響他對(duì)諸如高階性質(zhì)的表達(dá)。弗雷格的目的是系統(tǒng)化數(shù)學(xué)推理，保證數(shù)學(xué)推理的所有假設(shè)都清晰無誤，所有的推理步驟都嚴(yán)格精確。顯然，這一目標(biāo)是認(rèn)識(shí)論的，是人類理性的基本要求，即避免矛盾、保持一致性。而希爾伯特的目標(biāo)是使數(shù)學(xué)推理本身成為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，以便更好地論證無窮概念的合法性，這是一種新的數(shù)學(xué)研究方法。這一群體為現(xiàn)代邏輯設(shè)計(jì)了一套完整的符號(hào)和一階邏輯的證明論。最早的一階邏輯演算系統(tǒng)出現(xiàn)在弗雷格1879年的《概念文字》中[2]，該書是第一部系統(tǒng)討論量詞的著作。

邏輯的代數(shù)傳統(tǒng)和證明論(或數(shù)理邏輯)傳統(tǒng)的典型區(qū)別體現(xiàn)為：

(1)代數(shù)邏輯強(qiáng)調(diào)的是法則，而數(shù)理邏輯強(qiáng)調(diào)的是公理。

(2)在數(shù)理邏輯，特別是在羅素邏輯主義形式中，邏輯被認(rèn)為包括了所有的數(shù)學(xué)，而代數(shù)邏輯只認(rèn)為邏輯與代數(shù)有某種聯(lián)系。

(4)在涉及量化式的解釋時(shí)，在全稱和存在的情況下解釋為無窮合取和無窮析取，這是與無窮乘和加的代數(shù)的類比，是典型的代數(shù)傳統(tǒng)。在數(shù)理邏輯中處理的問題比起在代數(shù)邏輯中的那些處理更加復(fù)雜。

(5)數(shù)理邏輯的傳統(tǒng)并不預(yù)設(shè)各種不同的論域，其中的每一個(gè)論域可以作為語言的一種解釋；相反，每一變元(一階)可涉及任何對(duì)象。而代數(shù)傳統(tǒng)一般假定的是由“數(shù)”組成的論域。

(6)代數(shù)傳統(tǒng)的邏輯靈感來自于代數(shù)，而數(shù)理邏輯傳統(tǒng)的靈感主要來自數(shù)學(xué)分析。受后者的影響，弗雷格給出了形式系統(tǒng)的精確定義，數(shù)學(xué)證明“通過精確闡明的語法規(guī)則給出”，他還引入了命題演算的真值函項(xiàng)解釋。最重要的是，他將命題分析為函項(xiàng)和論元，而不是主詞和謂詞，并且給出了數(shù)學(xué)序列概念的邏輯定義。

在此，有兩個(gè)問題需要進(jìn)一步澄清：

第一個(gè)問題是關(guān)于兩個(gè)傳統(tǒng)劃分的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)代評(píng)論家認(rèn)為，實(shí)際推動(dòng)邏輯轉(zhuǎn)向的動(dòng)力來自于兩個(gè)彼此平行但在某些方面又彼此獨(dú)立的傳統(tǒng)的相互作用。朱德因(B.Jourdain)按照萊布尼茲普遍語言和推理演算之間的區(qū)別刻畫了這些發(fā)展。在他看來，符號(hào)邏輯推理演算的一面是由布爾、德摩根、杰文斯、文恩、皮爾斯、施羅德、富蘭克林和其他人發(fā)展起來的；普遍語言的一面是由弗雷格、皮亞諾和羅素發(fā)展起來的。當(dāng)然，這兩個(gè)領(lǐng)域之間沒有一個(gè)硬性和不變的界限。因而，皮爾斯和施羅德早期開始的關(guān)系演算的算術(shù)基礎(chǔ)的研究，并不能被看作是僅僅作為代數(shù)分支的邏輯演算的研究。進(jìn)而，皮亞諾雖特別關(guān)注他的符號(hào)的演算的一面，但也不能由此將其劃分為第一種傳統(tǒng)。弗雷格認(rèn)為他自己的符號(hào)系統(tǒng)既是一個(gè)推理演算的系統(tǒng)，同時(shí)也是一個(gè)普遍語言的系統(tǒng)。可見兩個(gè)傳統(tǒng)的劃分只是相對(duì)的。

辛迪卡擴(kuò)展了萊布尼茲關(guān)于語言和語言與世界關(guān)系的兩個(gè)相對(duì)概念的區(qū)別：作為普遍媒介的語言和語言的模型論的兩種觀點(diǎn)，并按照這一標(biāo)準(zhǔn)將弗雷格刻畫為前一種立場的代表，皮爾斯和施羅德以及他們的追隨者被認(rèn)為是模型論立場的代表。依據(jù)普遍語言的概念，語言的解釋是預(yù)先被給出或者確定的。例如，在弗雷格的系統(tǒng)中約束個(gè)體變元的量詞被看作是涉及所有的對(duì)象，而不僅僅是某些被選的隨著語境的變化而變化的“話域”中的對(duì)象。羅素?cái)嘌浴斑壿嬇c真實(shí)世界有關(guān)，就像動(dòng)物學(xué)與真實(shí)世界有關(guān)是一樣的，盡管它更加一般和更加的抽象”同樣表達(dá)了這一觀點(diǎn)。另一方面，按照模型論或者演算的傳統(tǒng)，語言的解釋是可變的。個(gè)體詞項(xiàng)和變元涉及“話域”，該論域無需有任何獨(dú)立的本體論的輸入。話域只由語言使用者在某一確定語境中作為談?wù)搶?duì)象的東西組成。按照這一劃分，皮爾斯的大部分工作，例如早期布爾代數(shù)和關(guān)系邏輯很顯然應(yīng)劃歸邏輯演算的傳統(tǒng)。這一點(diǎn)對(duì)他的后期著作也同樣成立。

第二個(gè)問題涉及兩個(gè)傳統(tǒng)在推動(dòng)邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向中的地位及相互關(guān)系。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯代數(shù)不適合于新的研究目標(biāo)，即整個(gè)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)。但是，按照戈德法布(Goldfarb)的看法，19世紀(jì)邏輯的現(xiàn)代觀點(diǎn)是由代數(shù)和數(shù)理邏輯兩種傳統(tǒng)組合編輯而成的。安德里克(Andreka)也認(rèn)為代數(shù)邏輯的現(xiàn)代描述表明，在布爾創(chuàng)立的邏輯代數(shù)和當(dāng)代邏輯代數(shù)之間存在著概念連續(xù)性。他認(rèn)為代數(shù)邏輯能夠被劃分為兩個(gè)主要部分：① 主要處理與邏輯有關(guān)的代數(shù)問題，它的方法基本是代數(shù)的；② 處理和研究建構(gòu)代數(shù)社會(huì)和邏輯社會(huì)之間的橋梁，屬于“代數(shù)社會(huì)”。通過①將它們轉(zhuǎn)換為代數(shù)(代數(shù)化的程序)并解決代數(shù)問題，通過②將解題結(jié)果返還到邏輯。

不可否認(rèn)的是，以布爾為代表的代數(shù)傳統(tǒng)在皮亞諾和羅素的數(shù)理邏輯傳統(tǒng)面前顯得黯然失色。但從歷史上看，數(shù)理邏輯來臨之前邏輯代數(shù)已經(jīng)完成了一種意義深刻、影響深遠(yuǎn)的文化變革。大約1850年前后，邏輯一直被視為是哲學(xué)而不是數(shù)學(xué)的一部分。到19世紀(jì)末，邏輯開始受到這兩個(gè)學(xué)科的共同關(guān)注。布爾所代表的這種文化上的變化是毫無疑問的。的確，在表達(dá)力和表達(dá)范圍方面，布爾邏輯系統(tǒng)遠(yuǎn)遜色于弗雷格系統(tǒng)，甚至在表達(dá)的嚴(yán)格性方面與亞里士多德的《前分析篇》也無法相比。但是，這一事實(shí)并不能掩蓋我們對(duì)另一種真相的理解，而后者在這里是更重要的，即：布爾的亞里士多德語句形式的代數(shù)表達(dá)，與他的三段論推理的代數(shù)說明的結(jié)合，是數(shù)學(xué)的一部分。換一種說法，他表明了整個(gè)的演繹邏輯是完全對(duì)數(shù)學(xué)處理開放的。從這一觀點(diǎn)看，布爾的歷史地位應(yīng)當(dāng)給予充分肯定。

如果說第一種和第二種傳統(tǒng)開辟了邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向，并賦予了它實(shí)質(zhì)性內(nèi)容，那么第三種傳統(tǒng)則使邏輯完全匯入到數(shù)學(xué)學(xué)科中，使它真正成為數(shù)學(xué)的一部分。

(三)模型論群體的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方向

第三種傳統(tǒng)可上溯到歐幾里得。這一群體的成員稱為模型論學(xué)家，他們是從這些結(jié)構(gòu)所服從的法則的觀點(diǎn)來研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的，其成員包括戴德金、皮亞諾、希爾伯特、帕斯卡、魏步倫、哈密爾頓、海丁、策梅洛。他們對(duì)算術(shù)、幾何、集合論和分析等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支進(jìn)行了公理化處理。例如，策梅洛在1908年對(duì)集合論進(jìn)行了公理化處理，現(xiàn)在被稱為策梅洛-富蘭克林集合論的是由斯克倫、富蘭克林和馮諾依曼等人修正和澄清的。與歐幾里得不同，這一學(xué)派的一些成員(如希爾伯特和他的追隨者)認(rèn)為，重要的是在公理化發(fā)展中清晰地闡述推理規(guī)則，這是形式主義哲學(xué)的一部分。而海丁則認(rèn)為，重要的是對(duì)所形成的直覺主義邏輯和直覺主義數(shù)學(xué)進(jìn)行的公理化形式處理，而這種處理的目的是將這種形式與他們重新修正的直覺主義邏輯相對(duì)照，并最終強(qiáng)調(diào)后者相對(duì)于前者的重要性。

將語言和公理化本身作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，標(biāo)志著一個(gè)至關(guān)重要的發(fā)展階段的開始。受非歐幾何學(xué)出現(xiàn)的啟發(fā)，模型論傳統(tǒng)的思想家們開始考慮他們的語言的不同解釋問題；與此同時(shí)，他們也開始考慮他們的系統(tǒng)的一致性、完全性、范疇性和獨(dú)立性等元邏輯問題。波蘭學(xué)派和希爾伯特形式主義數(shù)學(xué)學(xué)派發(fā)展了元數(shù)學(xué)研究的綱領(lǐng)，在他們的努力下，關(guān)于一致性和可推演性等句法學(xué)和證明的概念與可滿足性和邏輯后承等語義學(xué)或模型論概念，被仔細(xì)地區(qū)別開來，這是一種重要的區(qū)別，是邏輯研究的一大進(jìn)步。

元數(shù)學(xué)與數(shù)理邏輯的觀點(diǎn)是不同的。數(shù)理邏輯的傳統(tǒng)認(rèn)為，邏輯系統(tǒng)是一個(gè)被解釋的形式語言系統(tǒng)，其中的語言就其適用于各門學(xué)科和任何題材而言，是完全一般和普遍的。數(shù)理邏輯傳統(tǒng)的學(xué)者一直將邏輯定位于“作為語言的邏輯”，而元數(shù)學(xué)和代數(shù)傳統(tǒng)的學(xué)者則持守“作為演算的邏輯”概念。但兩個(gè)學(xué)派之間還是產(chǎn)生了一些有意義的互動(dòng)，其結(jié)果就形成當(dāng)代邏輯的主流觀點(diǎn)，即邏輯既是一種語言又是一種演算。

元數(shù)學(xué)問題的研究高潮是以哥德爾的成就為標(biāo)志的，哥德爾也因此成為與亞里士多德和弗雷格相提并論的偉大邏輯學(xué)家。哥德爾在1925年的博士論文中，表明給定的一階語句在通常的邏輯演繹系統(tǒng)中是可判定的，當(dāng)且僅當(dāng)它在被所有的解釋所滿足的意義上是真的。這就是眾所周知的哥德爾不完全性定理。一年以后，他證明對(duì)于一個(gè)充分豐富的算術(shù)形式的系統(tǒng)存在著一個(gè)既不可證同時(shí)又不可反證的定理。這被稱為哥德爾第二定理，統(tǒng)稱哥德爾定理。

我們現(xiàn)在所理解的現(xiàn)代邏輯(即一階邏輯)就是建立在1915至1935年間對(duì)這一群體研究的基礎(chǔ)上的。這里的進(jìn)步既是概念上的也是技術(shù)上的。邏輯史學(xué)家從這里似乎能感受得到歷史前進(jìn)的脈動(dòng)，而日益增強(qiáng)的精確性是這一變化的重要的一部分。

(四)計(jì)算機(jī)和語言學(xué)的傳統(tǒng)

第四種群體是由計(jì)算機(jī)學(xué)家和語言學(xué)家組成的，他們分別基于各自不同目的而認(rèn)識(shí)到一階邏輯對(duì)他們的目標(biāo)的價(jià)值。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，一方面，人們對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)工作者需要研究邏輯已經(jīng)形成共識(shí)，針對(duì)這一群體的一系列邏輯教科書大量涌入市場；但另一方面，對(duì)許多計(jì)算機(jī)科學(xué)應(yīng)用而言，邏輯主要是作為一種訓(xùn)練，一階邏輯本身并不是他們所選擇的邏輯。簡單地說，人工智能社會(huì)對(duì)邏輯有著迫切而廣泛的需求，但是他們更偏好于模態(tài)的或內(nèi)涵性的邏輯?？偟膩碚f，他們需要一種能夠定義函數(shù)的規(guī)約性語言的邏輯，這使得他們合并了某些高階邏輯的特征。通常情況下，計(jì)算機(jī)學(xué)家所關(guān)心的結(jié)構(gòu)是有限的，對(duì)于有窮結(jié)構(gòu)的劃分而言，一階邏輯似乎并不是他們最好的邏輯。

計(jì)算機(jī)科學(xué)家為一階邏輯的發(fā)展提出了許多好的建議。例如，關(guān)于如何研究一種證明。從哲學(xué)上看，這并不是一個(gè)新的問題，從亞里士多德到萊布尼茲都研究過這一問題。它的真正新穎之處在于：將證明視為一種在形式演算中研究所有可能(證明)的一種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析。這種類型的研究很自然地出現(xiàn)在自動(dòng)定理證明中。羅伯特·科瓦爾斯基(R.Kowalski)提出人們能夠?qū)⒛承┮浑A邏輯語句解讀為研究證明的指令[3]。程序語言的標(biāo)準(zhǔn)解釋就是建立在他的思想基礎(chǔ)之上的。另一個(gè)是形式證明的成本問題。按照所需要假定的時(shí)間數(shù)量以及每次被使用的假定的時(shí)間數(shù)量，研究人員已經(jīng)建構(gòu)起一個(gè)初步的一階邏輯系統(tǒng)，這一系統(tǒng)的建立解決了人們對(duì)形式證明的成本的控制問題(詳見Jean-Yves Girard關(guān)于鄰里邏輯[4]，以及Dosen and Schroeder-Heister關(guān)于次結(jié)構(gòu)邏輯的論文[5])。

該群體的另外組成部分是以當(dāng)代形式語義學(xué)派為代表的語言學(xué)家。在20世紀(jì)50—60年代喬姆斯基的自然語言的句法學(xué)革命之后，許多語言學(xué)家將關(guān)注的重點(diǎn)從句法學(xué)轉(zhuǎn)到語義學(xué)。人們假定在一種自然語言中句子的意義是從它的成分語詞的意義中，按照一種反映句法的語法結(jié)構(gòu)的方式建構(gòu)起來的，語言學(xué)家的任務(wù)就在于描述這種意義的結(jié)構(gòu)。人們從羅素的命題理論和20世紀(jì)早期英國哲學(xué)家的“邏輯形式”中看到這一解釋的開端。但是，早期研究的目標(biāo)經(jīng)常表述得不夠清晰。大約1970年前后，生成語義學(xué)中分析自然語言語句時(shí)，使用了來自一階邏輯中的裝置。他們的一些分析看上去非常像是現(xiàn)代邏輯學(xué)家為分析論證而采用的那種符號(hào)表征的方法。蒙太格使用邏輯的工具對(duì)某些英語的句法學(xué)和語義學(xué)片段給出了極為精確的分析，從而開辟了一條極富成效的研究路線[6]。例如，語言學(xué)家道蒂(Dowty)談到，為了引入蒙太格語法，語法學(xué)家增加了許多來自蒙太格技術(shù)的自然語言語義學(xué)研究，這些技術(shù)已經(jīng)超出了一階邏輯。從此之后，更多的一階證明論的思想被引入于語言學(xué)語義學(xué)研究之中，這些新穎的工具在一般的語法分析，特別是在莫里爾(Morrill)和開普森(Kempson)的語法分析中，具有出乎意料的作用[5]。

人們一般認(rèn)為一階邏輯的概念最早見于建立在希爾伯特1917—1922年演講基礎(chǔ)上形成的希爾伯特和阿克曼的《數(shù)理邏輯基礎(chǔ)》。斯科倫的論文(1920)毫無疑問屬于早期一階邏輯經(jīng)典論文之一。而懷特海和羅素的《數(shù)學(xué)原理》(1910)屬于更早期的著作，它包括了我們現(xiàn)在看來屬于一階邏輯的某些概念、公理和定理。正因?yàn)檫@個(gè)原因，波斯特、朗福德、希爾伯特和哥德爾都引述他們的著作。但是，《數(shù)學(xué)原理》中的一階部分與其他的著作并沒有區(qū)別，特別是懷特海和羅素都還沒有一個(gè)“精確的句法概念”或者說沒有一個(gè)“在結(jié)構(gòu)中公式解釋的概念”。

四、轉(zhuǎn)向的5個(gè)階段以及轉(zhuǎn)向期間邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系

(一)轉(zhuǎn)向的5個(gè)階段

“轉(zhuǎn)向”賦予我們一種新的視角，這種視角使得我們可以將邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向與邏輯的數(shù)學(xué)發(fā)展聯(lián)系起來考察，進(jìn)而可以從邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向看數(shù)理邏輯的發(fā)展。也就是說，邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向的階段與現(xiàn)代邏輯的發(fā)展大致是重合的(當(dāng)然，這里的劃分與上述邏輯轉(zhuǎn)向的4個(gè)群體也存在著某些重疊)。我們可以將轉(zhuǎn)向劃分為5個(gè)時(shí)期：

(1)從萊布尼茲到1847年的胚胎期。這期間邏輯演算的概念被討論和發(fā)展，尤其體現(xiàn)在萊布尼茲身上，但并沒有形成一個(gè)學(xué)派，沒有形成連續(xù)發(fā)展的勢頭。

(2)從布爾的分析到施羅德邏輯教程時(shí)期。這一時(shí)期有更多的參與者，有更大的發(fā)展連續(xù)性。

(3)從弗雷格的《概念文字》到羅素和懷特海的《數(shù)學(xué)原理》的邏輯主義時(shí)期。這一時(shí)期被邏輯主義流派所主導(dǎo)，主要是將所有的數(shù)學(xué)和科學(xué)話語的邏輯完全歸并為一個(gè)單一的統(tǒng)一的系統(tǒng)。邏輯主義的基本原理是：所有的數(shù)學(xué)真理是邏輯真理。他們對(duì)數(shù)學(xué)表述中的任何非邏輯概念均持不接受的態(tài)度。主要的邏輯主義者有弗雷格、羅素和早期維特根斯坦。該時(shí)期的頂峰是《數(shù)學(xué)原理》，這是一部重要的著作，它包括了對(duì)悖論的徹底考察，以及為解決悖論而提出的類型論理論(因?yàn)殂Ｕ摰某霈F(xiàn)妨礙了邏輯主義綱領(lǐng)的實(shí)施)。

(5)二次世界大戰(zhàn)以后的時(shí)期。數(shù)理邏輯分化為4個(gè)相互聯(lián)系但彼此分離的領(lǐng)域：模型論、證明論、集合論和可計(jì)算性理論，其思想和方法開始影響到哲學(xué)。

(二)轉(zhuǎn)向期間邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系

一般認(rèn)為，邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向在第4個(gè)時(shí)期已經(jīng)完成。那么，轉(zhuǎn)向期間邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系又有怎樣的變化？它對(duì)于邏輯的發(fā)展又意味著什么呢？

人們應(yīng)當(dāng)注意到，在弗雷格的《概念文字》誕生前的300年間，人們看不到邏輯的平穩(wěn)連續(xù)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向的演進(jìn)軌跡，但是在這期間，邏輯是數(shù)學(xué)，哪怕是數(shù)學(xué)最一般的部分的思想，還是在一定程度上吸引著人們支持和推進(jìn)邏輯的數(shù)學(xué)化這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。但是，這不意味著轉(zhuǎn)型期間邏輯和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系就此變得融洽；相反，正如懷特海曾經(jīng)指出的，符號(hào)邏輯和數(shù)學(xué)的關(guān)系并不“輕松”[7]。為什么會(huì)這樣呢？為了理解懷特海“論題”，我們必須回到它們的歷史環(huán)境中。

首先，從歷史上看，現(xiàn)代邏輯真正成為關(guān)注的中心是與20世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)哲學(xué)的金色年代聯(lián)系在一起的。邏輯主義、集合論悖論、數(shù)學(xué)危機(jī)和公理化集合論，尤其是“三大主義”的討論使邏輯問題成為數(shù)學(xué)和哲學(xué)的焦點(diǎn)問題。而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論很快就結(jié)束了，經(jīng)歷了30—40年代的多產(chǎn)期之后，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家都厭倦了大主義的討論，數(shù)學(xué)哲學(xué)又恢復(fù)了它的平靜(盡管在分析哲學(xué)那里邏輯的金色年代持續(xù)的時(shí)間要長得多)。邏輯的轉(zhuǎn)型基本上是在金色年代到達(dá)之前完成的，那時(shí)的數(shù)理邏輯猶如一只忙于整理自己羽毛的雛鳥，還在等待飛上藍(lán)天的機(jī)會(huì)。直到20世紀(jì)50—60年代隨著哲學(xué)邏輯學(xué)科群體的出現(xiàn)，它的第二個(gè)高峰才真正降臨。

其次，為什么邏輯和數(shù)學(xué)的關(guān)系并不輕松呢？根據(jù)歷史文獻(xiàn)，我們認(rèn)為有兩方面原因，這些原因似乎并不涉及一些大的原則性問題，但正是這些“具體而細(xì)微”的問題構(gòu)成那個(gè)時(shí)代邏輯與數(shù)學(xué)關(guān)系的真正描述。那種對(duì)二者關(guān)系恢弘而樂觀的描述很少出現(xiàn)于嚴(yán)肅的歷史研究的文獻(xiàn)中。

1.哲學(xué)上的原因

(1)盡管在推動(dòng)邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向方面方向一致，但在數(shù)學(xué)和邏輯究竟是什么關(guān)系，特別是在怎樣理解數(shù)學(xué)“等同于”邏輯的問題上，人們的看法并不一致。例如，皮亞諾、羅素和懷特海用邏輯來建構(gòu)數(shù)學(xué)。邏輯主義認(rèn)為數(shù)學(xué)的大部分能夠在一個(gè)被適宜建構(gòu)的符號(hào)邏輯中表達(dá)。但是，若干思想家寧可對(duì)邏輯做一種代數(shù)處理，并認(rèn)為邏輯應(yīng)歸結(jié)為代數(shù)。皮爾斯認(rèn)為邏輯應(yīng)用于數(shù)學(xué)并且數(shù)學(xué)也應(yīng)用于邏輯。顯然，這是一種更模糊的立場[8]。

(2)對(duì)有限與無限的看法有差異。對(duì)于數(shù)理邏輯傳統(tǒng)的邏輯學(xué)家來說，邏輯始終是有限性的，不管是公式還是證明長度都是有限的。代數(shù)邏輯學(xué)家也接受了后者的有限性，但是在解釋量詞時(shí)他們允許無窮長的公式。全稱和存在模式被理解為分別是對(duì)合取和析取的概括，他們甚至使用了無窮記號(hào)“Σ”和“Π”來表達(dá)量詞。另外，羅素和弗雷格在數(shù)理邏輯傳統(tǒng)中的處理包括了諸如整數(shù)，特別是實(shí)數(shù)和線的長度這種量的方面，他們的邏輯既給出了量又給出了質(zhì)。代數(shù)邏輯盡管也涉及整數(shù)，但在邏輯的意義上并沒有提出量的要求。

(3)語言的使用有差異。代數(shù)和證明論傳統(tǒng)上都使用相當(dāng)簡單和理想化的語言，但是關(guān)注的焦點(diǎn)差異很大。代數(shù)邏輯一開始作為三段論的補(bǔ)充，后來又作為對(duì)三段論的替代。它所關(guān)注的是形容詞和名詞。而證明論關(guān)注如“所有”“有些”“某一個(gè)”“一些”和“這”等邏輯小品詞。羅素的哲學(xué)背景使他特別關(guān)注“這”(the)。他的摹狀詞理論對(duì)包含有以“the”字開頭的從句的命題的可指稱性給出了精確的標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于連接詞，代數(shù)學(xué)家使用方程，因此特別強(qiáng)調(diào)邏輯等值，以及合取和析取。皮爾斯特別強(qiáng)調(diào)蘊(yùn)涵的重要性，從而對(duì)前者做了修正。在與證明有密切聯(lián)系的數(shù)理邏輯傳統(tǒng)中，蘊(yùn)涵一開始就被賦予重要地位，盡管羅素對(duì)推理(inference)和衍推(entailment)是不分的。

2.學(xué)科之間的差異性

懷特海說，符號(hào)邏輯經(jīng)常被許多邏輯學(xué)家所忽略，因?yàn)樵谒麄兛磥硭鼈兪菙?shù)學(xué)。同樣，它們也經(jīng)常被數(shù)學(xué)家所忽略，認(rèn)為它們是邏輯。這說明邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向并不是一蹴而就的，學(xué)科之間的差異性將長期影響人們對(duì)邏輯與數(shù)學(xué)關(guān)系的看法。盡管上述問題有哲學(xué)方面的背景，但大多數(shù)都是技術(shù)性的，因而看上去討論的問題與數(shù)學(xué)沒有多少差別。然而，數(shù)學(xué)界對(duì)此卻仍然興趣不大。法國布爾巴基學(xué)派對(duì)把符號(hào)邏輯作為一個(gè)數(shù)學(xué)研究的合法領(lǐng)域持否定態(tài)度，盡管在他們的數(shù)學(xué)理論證明中也使用演繹定理。另外，數(shù)學(xué)家對(duì)符號(hào)邏輯的態(tài)度與對(duì)集合論的態(tài)度是非常不同的。集合論的技術(shù)和拓?fù)浞矫婕夹g(shù)受到好評(píng)，于1890年代中期在程序測量理論和函數(shù)分析等領(lǐng)域得到應(yīng)用。同時(shí)，作為數(shù)學(xué)基本語言的一部分被傳播，并從1950年開始在本科層次上作為正式課程被講授。在數(shù)學(xué)家看來，他們需要知道的邏輯不外乎對(duì)作為推理規(guī)則的肯定前件和否定后件式、必要和充分條件、定義和5個(gè)邏輯連接詞，以及量詞的理解。除此之外，似乎沒有其他的了。對(duì)數(shù)學(xué)家來說，邏輯的其余部分是邊緣性的，其結(jié)果，即便是“嚴(yán)格的”數(shù)學(xué)家對(duì)邏輯學(xué)家似乎也是相當(dāng)不在意的。在邏輯學(xué)家看來，數(shù)學(xué)家實(shí)施的某些證明是邏輯草率的證據(jù)，而對(duì)數(shù)學(xué)家來說，這一詳細(xì)的步驟的實(shí)施是迂腐的象征。兩個(gè)學(xué)科的從業(yè)者之間的鴻溝就這樣形成了。

哲學(xué)家對(duì)邏輯的關(guān)注也是很有限的。他們對(duì)符號(hào)邏輯的興趣主要是在(形式化)語言和演繹定理，以及一般的指稱和意義理論方面；也許符號(hào)邏輯對(duì)數(shù)學(xué)(也是對(duì)哲學(xué))的最經(jīng)久不衰的遺產(chǎn)是(數(shù)學(xué))理論和它的元理論之間的不同逐漸被認(rèn)識(shí)，并通過廣泛的傳播而被越來越多的人所承認(rèn)，盡管后者經(jīng)常處于一種非正式的狀態(tài)。但是，這種局面正在被改變。韋爾是少數(shù)極為認(rèn)真地對(duì)待符號(hào)邏輯的數(shù)學(xué)家之一。在一篇關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展的論文中，韋爾對(duì)謂詞和它的相關(guān)集合之間的不同給出了正確的和富有啟發(fā)性的評(píng)論，這構(gòu)成了他的邏輯和哲學(xué)重要的一部分。莫斯托夫斯基指出，數(shù)學(xué)家最感興趣的是模型論和集合論的基礎(chǔ)，以及直覺主義邏輯，它們和數(shù)學(xué)有一種最為一般的關(guān)系。莫斯托夫斯基也提到遞歸論和可計(jì)算性，它們以一種有意義的方式聯(lián)系到計(jì)算，這在二戰(zhàn)后，特別是在1950年以后開始產(chǎn)生出結(jié)果。盡管它們的開拓者包括了對(duì)邏輯有興趣的數(shù)學(xué)家如圖靈和諾依曼，但是后來的參與者除了在程序語言發(fā)展中使用了邱奇蘭木達(dá)演算的技術(shù)之外，并沒有在邏輯的技術(shù)細(xì)節(jié)上有足夠的投入。目前，計(jì)算科學(xué)與邏輯展示了邏輯與數(shù)學(xué)聯(lián)系的廣度，然而人們并不知道數(shù)學(xué)界對(duì)這一問題是否有足夠的認(rèn)識(shí)。

五、轉(zhuǎn)向后的邏輯與數(shù)學(xué)

邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向的一個(gè)直接后果就是作為數(shù)學(xué)一個(gè)獨(dú)立分支的數(shù)理邏輯的誕生。早期邏輯與數(shù)學(xué)的“不輕松”的模糊曖昧關(guān)系，在數(shù)理邏輯成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支后也變得明朗。數(shù)理邏輯分化為4個(gè)相互關(guān)聯(lián)但互不相同的研究領(lǐng)域：模型論、證明論、可計(jì)算性理論和集合論。

在集合論中，力迫法通過為構(gòu)造模型和獲取獨(dú)立結(jié)果而提供的強(qiáng)健方法革新了這一領(lǐng)域。1962年，保羅·科恩引入了這一方法，以證明連續(xù)統(tǒng)的獨(dú)立性和來自策梅洛-富蘭克林集合論的選擇公理。目前，集合論的基本方法已經(jīng)被應(yīng)用于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及幾乎所有的數(shù)學(xué)分支?？捎?jì)算性理論在圖靈、丘奇、克林和波斯特于1930至1940年間的工作中扎下了根，發(fā)展為抽象可計(jì)算性研究。在當(dāng)代，這一理論被稱為遞歸論。高階可計(jì)算性理論的探索證明了它與集合論之間的聯(lián)系。最終，作為描述復(fù)雜性研究的一個(gè)結(jié)果，計(jì)算復(fù)雜性理論的刻畫也使用邏輯的詞匯。作為數(shù)理邏輯一個(gè)分支的模型論研究特定數(shù)學(xué)理論(形式系統(tǒng))與其解釋或模型的關(guān)系。模型論通過給出各種模型可以論證一組語句的一致性或范疇性，以及一語句和一組語句的獨(dú)立性。模型論的定理早在20世紀(jì)20年代就已出現(xiàn)，如勒文海姆-斯克倫定理、緊致性定理。50年代以后模型論逐漸形成一門獨(dú)立的學(xué)科，得到了一系列重要的結(jié)果。在證明論中，經(jīng)典數(shù)學(xué)和直覺主義數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，被由喬治·克萊索爾(Georg Kreisel)和哥德爾的辯證解釋所創(chuàng)造的方法澄清。庫里-霍華德同構(gòu)作為邏輯和計(jì)算機(jī)之間的更深的類比而出現(xiàn)，它包括了自然演繹系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)科學(xué)中使用的類型的蘭姆達(dá)演算之間的對(duì)應(yīng)。其結(jié)果，這樣一個(gè)形式系統(tǒng)開始處理邏輯和計(jì)算方面的研究。這一研究領(lǐng)域被稱之為現(xiàn)代類型論。在諸如帕里斯-哈林頓定理這樣的算法研究中，普通分析和獨(dú)立結(jié)果的研究方面的進(jìn)步也是顯著的。

經(jīng)歷了20世紀(jì)上半葉數(shù)理邏輯和邏輯哲學(xué)的迅猛發(fā)展，邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家似乎失去了早期關(guān)于邏輯與數(shù)學(xué)關(guān)系的哲學(xué)爭論的熱情。然而，邏輯和數(shù)學(xué)、邏輯哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)仍在繼續(xù)發(fā)展。新的問題又很快進(jìn)入當(dāng)代爭論的視野。在當(dāng)代視域內(nèi)，我們可以更好地審視邏輯與哲學(xué)的關(guān)系。

1.邏輯和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系是異常緊密的

出現(xiàn)于弗雷格、羅素、哥德爾和塔斯基著作中的經(jīng)典邏輯，其主要目的并不是給出判斷一個(gè)統(tǒng)一的說明，也不是為了處理自然語言中的量詞問題，也不是為了處理模糊性，而是處理數(shù)學(xué)性的問題。從演算和演算概念嚴(yán)格性的發(fā)展，到集合論的悖論，它的目的在于概念的澄清，在于使得數(shù)學(xué)中的演繹有效的形式變得明確。我們?nèi)绾慰创龜?shù)學(xué)和如何看待邏輯這兩個(gè)問題是相互交織在一起的。

2.數(shù)學(xué)并不是邏輯

盡管邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家不間斷地試圖對(duì)邏輯進(jìn)行數(shù)學(xué)化的改造，到現(xiàn)代，甚至一直試圖把邏輯強(qiáng)加為數(shù)學(xué)的一部分，但是從數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系來看，真正的數(shù)學(xué)要求的邏輯是十分有限的。例如，在最直覺的意義上，“等同”似乎是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，而不是一個(gè)邏輯的概念。數(shù)學(xué)要求直覺，它涉及公理的意義，它要求發(fā)現(xiàn)公理，而邏輯則要求遵循公理。數(shù)學(xué)要求創(chuàng)造性和見識(shí)力，它們與大腦中的聯(lián)想和啟發(fā)力流程類型有極大的聯(lián)系，而與邏輯關(guān)聯(lián)不大。最后，與數(shù)學(xué)相關(guān)聯(lián)的任務(wù)類型與一般的理智聯(lián)系更強(qiáng)，而與概念形成的任務(wù)的聯(lián)系則并不是那么強(qiáng)。

3.邏輯對(duì)數(shù)學(xué)是重要的

只有聯(lián)想是構(gòu)不成數(shù)學(xué)的事實(shí)的，只有經(jīng)過了嚴(yán)格的邏輯的證明才可被接受為數(shù)學(xué)真理。真正有效的數(shù)學(xué)分析只有在邏輯嚴(yán)格性中才能夠做到。因?yàn)榇嬖谥@種依賴性，數(shù)學(xué)家們仔細(xì)地發(fā)展和形式化了邏輯，而經(jīng)過數(shù)學(xué)家們處理的邏輯其嚴(yán)格性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過常識(shí)意義的邏輯。它具備了無歧義地表達(dá)、交流和探討數(shù)學(xué)思想所要求的嚴(yán)格性和靈活性。這樣一種發(fā)展的結(jié)果最終便成為當(dāng)代的符號(hào)化的邏輯，借助于這種符號(hào)邏輯和規(guī)則的使用，我們能夠發(fā)現(xiàn)和重寫那些復(fù)雜的邏輯陳述，就像我們處理代數(shù)陳述時(shí)那樣。邏輯是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一部分，邏輯研究應(yīng)當(dāng)反映一般科學(xué)，特別是數(shù)學(xué)的演繹實(shí)踐。

最后，邏輯在20世紀(jì)的前50年所獲得的研究結(jié)果對(duì)于我們理解句法學(xué)和語義學(xué)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，理解語言結(jié)構(gòu)和推理結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)具有重要意義。這一結(jié)果具有里程碑式的重要性，它使邏輯的工具在眾多的領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用，從語言學(xué)到計(jì)算機(jī)科學(xué)到人工智能，從科學(xué)方法論到特定的物理學(xué)問題。每一個(gè)涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問題和答案的形式表達(dá)依賴于這種工具。數(shù)理邏輯已經(jīng)改變了哲學(xué)的面貌。

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(責(zé)任編輯張佑法)

OnMathematicalTurnofLogic

ZHU Jianping

(School of Politics and Public Administration, Suzhou University, Suzhou 215123, China)

中國邏輯學(xué)會(huì)會(huì)長鄒崇理研究員

B81

A

1674-8425(2017)09-0008-10

2017-06-07

朱建平(1956—)，男，山東濟(jì)南人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：西方邏輯史。

朱建平.邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué))，2017(9):8-17.

formatZHU Jianping.On Mathematical Turn of Logic[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(9):8-17.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.09.002

朱建平教授的《邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向》一文指出，19世紀(jì)中期是邏輯發(fā)展史上的一個(gè)重要時(shí)期，這段時(shí)期是舊邏輯衰亡和現(xiàn)代邏輯興起的時(shí)期。朱教授討論了邏輯的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向的四大群體、轉(zhuǎn)向的5個(gè)階段以及轉(zhuǎn)向期間邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系等問題，并認(rèn)為現(xiàn)代所謂的“符號(hào)”或“數(shù)理”邏輯在這段時(shí)間的發(fā)展是兩千年邏輯史上最重要的，也可以說是人類理智史上最重要和最非凡的事件。就深刻理解現(xiàn)代數(shù)理邏輯的實(shí)質(zhì)而言，此文值得一讀。

長期以來，模糊理論由于缺乏堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在學(xué)界引起很大爭議，對(duì)模糊集合論進(jìn)行公理化就是為模糊理論提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考量。李娜教授等的文章《一種模糊集合論的公理化方法》嘗試將夏平基于扎德的模糊集概念創(chuàng)立的第一個(gè)公理化模糊集合論Za擴(kuò)張為NBG。這樣的擴(kuò)張可以作為從非經(jīng)典邏輯如模糊邏輯出發(fā)建立集合論的一個(gè)基礎(chǔ)。該文論證思路清晰、語言表述準(zhǔn)確。